高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练62文doc.docx
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高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练62文doc
层级快练(六十二)
1.若过原点的直线1与双曲线牛一着=1有两个不同交点,则直线1的斜率的取值范围是
答案B
与双曲线有两个不同的交点,画图可知,直线1的斜率的収值范围应是0,
2.已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为()
(Xi—X2)2=(Xi+x2)-—4xiX2=4—§=§•
V2
3.(2018•辽亍师大附中期中)过点M(-2,0)的直线n与椭圆y+y2=l交于R,巴两点,
线段PiP2的中点为P,设直线m的斜率为k!
(k】H0),直线OP的斜率为履则k)k2的值为()
答案D
(丁2
寸+脊=1,
Y
2
爻丄21
—+^2=•-解析设Pi(xi,yi),P2(x2,y?
),P(x,y),贝I」/两式相减,W-(X1+xJ2(X,~Xj+(y.4-y2)(y-y2)=0.
nn2x•(xi—x2),门/\c
即+2y(yi—V2)=0.
22
4.(2017•山东师大附屮模拟)已知两定点A(0,-2),B(0,2),点P在椭圆誇+話=1上,
且满足I炉一屈1=2,则环•丽为()
A.-12B.12
C.-9D.9
答案D
22
解析易知A(0,-2),B(0,2)为椭圆令+話=1的两焦点,A|AP|+|BP|=2X4=8,又
|AP|-|BP|=2,A|AP|=5,|BP|=3.
V|AB|=4,AABP为直角三角形,・・・环・BP=|BP|2=9.
5.(2018・福建厦门中学期中)设直线1过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,1与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为()
A.^/2Bp
C.2D.3
答案B
22
解析不妨设双曲线c:
彩一話=l(a>0,b>0),焦点F(c,0),对称轴为直线y=0.
由题意知~2—72=1,y=±~,=4a,b2=2a2,c2—a2=2a2,c2=3a2,•故
abaaav
选B.
6.(2018•徳州一中期末)已知抛物线C:
y2=4x的焦点为F,准线为1.若射线y=2(x—
l)(xWl)与C,1分别交于P,Q两点,则罟
i\.y[2B.2
C.&D.5
答案C
解析抛物线C:
y2=4x的焦点为F(l,0),设准线1:
x=—l与x轴的交点为F】,过点P
X=—1,
作直线i的垂线,垂足为n,由仁2(x_n,y,得点Q的坐标为i一4),所以故选c.
7.已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线与直线y=2x+l交于P、Q两点,若|PQ|=伍,则抛物线的方程为()
A.y2=—4xB.y2=12x
C.y2=—4x或y'=12xD.以上都不对
答案C
y2=2px,?
解析由题意设抛物线的方程为y2=2px,联立方程得°.消去y,得4x2-(2p-4)x
、y=2x+l,
D—21
+1=0,设P(xi,yi),Q(X2,y2),则x】+x2=「^,xix2=-
|PQ|=VT+^|x-x2|=V5・y/(x】+x2)—4x】X2=V^・yj(宁)2-4X^=Vi5,所以
p2—4p—12=0,p=—2或6,所以y2=—4x或y'=12x.
8.(2018・衡水中学调研)过抛物线x2=4y的焦点作两条互相垂直的眩AB、CD,则「卜+击
=()
A.2B.4
11
C迈D.&
答案D
解析根据题意,抛物线的焦点为(0,1),设直线AB的方程为y=kx+l(kH0),直线CD
1[y=kx+Lo
的方程为丫=—「x+l,rill2得y“一(2+4k「)y+l=0,市根与系数的关系得y.>\+yB
k[x~=4y,
4ii
=2+4於,所以|AB|=y,\+yB+2=4+4k‘,同理|CD|=yc+yD+2=4+^,所以
4k7+4+4k7+4=4,故选D
22_
9.(2018•福州外国语学校适应性考试)已知双曲线C:
彩一右=1Q>0,b>0)的焦距为2^5,
抛物线与双曲线C的渐近线相切,则双曲线C的方程为()
2y2x‘2
c.子一亍=1D・t_『=1
答案D
解析由题意可得c=&,即a2+b2=5,双曲线的渐近线方程为y=±、将渐近线方程和
抛物线方程y=*+*联立,可得#±)++=0,由渐近线和抛物线相切可得A斗一4X*
1V2
X-=0,即有a2=4b2,又a2+b2=5,解得a=2,b=l,可得双曲线的方程为〒一y'=l・故选D.
22
10.(2018•天津红桥区期末)己知双曲线笃一占=1(8〉0,b>0)的两条渐近线与抛物线
ab
2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,0为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AAOB的面积
为书,
则P=()
A.1
3
B.2
C.2
D.3
答案
C
解析
22
因为双曲线方程为冷一占=1,所以双曲线的渐近线方程是
ab
y=±-x.又抛物线y2=a
2px(p>0)的准线方程是x=—故A,B两点的纵坐标分别是y=±普.因为双曲线的离心率
为2,所以£=2,所以2=3,贝A,B两点的纵坐标分别是y=±学=土乂共又AAOB
aaazqz
的而积为羽,X轴是ZAOB的平分线,所以解得p=2.故选C.
11.设F为抛物线C:
y=2px(p>0)的焦点,过F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A,B两点(B在第一象限,A在第四象限),0为坐标原点,过A作C的准线的垂线,垂足为M,则|0B|与|0M|的比值为()
A.y/3B.2
答案C
解析抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点F(号,0),准线x=—号,直线AB:
y=Q5(x—号),与抛物线方程联立,消去x得,羽y‘一2py—寸5p?
=0.设A(x】,yj,B(x2,y?
),则yi=—Y2=V^P,故"(—g—爭,贝躲I=寸,将y?
=y/3p代入直线AB的方程得x2=|p,故B(|p,V3p),贝lj|OB|=^J^+3p2=^p,所以|OB|=3|OM|.故选C.
12.(2018•河南郑州二测)过点P(-l,0)作直线与抛物线y2=8x相交于A,B两点,且2|PA|=|AB|,则点B到该抛物线焦点的距离为・
答案5
V*1
解析设A(xa,*),B(Xb,Yb)t由相似三角形知识可知—①
YbO
y=kx+k9A
设直线的斜率为k,则其方程为y—0=k(x+l),即y=kx+k,由仁°可得ky2-8y
ly=8x,
+8k=0,则yA・Yb=8.②
4
由①②可得yB?
=24=8xB,所以xb=3,由抛物线的定义可知点B到焦点的距离为3+㊁=5.
22
13.(2018•湖北部分重点高中联考)已知双曲线C2与椭圆Cu才+才=1具有相同的焦点,则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最人时双曲线C2的离心率为—
22
心
答案y/2
2
解析设双曲线的方程阳
器=l(a>0,b>0),由题意知a2+b2=4—3=1,由<
x2=4a\
解得交点的坐标满足2、2由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知,以它们的交点为
.y=3(1—a)\
顶点的四边形是长方形,其面积S=4|xy|=4y/4^•y/3(1—a2)=8y/3•y/P•y/l~a2^
8p・,2‘=M,当且仅当a2=l-a2,即时,取等号,此时双曲线的方程为,一
2
T=1‘离心率
2
22
14.(2018•淮南一模)过椭圆^+p=1(a>b>0)上的动点P作圆x2+y2=b2的两条切线PA,
PB,切点分别为A,B,直线AB与x轴,y轴分别交于N,则AMON(0为坐标原点)面积的
最小值为
答案I解析设A(xi,yi),B(X2,y2),则直线PA:
xix+yiy=b2,直线PB:
x2x+y2y=b2.因为P(x°,
y。
)在直线PA,PB上,所以
XiXo+yiyo=b\Qb2
2可得直线AB的方程为xox+y0y=b\得M(—,0),、X2Xo+y2yo=bSxo
当罟U胡时等号成立•
X2
15-(2018•湖南永州一模)已知椭圆C:
?
+fa2
(2)若对于直线1:
y=x+ni,椭圆C上总存在不同的两点A与B关于直线1对称,且3更•丽<32,求实数m的取值范围.
答案(l)y+y2=l
(2)(—3»*)
解析
(1)由题意知c=i,£=爭,
az
所以a=^2,b=l.
V2
所以所求椭圆的方程为㊁+y2=l.
y=—x+n,
消去y并整理可得3x2-4nx+2n2-2=0,
由△=(—4n)2—12(2『一2)=24—8『〉0,解得一£ Xi+x2=—,X1X2=-, 设直线AB的屮点为P(x0,yo),则刈=洱竺=学 由点P在直线AB上得y°=—丰+n=* 又点P在直线1上,扌=弓+111,所以山=—詐(一平,申).① 又QA=(xi,yi—3),QB=(x2,y? —3), ff3232 .*.QA•QB——=(xi,yi—3)•(x2,ys—3)—— 32 =xix2+(yi—3)(y2—3)—— =n2—2n—3=9m2+6m—3 =3(3m—1)(m+1)<0,解得一15〈扌,② 综合①②式,得m的取值范围为(一专,利 方法二: 由题意设A(xi,yi),B(X2,y2),直线AB的中点为P(x,y),则2x=x】+x2,2y=yi+y2,将A,B两点分別代入椭圆方程,fxi2+2y/—2=0, 并联立91o9nn两式相减得x.2-x22+2(yi2-y22)=0,lx2^+2y2—2=0, 即(xi—x2)(xi+x2)+2(yi—y2)(yi+yz)=0. V1—V2 又AB丄19所以k»\B==—1 所以,AB的屮点P的轨迹方程为y=尹. 又TP在椭圆内,・・■(—;")+(_m)2〈l,即m逍 另一方而,易知直线AB的方程为丫=—x—3m. 又QA=(x.yi—3),QB=(x・2,y・2—3), =2xiX2+(3m+3)(X1+X2)+9nf+18m+9—~ =9m+6m—3 =3(3ni—1)(m+1)<0,解得一15<#.② 综合①②式,得山的取值范围为(一零» X2y2 16.(2016・课标全国II)已知椭圆E: y+3=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为 k(k〉0)的直线交E于A,两点,点7在E上,MA丄NA. (1)当t=4,|AM|=|AN|时,求AAMN的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围. 答案⑴罟 (2)(萌,2) 解析 (1)设M(xi,yj,则由题意知yQO. 22 当t=4时,E的方程为扌+寸=1,A(—2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为寸■.因此直线AM的方程为y=x+2. 22 将x=y—2代入才+才=1,得7y2-12y=0. 19I? 解得y=0或y=〒,Vyi>0,所以yi=— 亠/厂、t2k2—3t如(3—tk') rflX,•=3+tR2,得x.=3+tk IAM|=|Xi+^/t|-^/l+k2=6^t3^}^2k—. 由题设知,直线AN的方程为丫=—*(x+&), m・eII6k\/t(l+k‘) 故同理可得IANI=• 2k b2|AM|=|AN|,得讦应=黍頁, 即(k3-2)t=3k(2k-l). 当k=^/2时上式不成立,因此t="k 即誉〈0. 因此k的取值范围是(萌,2). |备选题| x2V2 1-(2°17•北京大兴一中月考)己知双曲线C: 厂討1@>0,b>0)的左、右焦点分别为F】, F2,过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P.若PF]丄PF2,则C的离心率为() ApB.^/3 C.2D.& 答案D解析取双曲线C的渐近线为y#因为F—c,0),F2(c0),所以过F2作平行于渐近 线y=£x的直线PF? 的方程为y=£(x-c). 因为PF」PF2,所以直线PFi的方程为y=-f(x+c). 联立方程组s y4(X-c)'2ab 得点p的坐标为(——, acc y=—-(x+c), 因为点p在双曲线c上, (U)2(2ab)2 2 ~r=lc 耳=1,整理得c2=5a2.c cc 所以一P=1, ab (p2—少J)2 a2c2 因为c2=a2+b2,所以(°因为e=->l,所以e=y[5.故选D. av 2 2.已知双曲线x2-^=l,过点A(l,1)的直线1与双曲线只有一个公共点,则1的条数为 () A.4B.3 C.2D.1 答案A 解析①斜率不存在时,方程为x=l符合. ②设斜率为k,y-l=k(x-l),kx-y-k+l=O. 4x2—y2=4, (4-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-5=0. b=kx—k+l, 当4—於=0,k=±2时符合; 当4—於工0,A=0,亦有一个答案,.••共4条. X2 3.已知双曲线T: j-y2=l,过点B(-2,0)的直线交双曲线于A点(A不是双曲线的顶点), 若AB的中点Q在直线y=x上,点P为双曲线T上异于A,B的任意一点(不是双曲线的顶点), 直线AP,BP分别交直线y=x于M,N两点,0为坐标原点,则鬲・0N=() B. A. C.D・-8 答案A 104 解析因为AB的中点Q在直线y=x上,B(—2,0),所以A(—,§)・设P(xo,yo),当直线AP的斜率不存在时,易知P(¥,—M(y,詈),N(—I,—|),此时丽•0N=yX(—|) 4y0——— )-yX(-|)=-|当直线AP的斜率存在时,则直线AP的方程是y-|=—(x—乎),与 _8 22 4.(2017-福建福州质检)已知叭,F2是双曲线与一占=l(a〉0,b>0)的左、右焦点,若双曲 ab 线左支上存在一点P与点F2关于直线y=fx对称,则该双曲线的离心率为• 答案& bxIppj 解析由题意可知双曲线左支上存在一点P与点压关于直线'匸丁对称,则PM丄Pf又話 联立IPF2I—|PFi|=2a,|PF2|2+|PFi|2=(2c)2,可得b3+a2b=2c2a.所以b=2a,e=诵.clY 22 5.(2018•河北石家庄模拟)已知Fi,F2分别为双曲线与一£=l(a>0,b>0)的左、右焦点, ab 点P为双曲线右支上一点,M为△PFE的内心,满足SAMPF^SAMPFs+入SAMFiF2.若该双 曲线的离心率为3,则X=.(注: SAMPFi,SAMPF2,SAMFlF2分别为△MPF】,△ MPF2,AMF,F2的面积) 答案I 解析设△PF1F2内切圆的半径为r,则由题意,得*X|PFi|Xr=-|x|PF2|Xr+XX^X|FiF2| Xr,即iPFj-lPFz^X|FiF2|=X・2c,又由双曲线的定义知|PF,|-|PF2|=2a,所以2a 6.已知抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线hy=~x的一个交点的横坐标为8. (1)求抛物线C的方程; (2)不过原点的直线12与h垂直,且与抛物线相交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求ZXFAB的面积. 答案(l)y2=8x (2)24& 解析 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8,-8), ・・・(一8)2=2pX8,・・・2p=8,・・・抛物线方程为y2=8x. (2)直线I2与h垂直,故可设直线L: x=y+m,A(x),yj,B(x2,y2),直线I2与x轴的交点为M. fy2=8x,9 由I,得y^-8y-8m=0, x=y+ni, A=64+32m>0,Am>-2. 故Safab—Safmb+S AF.MA 由题意可知OA丄OB,即xix2+yiy2=m2—8m=0,・・・m=8或m=0(舍),・・・直线5x=y+8,M(8,0). =3yj(yi+y2)2—4yiy2=24&. 7.抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点. ⑴若AF=2FB,求直线AB的斜率; (2)设点M在线段AB上运动,原点0关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.答案 (1)±2边 (2)4 解析 (1)依题意知F(l,0),设直线AB的方程为x=my+l. 将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x,得 2 y—4my—4=0. 设A(xi,yi),B(X2,y: J,所以yi+y2=4m,yiy2=—4.® 因为祚=2西,所以yi=-2y2.② 联立①和②,消去yi,y2f得【11=土乎. 所以直线AB的斜率是±2边. ⑵由点C与原点0关于点M对称,得M是线段0C的中点. 从而点0与点C到直线AB的距离相等,所以四边形OACB的面积等于2Saaob. 因为2Saaob=2X~•|OF|•Iyi—y21 =yj(yi+y2)2—4yiy2=4寸1+n? 所以当时,四边形OACB的而积最小,最小值是4. 8.(2018•河南洛阳第一次统考)已知抛物线C: x2=2py(y>0),过焦点F的直线交C于A,B两点,D是抛物线的准线1与y轴的交点. (1)若AB〃1,且AABD的面积为1,求抛物线C的方程; ⑵设M为AB的中点,过M作1的垂线,垂足为证明: 直线AN与抛物线相切.答案(l)x2=2y (2)略 解析 (1);・AB〃1,・・・|FD|=p,|AB|=2p. •;SzSABD=P=1・•: P=1・ ・•・抛物线c的方程为x2=2y. (2)证明: 设直线AB的方程为y=kx+? y=kx+T,联立<2得x~—2kpx—p-=0.① x2=2py, 设A(X1,話) 设方程①的两根分别为xi,X2,则xi+x2=2kp,xiX2=—pl2/X2〔 B(x2,_). 设M(kp,k2p+|),N(kp,—|). ・・・抛物线x2=2py在点A处的切线斜率k=*・•・直线AN与抛物线相切.
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