学年高中数学人教A版选修22学案第二章 23 数学归纳法 Word版含答案.docx
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学年高中数学人教A版选修22学案第二章23数学归纳法Word版含答案
数学归纳法
预习课本P92~95,思考并完成下列问题
(1)数学归纳法的概念是什么?
适用范围是什么?
(2)数学归纳法的证题步骤是什么?
[新知初探]
1.数学归纳法的定义
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
2.数学归纳法的框图表示
[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点
(1)验证是基础
数学归纳法的原理表明:
第一个步骤是要找一个数n0,这个n0,就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数,这个自然数并不一定都是“1”,因此“找准起点,奠基要稳”是第一个关键点.
(2)递推是关键
数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.
(3)利用假设是核心
在第二步证明n=k+1成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k+1”,在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,这是数学归纳法的核心.不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
[小试身手]
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)√
2.如果命题p(n)对所有正偶数n都成立,则用数学归纳法证明时须先证n=________成立.
答案:
2
3.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),计算得f
(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,由此推测,当n>2时,有______________.
答案:
f(2n)>
用数学归纳法证明等式
[典例] 用数学归纳法证明:
++…+=(n∈N*).
[证明]
(1)当n=1时,=成立.
(2)假设当n=k(n∈N*)时等式成立,即有
++…+=,
则当n=k+1时,++…++
=+
=,
即当n=k+1时等式也成立.
由
(1)
(2)可得对于任意的n∈N*等式都成立.
用数学归纳法证明恒等式应注意的三点
用数学归纳法证明恒等式时,一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;二是弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;三是证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
[活学活用]
求证:
1-+-+…+-=++…+(n∈N*).
证明:
(1)当n=1时,左边=1-=,
右边==,左边=右边.
(2)假设n=k(k∈N*)时等式成立,即1-+-+…+-=++…+,
则当n=k+1时,
+
=+
=++…++.
即当n=k+1时,等式也成立.
综合
(1),
(2)可知,对一切n∈N*,等式成立.
用数学归纳法证明不等式
[典例] 已知n∈N*,n>2,
求证:
1+++…+>.
[证明]
(1)当n=3时,左边=1++,右边==2,左边>右边,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*,k≥3)时,不等式成立,
即1+++…+>.
当n=k+1时,
1+++…++>+
==.
因为>==,
所以1+++…++>.
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由
(1),
(2)知对一切n∈N*,n>2,不等式恒成立.
[一题多变]
1.[变条件,变设问]将本题中所要证明的不等式改为:
+++…+>(n≥2,n∈N*),如何证明?
证明:
(1)当n=2时,+++>,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,命题成立.
即++…+>.
则当n=k+1时,++…++++=++…++++->+++->+3×-=.
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由
(1),
(2)可知,原不等式对一切n≥2,n∈N*都成立.
2.[变条件,变设问]将本题中所要证明的不等式改为:
…>(n≥2,n∈N*),如何证明?
证明:
(1)当n=2时,左边=1+=,右边=.
左边>右边,所以原不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时不等式成立,
即…>.
则当n=k+1时,
左边=…
>·
==>
==.
所以,当n=k+1时不等式也成立.
由
(1)和
(2)可知,对一切n≥2,n∈N*不等式都成立.
用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时,要注意n0不一定为1,若n>k(k为正整数),则n0=k+1.
(2)证明不等式的第二步中,从n=k到n=k+1的推导过程中,一定要用到归纳假设,不应用归纳假设的证明不是数学归纳法,因为缺少归纳假设.
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式:
一是直接给出不等式,按要求进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小,对第二类形式往往要先对n取前n个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个n值开始都成立的结论,常用数学归纳法证明.
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立得n=k+1时成立,主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.
归纳—猜想—证明
[典例] 考察下列各式
2=2×1
3×4=4×1×3
4×5×6=8×1×3×5
5×6×7×8=16×1×3×5×7
你能做出什么一般性的猜想?
能证明你的猜想吗?
[解] 由题意得,2=2×1,3×4=4×1×3,4×5×6=8×1×3×5,5×6×7×8=16×1×3×5×7,…
猜想:
(n+1)(n+2)(n+3)…2n=2n·1·3·5·…·(2n-1),
下面利用数学归纳法进行证明:
证明:
(1)当n=1时,显然成立;
(2)假设当n=k时等式成立,即(k+1)(k+2)(k+3)…2k=2k·1·3·5·…·(2k-1),
那么当n=k+1时,
(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3)·…·2(k+1)
=(k+1)(k+2)·…·2k·(2k+1)·2
=2k·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1)·2
=2k+1·1·3·5·…·(2k+1)
=2k+1·1·3·5·…·[2(k+1)-1]
所以当n=k+1时等式成立.
根据
(1)
(2)可知对任意正整数等式均成立.
(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节
(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型
①已知数列的递推公式,求通项或前n项和.
②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.
③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
[活学活用]
数列{an}中,a1=1,a2=,且an+1=(n≥2),求a3,a4,猜想an的表达式,并加以证明.
解:
∵a2=,且an+1=(n≥2),
∴a3===,a4===.
猜想:
an=(n∈N*).
下面用数学归纳法证明猜想正确.
(1)当n=1,2易知猜想正确.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时猜想正确,
即ak=.
当n=k+1时,
ak+1=
=
=
=
=
=
=
∴n=k+1时猜想也正确.
由
(1)
(2)可知,猜想对任意n∈N*都正确.
层级一 学业水平达标
1.设Sk=+++…+,则Sk+1为( )
A.Sk+ B.Sk++
C.Sk+-D.Sk+-
解析:
选C 因式子右边各分数的分母是连续正整数,则由Sk=++…+,①
得Sk+1=++…+++.②
由②-①,得Sk+1-Sk=+-
=-.故Sk+1=Sk+-.
2.利用数学归纳法证明不等式1+++…+<n(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k变到n=k+1时,左边增加了( )
A.1项B.k项
C.2k-1项D.2k项
解析:
选D 当n=k时,不等式左边的最后一项为,而当n=k+1时,最后一项为=,并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1,故增加了2k项.
3.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则( )
A.该命题对于n>2的自然数n都成立
B.该命题对于所有的正偶数都成立
C.该命题何时成立与k取值无关
D.以上答案都不对
解析:
选B 由n=k时命题成立可推出n=k+2时命题也成立,又n=2时命题成立,根据逆推关系,该命题对于所有的正偶数都成立,故选B.
4.对于不等式<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如下:
(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即<k+1,则当n=k+1时,=<==(k+1)+1,
∴n=k+1时,不等式成立,则上述证法( )
A.过程全部正确
B.n=1验得不正确
C.归纳假设不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
解析:
选D 在n=k+1时,没有应用n=k时的归纳假设,故选D.
5.设f(n)=5n+2×3n-1+1(n∈N*),若f(n)能被m(m∈N*)整除,则m的最大值为( )
A.2B.4
C.8D.16
解析:
选C f
(1)=8,f
(2)=32,f(3)=144=8×18,猜想m的最大值为8.
6.用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n,总有2n>n3”时,验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________.
解析:
∵210=1024>103,29=512<93,∴n0最小应为10.
答案:
10
7.用数学归纳法证明++…+>-,假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是____________________________________.
解析:
观察不等式中分母的变化便知.
答案:
++…++>-
8.对任意n∈N*,34n+2+a2n+1都能被14整除,则最小的自然数a=________.
解析:
当n=1时,36+a3能被14整除的数为a=3或5;当a=3且n=2时,310+35不能被14整除,故a=5.
答案:
5
9.已知n∈N*,求证1·22-2·32+…+(2n-1)·(2n)2-2n·(2n+1)2=-n(n+1)(4n+3).
证明:
(1)当n=1时,左边=4-18=-14=-1×2×7=右边.
(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时成立,即1·22-2·32+…+(2k-1)·(2k)2-2k·(2k+1)2=-k(k+1)(4k+3).
则当n=k+1时,
1·22-2·32+…+(2k-1)·(2k)2-2k·(2k+1)2+(2k+1)·(2k+2)2-(2k+2)·(2k+3)2
=-k(k+1)(4k+3)+(2k+2)[(2k+1)(2k+2)-(2k+3)2]
=-k(k+1)(4k+3)+2(k+1)·(-6k-7)=-(k+1)(k+2)(4k+7)
=-(k+1)·[(k+1)+1][4(k+1)+3],
即当n=k+1时成立.
由
(1)
(2)可知,对一切n∈N*结论成立.
10.用数学归纳法证明1+≤1+++…+≤+n(n∈N*).
证明:
(1)当n=1时,≤1+≤,命题成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即1+≤1+++…+≤+k,
则当n=k+1时,
1+++
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