第十三讲 基础多边形及其内角和与外角和专题辅导.docx
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第十三讲基础多边形及其内角和与外角和专题辅导
第九讲多边形及其内角和与外角和
知识要点梳理
知识点一:
多边形及有关概念
1、多边形的定义:
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的平面图形叫做多边形.
总结:
对于一个n边形,(n≥3)它有个顶点,个内角。
2、多边形的分类:
(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形,画出多边形的任何一条边所在的直线,如果整个多边形都在这条直线的同一侧,则此多边形为凸多边形,反之为凹多边形(见图1).本章所讲的多边形都是指凸多边形
凸多边形 凹多边形
(2)多边形通常还以边数命名,多边形有n条边就叫做边形.
三角形、四边形都属于多边形,其中三角形是边数最少的多边形.
知识点二:
正多边形
叫做正多边形。
注意菱形,矩形。
知识点三:
多边形的对角线
多边形的对角线:
连接多边形的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.
(1)从n边形一个顶点出发可以引条对角线,将多边形分成个三角形。
(2)n边形共有条对角线,如六边形共有条对角线。
例1:
若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是()
A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形
知识点四:
多边形的内角和公式
1.公式:
n边形的内角和公式为:
(n≥3)
n边形内角和与边数n关,每增加1条边,内角和增加。
2.正边形的每个内角的度数为。
多边形的外角和公式
公式:
多边形的外角和等于°.
注意:
n边形的外角和恒等于360°,它与边数的多少关。
例1:
四边形ABCD中,如果∠A+∠C=180°,则∠B+∠D的度数是
例2.一个多边形的内角和等于1080°,这个多边形的边数是
例3正八边形的每个内角为
例4.一个正多边形,它的每一个外角都是45°,则该正多边形是
例5.若一个正多边形的每个内角为150°,则这个正多边形的边数是
知识点五:
镶嵌的概念和特征
1、定义:
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。
2、实现镶嵌的条件:
;相邻的多边形有公共边
3、常见的一些正多边形的镶嵌问题:
(1)用正多边形实现镶嵌的条件:
边长相等;顶点公用;在一个顶点处各正多边形的内角和为360°。
(2)只用一种正多边形镶嵌地面
用相同的正多边形地砖铺地面,只有的地砖可以用。
注意:
任意形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板,因为四边形的内角和都等于360°。
任意形状、大小完全相同的形也可以铺满地面。
(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面
例如,用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形,正五边形与正十边形都可以作平面镶嵌,但正五边形与正十边形不能铺满整个平面。
又如,用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面,
用个正三角形、个正方形、个正十二边形也能够铺满地面。
规律方法指导
1.内角和与边数成正比:
边数增加,内角和增加;边数减少,内角和减少.每增加一条边,内角的和就增加180°(反过来也成立),且多边形的内角和必须是180°的整数倍.
2.多边形外角和恒等于360°,与边数的多少无关.
3.多边形最多有三个内角为锐角,最少没有锐角(如矩形);多边形的外角中最多有三个钝角,最少没有钝角.
4.在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时,常与方程思想相结合,运用方程思想是解决本节问题的常用方法.
5.在解决多边形的内角和问题时,通常转化为与三角形相关的角来解决.
三角形是一种基本图形,是研究复杂图形的基础,同时注意转化思想在数学中的应用.
典型例题:
例1、一个多边形,它的外角最多有几个是钝角?
说说你的理由.
例2、一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗?
画出所有可能的图形,并分别说出内角和和外角和变化情况.
例3、一个n边形除了一个内角之外,其余各内角之和是1780度,求这个多边形的边数n和这个内角的度数?
练习
1、
(1)六边形的内角和是,外角和是.
(2)一个多边形的内角和与外角和都是360°,这个多边形是边形.
(3)一个十边形所有内角都相等,它的每一个外角等于度,共有条对角线。
(4)多边形边数增加一条,则它的内角和增加度,外角和.
(5)一个多边形的每一个外角都是72°,那么这个多边形的内角和为.
2.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少,这个多边形的边数是____________.
3.正n边形的一个外角等于它的一个内角的,则n=________.
4.在正方形、等腰三角形、正六边形、正七边形、正八边形中,能铺满地面的正多边形是________________________.
4.用正三角形和正六边形镶嵌,在每个顶点处有_______个正三角形和_____个正六边形,或在每个顶点处有______个正三角形和________个正六边形.
6.用正多边形镶嵌,设在一个顶点周围有m个正方形、n个正八边形,则m=_____,n=______.
7.如图,小亮从A点出发前10m,向右转15°,再前进10m,又向右转15°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了 _________ m.
三、解答题
1.一个多边形每一个外角都等于与它相邻的内角,这种多边形是几边形,你能能确定它的每一个外角的度数吗?
2.若一个n边形n个内角与某一个外角的总和为1520°,求多算的外角它的边数。
3.一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为1260°,求原多边形的边数
4.一个零件的形状如图中阴影部分.按规定∠A应等于90º,∠B、∠C应分别是29º和21º,检验人员度
量得∠BDC=141º,就断定这个零件不合格.你能说明理由吗?
多边形巩固提升
姓名
一、填空题(每小题4分,共40分)
1、三角形中,三个内角的比为1∶3∶6,它的三个内角度数分别是________.
2、三角形a、b两边的长分别是7cm和9cm,则周长c的取值范围是________.
3、等腰三角形两边分别是3和6,则周长为________________.
4、如图1,在△ABC中,∠A=27°,∠1=95°,∠B=38°则∠E=________.
5、正n边形的一个外角等于它相邻的一个内角的,则n=________.
6、正n边形的一个内角等于150°,则从这个多边形的一个顶点出发可引_____条对角线.
7、在矩形、等腰三角形、等腰梯形、正六边形、正七边形、正八边形中,能铺满地面的多边形是________________________.
8、如图2,∠x=________.
9、直角三角形两锐角平分线相交所成的角的度数是________.
10、一个多边形除去一个内角后,其余各内角的和为2780°,则除去的这个内角的度数___.
二、选择题(每小题3分,共12分)
11、如图3,AD是高,AE是角平分线,∠B=30°,∠C=70°,则∠DAE=()
A.20°B.30°C.10°D.15°
12、下列说法①等边三角形是等腰三角形;②多边形的外角最多有三个钝角;③多边形的外角最少有三个钝角;④多边形的内角最少有二个锐角,正确的个数有几个()
A.1B.2C.3D.4
13、现有正三角形、正十边形与第三种正多边形能铺平整的地面,则第三种正多边形是()
A.正十二边形B.正十三边形C.正十四边形D.正十五边形
14、如图5,至少去掉()个点,才能使留下的任何三个点都不能组成一个正三角形()
A.2B.3C.4D.5
三、解答题(每小题10分,共60分)
15、如图8,△ABC中,∠C=70°AD是∠CAB的平分线,BD是△ABC的外角平分线,AD与BD交于点D,求∠D的度数.
16、如图7,△ABC中,∠BAC∶∠ABC=7∶6,∠ABC比∠C大10°,BE、AD是△ABC的高,交于点H,求∠DHB的度数.
17.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2.
求∠BPC
(拔高)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交直线BC于点E.
(1)若∠B=35°,∠ACB=85°,求∠E的度数;
(2)当P点在线段AD上运动时,猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系,写出结论无需证明.
一、选择题
1.提供多边形的每个外角与它相邻内角的关系是()
A.互为余角B.互为邻补角C.两个角相等D.外角大于内角
2.若n边形每个内角都等于150°,那么这个n边形是()
A.九边形B.十边形C.十一边形D.十二边形
3.一个多边形的内角和为720°,那么这个多边形的对角线条数为()
A.6条B.7条C.8条D.9条
4.随着多边形的边数n的增加,它的外角和()
A.增加B.减小C.不变D.不定
5.若多边形的外角和等于内角和,它的边数是()
A.3B.4C.5D.7
6.一个多边形的内角和是1800°,那么这个多边形是()
A.五边形B.八边形C.十边形D.十二边形
7.一个多边形每个内角为108°,则这个多边形()
A.四边形B,五边形C.六边形D.七边形
8.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为()
A.90°B.105°C.130°D.120°
9.n边形的n个内角中锐角最多有()个.
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.多边形的内角和为它的外角和的4倍,这个多边形是()
A.八边形B.九边形C.十边形D,十一边形
二、填空题
1.用正多边形镶嵌,设在一个顶点周围有m个正三角形、n个正十二边形,则m=_____,n=______.
3.用一种正五边形或正八边形的瓷砖_______铺满地面.(填“能”或“不能”)
n边形的外角和与内角和的度数之比为2:
7,则边数为_______.
5.从一个多边形的一个顶点出发,一共做了10条对角线,则这个多边形的内角和为_____度.
6.在四边形ABCD中,如果∠A:
∠B:
∠C:
∠D=1:
2:
3:
4,则∠D=______.
7.用正方形和正十二边形以及正_____边形可以拼地板.
如图,小亮从A点出发前10m,向右转15°,再前进10m,又向右转15°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了 _________ m.
二、解答题
1、一个八边形每一个顶点可以引几条对角线?
它共有多少条对角线?
n边形呢?
3、若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的,求这个多边形的边数
能力提高
1、一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.
2、一个多边形少一个内角的度数和为2300°.
(1)求它的边数;
(2)求少的那个内角的度数.
3、四边形ABCD中,∠A+∠B=210°,∠C=4∠D.求:
∠C或∠D的度数.
4、多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°,求这个多边形的边数.
1.一个多边形除一个内角外,其余各内角的和为2030°,求这个多边形的边数。
22.下列多边形中,不能够单独铺满地面的是( )
A、正三
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- 第十三讲 基础多边形及其内角和与外角和专题辅导 第十 三讲 基础 多边形 及其 内角 外角 专题 辅导