反循环矩阵的性质及其逆矩阵的讨论.docx
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反循环矩阵的性质及其逆矩阵的讨论
密级公开学号200940404065
衡水学院
毕业论文(设计)
反循环矩阵的性质及其逆矩阵的讨论
论文作者
:
指导教师
:
系别
:
:
数学与计算机科学系
专业
数学与应用数学
年级
:
2009级
提交日期
:
2013年5月22日
答辩日期
:
2013年5月30日
毕业论文(设计)学术承诺
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作者签名:
指导教师签名:
日期:
日期:
论文题目:
反循环矩阵的性质及其逆矩阵的讨论
摘要:
反循环矩阵是矩阵理论的一个重要组成部分,具有很多良好的性质和结构,因此在数理统计、编码理论等很多学科中都有应用,越来越成为应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究内容。
故很有必要对其进行研究,讨论其特殊的性质和结构。
本文共分为三部分:
一、给出相关的预备知识,主要是文中用到的循环矩阵的基本概念以及性质。
二、给出了一个新的矩阵类型——反循环矩阵的概念,并给出了该矩阵的一系列性质及其对角化的问题,并给出反循环矩阵的逆矩阵的性质以及求逆矩阵的一般方法。
三、给出了反循环矩阵求逆矩阵的简便方法,另外给出几类特殊的反循环矩阵的求逆方法。
关键词:
循环矩阵;反循环矩阵;对角化;逆矩阵;
Title:
Propertiesofreversecirculationmatrixanddiscusstheinversematrix
Abstract:
Thereversecirculationmatrixisanimportantpartofthematrixtheory,havingalotofgoodnatureandstructure,thereforeithasapplicationsinmanydisciplinesofmathematicalstatistics,codingtheory,increasinglybecomeaveryactivefieldofappliedmathematicsandimportantresearch.Itisnecessarytostudyit,discussitsspecialnatureandstructure.
Thepaperisdividedintothreeparts:
No.1:
Givenpriorknowledge,mainlyisthebasicconceptofcyclicmatrixusedinthispaperandproperties.
No.2:
Presentsanewmatrixtype,theconceptofreversecirculationmatrix,andgivesaseriesofpropertiesofthematrixdiagonalizationproblem,andgiventhenatureofthereversecirculationinversematrixinversematrixmethod.
No.3:
Reversecirculationispresented,thesimplemethodofmatrixinversematrix,theotherisgivenseveralcategoriesofspecialreversecirculationmatrixinversionmethod
Keywords:
circulationmatrix;reversecirculationmatrix;diagonalization;inversematrix.
1绪论
1.1循环矩阵的发展与现状
Muir.T在1885年提出了循环矩阵的概念之后一直到1950年,关于循环矩阵的研究并没有引起广大数学工作者的重视。
到1950年至1955年间,I.J.Good等人才分别对循环矩阵的逆、行列式以及特征值进行了研究。
循环矩阵很特殊,它只含有n个元素,且任意行都可以通过对矩阵的第一行进行置换得到。
这种特殊的结构使得它具有良好的性质,对它进行研究可以得到很多很有意义的结果。
近些年来,循环矩阵已成为矩阵理论和应用数学领域中一项非常活跃和重要的研究内容,自1950年以后,对它的研究引起了人们的高度重视。
它不仅受到代数学诸多专家的重视,而且受到了计算数学、应用数学界等许多领域的研究人员的关注。
另外,有关它的理论研究也得到了飞快发展。
我国学者在这方面也做了很多卓有成效的工作。
1.2循环矩阵的概念
我们先来了解一下循环矩阵的基本概念:
定义1.2.1复数域C上形如
的矩阵称为n阶循环矩阵,简记为
循环矩阵中还包含有一些特殊的矩阵,他们可以作为循环矩阵的分支。
对于这些特殊矩阵的研究可以帮助我们更好地认识循环矩阵,同时对反循环矩阵的研究也有重要意义。
接下来介绍一下这些特殊循环矩阵的概念。
定义1.2.2称具有这种形式的矩阵
称为基本循环矩阵,简记为
由定义1.2.2可知
定义1.2.3若是复数域上的矩阵,称
为分块循环矩阵,简记为
定义1.2.4具有这种形式的矩阵
称为分块对称循环矩阵,记为
1.3循环矩阵的性质
性质1.3.1循环矩阵的基本列都是线性无关的。
性质1.3.2任意的循环矩阵都可以用循环矩阵基本列线性表出.
性质1.3.3若是阶循环矩阵,则:
(1)是循环矩阵。
(2)是循环矩阵,且
(3)是循环矩阵。
性质1.3.4一个循环矩阵如果可逆,则其逆矩阵也为循环矩阵。
2反循环矩阵的介绍
反循环矩阵是在循环矩阵的基础上提出来的,它是一类特殊的矩阵,对于它的研究对编码理论、图象处理、结构计算等领域都有很重要的作用。
在研究这类矩阵之前,先对反循环矩阵进行简单的介绍。
2.1反循环矩阵的概念
定义2.1.1复数域C上形如
的矩阵称为n阶反循环矩阵,简记为
下面几个矩阵是反循环矩阵的一些特殊形式,了解和研究这些特殊矩阵对我们掌握好反循环矩阵的知识有着重要作用。
定义2.1.2具有这种形式的矩阵
称为基本反循环矩阵,简记为
由定义2.1.2可知
此外,我们验证
(其中E为n阶单位阵)。
由此我们可以看出都是n阶反循环矩阵,并且他们是线性无关的。
定义2.1.3设为阶单位矩阵,为阶零矩阵,称
这样形式的矩阵为基本的分块反循环矩阵。
定义2.1.4若是复数域上的矩阵,称
为分块反循环矩阵,简记为
定义2.1.5具有这种形式的矩阵
称为分块对称反循环矩阵,记为
2.2反循环矩阵的性质
性质2.2.1阶反循环矩阵可以由基本反循环矩阵的方幂线性表出,反过来,如果矩阵可以由基本反循环矩阵的方幂线性表出,那么一定为反循环矩阵。
因为任意一个阶反循环矩阵是基本反循环矩阵的方幂构成的多项式。
例如:
性质2.2.2若是阶反循环矩阵,则:
(2)是反循环矩阵。
(4)是反循环矩阵,且
(5)是反循环矩阵。
证明:
(1)设则显然是阶反循环矩阵。
(2)由性质2.1.1可知
注意到其中为非负整数。
易知仍为反循环矩阵且
(3)显然为反循环矩阵。
性质2.2.3若反循环矩阵可逆,则它的逆矩阵必为反循环矩阵。
证明:
设又设为的逆.下面证明:
存在一组数使得而且
因此有
方程组的系数行列式为,而方程组有唯一解,设为
则使,由性质2.1.1可知是反循环矩阵。
性质2.2.4反循环矩阵一定与循环矩阵相似。
证明:
设为一反循环矩阵,的生成多项式为,是一循环矩阵,的生成多项式为
由性质2.1.4可知存在可逆矩阵可将对角化,即
再由相似的传递性,欲使与相似,只须令与相似即可,所以令
即
而此方程组的系数矩阵就是
由于所以线性方程组存在唯一解此时故与相似。
2.3反循环矩阵的对角化问题
性质2.3.1任意的反循环矩阵在复数域上都可以对角化。
性质2.3.2任一阶矩阵可对角化的充要条件是它与某一阶反循环矩阵相似。
证明:
(1)充分性:
若矩阵A和某个阶反循环矩阵相似,由性质2.1.4和相似关系的传递性知矩阵A可以对角化。
(2)必要性:
若矩阵A可以对角化,则存在可逆矩阵C,使得
令
考虑下面的方程组:
由于方程组的系数行列式的值为,故方程组有唯一解,设其解为则是一个反循环矩阵,且由性质2.1.4知:
于是即与反循环矩阵相似。
性质2.3.3基本分块反循环矩阵S可对角化。
2.4反循环矩阵的逆矩阵的求法
反循环矩阵的逆矩阵在矩阵理论中占有重要的地位。
要计算反循环矩阵逆矩阵,我们可以将它看为是一般的矩阵,利用我们平时计算逆矩阵的方法来求。
方法一:
公式法
例2.4.1求反循环矩阵的逆矩阵。
解:
(法一)利用公式
计算则可逆。
要求,首先求的代数余子式。
按照同样的方法可求得
因此可求得
这样根据公式我们就可求出
运用求逆公式来求矩阵的逆,一般用于二阶的矩阵,不建议对再高阶的矩阵求逆,因为那样计算量会比较大,不利于计算。
对于高阶的矩阵求逆,我们有另一种方法来计算。
方法二:
初等行变换法
如果n阶的矩阵A可逆,那么做一个的矩阵,然后对这个的矩阵进行初等行变换,直到将A化为单位矩阵,则E化为。
下面我们根据方法三来计算一下例2.4.1.
解:
(法二)
由此可得
反循环矩阵的逆矩阵我们可以用一般的方法求得,下面我们来介绍一种简单实用的方法。
方法三:
设为反循环矩阵,它可逆,设其逆矩阵为
求则需要确定的值。
因为可逆,所以因此满足
(1)
也即
因此,要求只要求线性方程组
(1),解出即可。
下面我们根据方法三来计算一下例2.4.1.
解:
(法三)可逆。
设其逆矩阵为因为可逆,所以故满足
解线性方程组可得
因此
方法四:
若反循环矩阵A可逆,那么是第一行元素为的反循环矩阵,其中分别是的第一行元素的代数余子式。
方法四可以根据证得。
3几类特殊反循环矩阵的求逆方法
3.1第一行元素为的反循环矩阵
设我们根据上面介绍的方法三来计算逆矩阵。
以为系数矩阵的线性方程组为
对的增广矩阵做初等行变换,得
故线性方程组的解由下式决定:
(1)当时,
所以
(2)当时,
所以
(3)当且时,令那么
所以为第一行元素的反循环矩阵。
3.2二元反循环矩阵
设为二元反循环矩阵,计算可得
所以当时,A可逆。
根据上面介绍的方法四可以得到
3.3反对称反循环矩阵
反对称反循环矩阵是一种特殊的反循环矩阵,它的特殊性使它具有一些特殊的性质,也有着更为简单的求逆方法。
3.3.1反对称反循环矩阵的概念
定义3.3.1复数域C上形如
且满足的矩阵称为阶反对称反循环矩阵,简记为本
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