北师大版初二数学下册课堂实录文字版.docx
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北师大版初二数学下册课堂实录文字版
《探索多边形的内角和》课堂实录及评析
评析者:
阜新市教师进修学院王东升
执教者:
阜新市第二十六中学王凯
【教材分析】
本节内容是北师大版数学实验教科书八年级上册第四章《四边形性质探索》第六节《探索多边形内角和与外角和》的第一课时。
多边形的内角和公式(n-2)×180°的探究过程是本课时的重点,教学过程中注意让学生体会从特殊到一般的思想方法和解决问题方法的多样化。
本课时是三角形、四边形知识的一个总结和延伸,主要利用转化思想将多边形分割成若干个三角形,再利用三角形的内角和来解决。
“多边形内角和”也为后面的课题学习“平面图形的镶嵌”贮备了知识。
【学生情况分析】
学生在此前已经知道了三角形的内角和,具备了一定分析、归纳的能力,掌握了一些简单的从特殊到一般的化归方法。
在教学中学生可能遇到的困难大致有以下两点:
(1)探究分割多边形的方法;
(2)如何从三角形的内角和推导四边形、五边形的内角乃至推广到n边形的内角和。
根据八年级学生的理解能力、思维特征和生理特征,在教学中一方面运用直观生动的形象,激发学生的兴趣,使他们的注意力集中在课堂上;另一方面创造条件和机会,让学生发表见解,努力探究解决问题的多种方法,发挥学生学习的主动性。
【教学目标分析】
1、经历探索多边形内角和公式的过程,进一步发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、探索并了解多边形的内角和公式,了解正多边形的概念,进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
3、体验探索、归纳的过程,体会从特殊到一般的思想方法和解决问题方法的多样化。
【教学重、难点】
探索多边形内角和公式的过程。
【教学手段】
多媒体辅助教学,使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中来。
【教具准备】
多媒体课件、矩形纸片、剪刀。
【教学过程】
[师]上课!
[生]老师好!
[师]同学们好!
活动一:
探索多边形的定义及相关元素:
[师]请同学们看这样一个问题:
一张矩形纸片,用剪刀剪去一个角,会出现什么形状的图形。
动手试一试,比一比谁剪出的图形多。
[生](动手实践,比较交流,展示图形)三角形、四边形、五边形。
[师]非常好,同学们剪出了三种不同形状的图形,你们能说说自己是如何剪的吗?
[生1]剪痕不经过顶点,我得到的是五边形。
[生2]剪痕经过一个顶点,我得到的是四边形。
[生3]剪痕经过两个顶点,我得到的是三角形。
[师](演示课件,展示学生所剪出的几种情况)真不错!
同学们不但能够动手剪出所有的几何图形,而且能够发现其中的规律,并且准确的用数学语言回答,给我们这节课的学习开了个好头,请同学们保存好你手中的几何图形,随着本节学习的深入你会用到的哦。
刚才我们亲手剪出了几何图形,现在再让我们欣赏几幅漂亮的图案,一起来发现生活中的几何图形。
(演示课件,展示生活中的几幅图片)
[生](聚精会神的观察图片,齐声回答)看到了三角形、四边形、五边形、六边形、八边形。
[师]同学们观察的非常仔细,现实世界因为有了这些几何图形而显得丰富多彩,同学们能否给这些几何图形一个统一的名字呢?
[生]多边形。
[师](板书部分课题“多边形”)这正是我们这节课要研究的对象。
请同学们先回忆一下最简单的多边形--三角形的定义。
[生]由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。
[师]能否仿照三角形定义说一下四边形的定义呢?
[生1]由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。
[生2]不对,应该说“在同一平面内”!
[师]能说下理由么?
[生2]用四支笔搭出空间四边形,众生恍然。
[师]请同学们一起说出“四边形”的定义。
[众生]在平面内,由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。
[师]好,现在同学们能否说一说多边形的定义呢?
[生]在平面内,由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。
[师](板书定义)同学们在掌握多边形定义时要把握住哪些关键词呢?
[生]平面内、不共线、首尾顺次相连。
[师]好,我们认识了什么是多边形,那么我们就来了解一下多边形的相关元素。
(屏幕演示多边形)逐一突出各相关元素。
[众生](齐声回答)顶点、边、内角、对角线。
[师]能说说什么是对角线吗?
[生]连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
活动二:
探索四边形的内角和:
[师]在了解了多边形的相关概念后,大家想知道怎么求它的内角和吗?
[生]想!
[师](补全课题“探索多边形的内角和”)三角形的内角和是多少?
[生]三角形的内角和是180°
[师]矩形呢?
[生]360°
[师]正方形呢?
[生]360°
[师]通过前面的学习我们已经知道了特殊四边形的内角和是360°,那么是不是任意四边形的内角和都是360°呢?
请同学们拿出刚才剪好的四边形纸片,让我们从四边形开始今天的探索吧!
[生]准备好四边形纸片,跃跃欲试。
[师]既然我们已经知道了三角形的内角和是180°,那么能否把四边形的问题转化成三角形的问题来考虑呢?
请同学们利用四边形纸片动手实践一下。
[生]独立思考,在纸片上设计不同方案;之后小组内合作交流,并把各种方案在背景布上进行展示。
图1图2图3
[师]巡视,指导点拨,了解学生探索进程。
[生1](如图1)连接四边形的一条对角线,把四边形转化成两个三角形,每个三角形的内角和是180°,那么两个三角形就是360°,所以四边形内角和为360°。
[师]好,连接对角线,在前面的学习中我们也经常用到,今天又用这个方法把四边形分割成了两个三角形的方法,解决了四边形内角和的问题。
[生2]我的办法是在纸片的一边上任意找一点,连接不相邻的两个顶点,把四边形分割成了三个三角形,三个三角形的内角和为540°,再减掉多出来的平角180°,也得到了四边形的内角和是360°。
[师]很好,请第三种方案的设计者说说他是怎么想的?
[生]我不同于他们的方法,我是在四边形的内部任取一点,分别连接各个顶点,这样就把四边形转化成了四个三角形,四个三角形的内角和是720°,在减去一个周角360°,这样也得到了四边形的内角和是360°。
[师]很好,可以看出不管哪种方案得出的结果都是一样的,那就是四边形的内角和是……
[生]360°
[师]看到前面的三种方案,你更喜欢那一种呢?
[生1]我喜欢第一种,感觉很简单,连接对角线就把四边形分割成了两个三角形2×180°=360°
[生2]我喜欢第三种,有几条边就有几个180°,再减去多余的周角360°就可以了。
[师]说的很好,看来每种方案都有它的特点,那么这几种方案有什么共同之处?
[生1]都是把四边形问题转化成三角形问题,在利用三角形的内角和是180°,从而解决问题。
[生2]体现了化未知为已知的思想。
活动三:
探索五边形的内角和:
[师]很好,在四边形内角和的探索过程中同学们表现不错,而且大家一致确定了把四边形的问题转化成三角形的问题来解决的研究方法,下面就让我们再探索一下五边形的内角和吧!
请同学们拿出剪好的五边形纸片,开始你的探究吧!
[生]独立思考,自主完成。
在纸片上画出不同方法,在背景布上展示自己的作品,并加以说明。
图4图5图6
图7图8图9
[生1]从五边形的一个顶点出发,把五边形分割成三个三角形(如图4),每个三角形的内角和是180°,所以五边形的内角和是3×180°=540°。
[生2]在五边形的一条边上任意取一点,然后与各顶点相连,把五边形分割成四个三角形(如图5),但从图中可以知道比五边形的内角和多出了一个平角,所以五边形的内角和是4×180°-180°=540°。
[生3]在五边形的内部任意取一点,然后与与各顶点相连,把五边形分割成五个三角形(如图6),从图中可以知道比五边形的内角和多出了一个周角,所以五边形的内角和是5×180°-360°=540°。
[生4]通过刚才的学习,我知道了四边形的内角和是360°,所以我把五边形分割成了一个四边形和一个三角形(如图7),因此,五边形的内角和是360°+180°=540°。
[生5]我是把五边形分割成了两个四边形(如图8),但多出了一个平角,所以五边形的内角和是2×360°-180°=540°。
[师]非常好,同学们找到了这么多方法,不但把五边形的问题转化成了三角形的问题来解决,而且有两个同学又把五边形分割成了四边形和三角形,看来同学们既掌握了研究问题的方法和解决问题的策略,又能够学以致用、举一反三。
在我们的生活中,学会把未知的事物转化成已知的事物,把复杂的问题转化成简单的问题,会给我们的学习带来极大的方便。
因为受到手中学具的限制,还有一种方法是同学们无法在纸片上作出的,现在请同学们看屏幕(教师利用几何画板动态演示在平面内取任意点并连接各顶点,从而分割五边形的不同方法,并强调在五边形外部任取一点的情况,4×180°=540°)。
同学们观看了刚才的动态演示,有什么感想呢?
[生]分割的手段有很多种,选取的任意点可以在五边形的内部、边上和外部。
但解决问题的策略都是一样的,那就是把五边形问题转化成三角形、四边形问题来解决。
活动四:
探索多边形的内角和:
[师]非常好,看到了这么多求五边形内角和的方法,哪种方法和计算更为简便呢?
[生]我认为第一种方法最简单,从五边形的一个顶点引出两条对角线,把五边形分割成了两个三角形,直接应用三角形的内角和就可以了,不用减去多出来的平角或者周角。
[师]恩,不用减去多余的角,说得好!
同学们都同意她的观点吗?
[生]同意!
[师]好,请同学们任意画一个六边形。
[生]在练习本上画出图形,并按照第一种方法进行分割。
[师]从六边形的一个顶点出发,你可以把六边形分成几个三角形?
[生]四个三角形。
[师]那么内角和是多少呢?
[生]4×180°=720°
[师]观察五边形和六边形,你能发现什么规律呢?
[生]我发现从五边形的一个顶点出发作对角线可以分割出3个三角形,比边数少2;从六边形的一个顶点出发作对角线可以分割出4个三角形,也比边数少2。
[师]好,那么从任意多边形的一个顶点出发作对角线,我们分割出的三角形个数是否都是比它的边数少2呢?
请同学们动手实验一下。
[生]我画的是七边形,分割成了5个三角形,符合这个规律。
[生]我画的是四边形,分割成了2个三角形,符合这个规律。
[生]我画的是八边形,分割成了6个三角形,也符合这个规律。
[生]我认为任意多边形都符合这个规律。
[师]请用一句话总结这一规律。
[生]从n边形的一个顶点出发作对角线可以把n边形分割成(n-2)个三角形。
[师]那么n边形的内角和是多少?
[生]因为从n边形的一个顶点出发作对角线可以把n边形分割成(n-2)个三角形,所以n边形的内角和是(n-2)×180°。
[师]说得非常好!
请问,在(n-2)×180°中,字母n可以取什么数?
[生]大于等于3的整数。
[师]请利用刚才学到的知识填写下表:
[生]独立思考,自主作答。
[师]在今后的计算中,我们就可以利用(n-2)×180°来求多边形的内角和,这就是多边形内角和公式。
(板书公式)。
下面请同学们计算十二边形的内角和。
[生](齐声)1800°
[师]如果一个多边形的内角和是2160°,你知道这是几边形吗?
[生](齐声)十四边形。
[师]很好,同学们不但能够自己探索得出多边形的内角和公式,而且能够轻松的运用它来解决问题。
老师为你们的表现感到高兴!
活动五:
探索正多边形的定义及相关性质:
[师]请同学们观察测量P126图4-32的多边形,它们的边、角有什么特点?
[生1]通过测量,我发现这组多边形的各边都相等。
[生2]我发现这组多边形的各内角都相等。
[师]同学们知道这组多边形的名称吗?
[生]正三角形、正方形、正五边形、正六边形……
[师]能给它们一个统一的名称吗?
[生](齐声)正多边形!
[师]好,正三角形是怎么定义的?
[生]三条边相等、三个内角相等的三角形叫做等边三角形。
[师]正方形是怎么定义的?
[生]四条边相等、四个内角相等的四边形叫做正方形。
[师]请同学们结合正三角形、正方形的定义说出正多边形的概念。
[生]在平面内,内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形。
[师]一个多边形的边都相等,它的内角一定都相等吗?
[生]不一定,比如说菱形,各边等,但是各内角不一定相等。
[师]很好,同学们用到了“举反例”的数学方法。
那么再考虑:
一个多边形的内角都相等,它的边一定都相等吗?
[生]不一定,例如矩形,各内角都相等,而各边不一定相等。
[师]很好,同学们举出的例子很说明问题。
下面老师利用“几何画板”这个学习工具给大家再展示两个反例,请看屏幕。
(教师演示动态课件)
[师]同学们通过几个反例,在掌握正多边形定义时应注意什么问题?
[生]正多边形的概念中各边等、各内角等的两个条件缺一不可。
[师]下面请同学们利用多边形内角和公式和正多边形的概念,填写下表:
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正八边形
内角和
每个内角
[生]独立思考,自主作答。
[师]好,随着一个个问题的解决,我们的这节课也接近了尾声,下面给同学们两分钟时间思考一下,通过这节课的学习和探索过程,你学到了什么?
有什么收获?
你有何体会?
(给学生足够的时间与空间,让他们结合本课的学习进行总结,谈收获体会。
)
[生1]我知道了多边形的定义:
在平面内,由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。
[生2]我学会了正多边形的定义:
在平面内,内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形。
[生3]我知道了多边形的内角和公式,而且通过与同学们的合作探索,我找到了好几种方法。
[生4]我会用公式来求多边形的内角和了。
并且利用内角和会求多边形的边数。
[生5]我在探索多边形内角和公式的过程中学会了把多边形的问题转化成三角形的问题来解决。
[生6]我在探索四边形内角和的过程中展示的作品得到了老师和同学的认可,我感觉到非常自豪,体会到了成功。
[师]非常好,看来通过这节课的学习,同学们不但掌握了知识,而且学会了方法。
尤其是在探索多边形内角和的过程中同学们的表现非常好,希望这种探索的精神能在大家今后的学习中得到发扬!
今天同学们找到了很多解决多边形内角和的方法,其实还有很多方法,比如测量、剪纸、拼图……,请同学们课后继续探索。
下面就给大家布置一个作业:
设计一个实验(如剪纸、拼图),说明五边形的内角和是540°
[师]好,下课!
[生]老师再见!
[师]同学们再见!
【板书设计】
§4.6探索多边形的内角和
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