高三数学一轮二轮复习配套讲义第8篇 第8讲 曲线与方程复习配套讲义第8篇 第9讲 圆锥曲线的热点问题.docx
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第9讲 圆锥曲线的热点问题
[最新考纲]
1.理解数形结合的思想.
2.了解圆锥曲线的简单应用.
知识梳理
1.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程.
即消去y后得ax2+bx+c=0.
(1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C无公共点.
(2)当a=0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行.
2.圆锥曲线的弦长
(1)圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时,这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段),线段的长就是弦长.
(2)圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|==|x1-x2|=·|y1-y2|(抛物线的焦点弦长|AB|=x1+x2+p=,θ为弦AB所在直线的倾斜角).
3.圆锥曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.在椭圆+=1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=-;在双曲线-=1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线y2=2px(p>0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=.
辨析感悟
1.对直线与圆锥曲线交点个数的理解
(1)直线y=kx+1与椭圆+=1恒有两个公共点.(√)
(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点.(×)
(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点.(√)
2.对圆锥曲线中有关弦的问题的理解
(4)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为+=1.(√)
(5)已知点(2,1)是直线l被椭圆+=1所截得线段的中点,则l的方程为x+4y-6=0.(×)(6)(·潍坊一模改编)直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于.(√)
[感悟·提升]
两个防范 一是在解决直线与抛物线的位置关系时,要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况,如
(2);
二是中点弦问题,可以利用“点差法”,但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部,如(5).
考点一 直线与圆锥曲线位置关系
【例1】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:
+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:
y2=4x相切,求直线l的方程.
解
(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),所以c=1.
把点P(0,1)代入椭圆+=1,得=1,即b=1,
所以a2=b2+c2=2.
所以椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)由题意可知,直线l的斜率显然存在,且不等于0,设直线l的方程为y=kx+m.
联立消去y并整理得
(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
因为直线l与椭圆C1相切,
所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,
整理得2k2-m2+1=0.①
联立
消去y并整理得k2x2+(2km-4)x+m2=0.
因为直线l与抛物线C2相切,
所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0.
整理得km=1.②
综合①②,解得或
所以直线l的方程为y=x+或y=-x-.
规律方法将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组,然后判断方程组是否有解,有几个解,这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法,注意:
在没有给出直线方程时,要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论,避免漏解.
【训练1】在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围;
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量+与垂直?
如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.
解
(1)由已知条件,直线l的方程为y=kx+,
代入椭圆方程得+(kx+)2=1,
整理得x2+2kx+1=0.①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于①中
Δ=8k2-4=4k2-2>0,
解得k<-或k>.
即k的取值范围是∪.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则+=(x1+x2,y1+y2)
由方程①得,x1+x2=-,
y1+y2=k(x1+x2)+2=+2.
∵(+)⊥,∴(x1+x2)·(-)+y1+y2=0,
即:
-·(-)-+2=0.
解得k=-,由
(1)知k2>,与此相矛盾,
所以不存在常数k使+与垂直.
考点二 圆锥曲线中的弦长问题
【例2】已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
解
(1)由题意得解得b=.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
x1+x2=,x1x2=.
所以|MN|=
=
=.
又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=,
所以△AMN的面积为S=|MN|·d=.
由=,解得k=±1.
规律方法直线与圆锥曲线的弦长问题,较少单独考查弦长的求解,一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程.解此类题的关键是设出交点的坐标,利用根与系数的关系得到弦长,将已知弦长的信息代入求解.
【训练2】(·新课标全国Ⅱ卷)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:
+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.
(1)求M的方程;
(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ABCD面积的最大值.
解
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P0(x0,y0),
则+=1,+=1,=-1,
由此可得=-=1.
因为P为AB的中点,且OP的斜率为,
所以x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,=.
所以y0=x0,即y1+y2=(x1+x2).
所以a2=2b2,
又由题意知,M的右焦点为(,0),故a2-b2=3.
所以a2=6,b2=3.
所以M的方程为+=1.
(2)将x+y-=0代入+=1,
解得或所以可得|AB|=;
由题意可设直线CD方程为y=x+m,
所以设C(x3,y3),D(x4,y4),
将y=x+m代入+=1得3x2+4mx+2m2-6=0,则|CD|==,
又因为Δ=16m2-12(2m2-6)>0,即-3 所以当m=0时,|CD|取得最大值4, 所以四边形ACBD面积的最大值为 |AB|·|CD|=. 考点三 圆锥曲线中的定点、定值问题 【例3】椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率e=,a+b=3. (1)求椭圆C的方程; (2)如图,A、B、D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明: 2m-k为定值. 审题路线 (2)写出直线BP的方程⇒与椭圆方程联立解得P点坐标⇒写出直线AD的方程⇒由直线BP与直线AD的方程联立解得M点坐标⇒由D,P,N三点共线解得N点坐标⇒求直线MN的斜率m⇒作差: 2m-k为定值. (1)解 因为e==, 所以a=c,b=c. 代入a+b=3得,c=,a=2,b=1. 故椭圆C的方程为+y2=1. (2)证明 因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为y=k(x-2)(k≠0,k≠±),① ①代入+y2=1,解得P. 直线AD的方程为y=x+1.② ①与②联立解得M. 由D(0,1),P,N(x,0)三点共线知 =,解得N. 所以MN的斜率为m= ==, 则2m-k=-k=(定值). 规律方法求定值问题常见的方法有两种: (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 【训练3】椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,该椭圆经过点P且离心率为. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线l: y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左,右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证: 直线l过定点,并求出该定点的坐标. (1)解 设椭圆方程为+=1(a>b>0), 由e==,得a=2c, ∵a2=b2+c2,∴b2=3c2, 则椭圆方程变为+=1. 又椭圆过点P,将其代入求得c2=1, 故a2=4,b2=3, 即得椭圆的标准方程为+=1. (2)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0, ① 又y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=. ∵椭圆的右顶点为A2(2,0),AA2⊥BA2, ∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, ∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0, ∴+++4=0, ∴7m2+16mk+4k2=0, 解得m1=-2k,m2=-, 由①,得3+4k2-m2>0, 当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2), 直线过定点(2,0),与已知矛盾. 当m2=-时,l的方程为y=k, 直线过定点, ∴直线l过定点,定点坐标为. 考点四 圆锥曲线中的范围与最值问题 【例4】已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1). (1)求抛物线C的方程; (2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l: y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值. 审题路线 (2)设直线AB的方程⇒与抛物线方程联立消去y得关于x的一元二次方程⇒解得|x1-x2|⇒由直线AM的方程与直线l联立解得点M的横坐标⇒由直线ON的方程与直线l联立解得点N的横坐标⇒|MN|=|xM-xN|⇒换元、分类求|MN|的最小值. 解 (1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1. 由消去y,整理得x2-4kx-4=0, 所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4. 又y=x,且y=x-2, 解得点M的横坐标xM===. 同理点N的横坐标xN=. 所以|MN|=|xM-xN|= =8=, 令4k-3=t,t≠0,则k=. 当t>0时,|MN|=2>2. 当t<0时,|MN|=2≥. 综上所述,当t=-,即k=-时, |MN|的最小值是. 规律方法圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种: 一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值. 【训练4】(·浙江卷)如图,点P(0,-1)是椭圆C1: +=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2: x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D. (1)求椭圆C1的方程; (2)求△ABD面积取最 大值时直线l1的方程. 解 (1)由题意得 所以椭圆C1的方程为+y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k, 则直线l1的方程为y=kx-1. 又圆C2: x2+y2=4, 故点O到直线l1的距离d=, 所以|AB|=2=2. 又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0. 由 消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故x0=-. 所以|PD|=. 设△ABD的面积为S,则S=|AB|·|PD| =, 所以S= ≤=, 当且仅当k=±时取等号. 所以所求直线l1的方程为y=±x-1. 1.涉及弦长的问题时,应熟练地利用根与系数的关系,设而不求计算弦长;涉及垂直关系往往也是利用根与 系数的关系设而不求简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑利用圆锥曲线的定义求解. 2.关于圆锥曲线的中点弦问题 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题,是解析几何的内容之一,也是高考的一个热点问题.这类问题一般有以下三种类型: (1)求中点弦所在直线方程问题; (2)求弦中点的轨迹方程问题;(3)弦长为定值时,弦中点的坐标问题.其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等. 3.圆锥曲线综合问题要四重视: (1)重视定义在解题中的作用; (2)重视平面几何知识在解题中的作用;(3)重视根与系数的关系在解题中的作用;(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用. 答题模板12——圆锥曲线中的探索性问题 【典例】(14分)(·广东卷)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率e=,且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C的方程; (2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l: mx+ny=1与圆O: x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最大? 若存在,求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由. [规范解答] (1)因为e===, 所以a2=3b2,即椭圆C的方程可写为+=1.(2分) 设P(x,y)为椭圆C上任意给定的一点, 则d== =(-b≤y≤b).(3分) 当-b≤-1,即b≥1,dmax==3得b=1; 当-b>-1,即b<1,dmax==3得b=1(舍). ∴b=1,a=,(5分) 故所求椭圆C的方程为+y2=1.(6分) (2)存在点M满足要求,使△OAB的面积最大.(7分) 假设存在满足条件的点M,因为直线l: mx+ny=1与 圆O: x2+y2=1相交于不同的两点A,B, 则圆心O到l的距离d=<1.(8分) 因为点M(m,n)在椭圆C上,所以+n2=1 于是0 因为|AB|=2=2,(10分) 所以S△OAB=·|AB|·d= =≤=, 当且仅当1=m2时等号成立,所以m2=∈(0,3]. 因此当m=±,n=±时等号成立.(12分) 所以满足要求的点M的坐标为,, 或, 此时对应的三角形的面积均达到最大值.(14分) [反思感悟] (1)本题是圆锥曲线中的探索性问题,也是最值问题,求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重点,通常是先建立一个目标函数,然后利用函数的单调性或基本不等式求最值. (2)本题的第一个易错点是表达不出椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值;第二个易错点是没有掌握探索性问题的解题步骤;第三个易错点是没有正确使用基本不等式. 答题模板 探索性问题答题模板: 第一步: 假设结论存在. 第二步: 结合已知条件进行推理求解. 第三步: 若能推出合理结果,经验证成立即可肯定正确;若推出矛盾,即否定假设. 第四步: 反思回顾,查看关键点、易错点及解题规范.如本题中易忽略直线l与圆O相交这一隐含条件. 【自主体验】 (·江西卷)如图,椭圆C: +=1(a>b>0)经过点P,离心率e=,直线l的方程为x=4. (1)求椭圆C的方程; (2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问: 是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3? 若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由P在椭圆上,得+=1① 依题设知a=2c,则b2=3c2,② ②代入①,解得c2=1,a2=4,b2=3. 故椭圆C的方程为+=1. (2)法一 由题意可设AB的斜率为k, 则直线AB的方程为y=k(x-1),③ 代入椭圆方程3x2+4y2=12,并整理,得 (4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则有x1+x2=,x1x2=,④ 在方程③中令x=4,得M的坐标为(4,3k). 从而k1=,k2=,k3==k-. 注意到A,F,B共线,则有k=kAF=kBF, 即有==k. 所以k1+k2=+ =+- =2k-·,⑤ ④代入⑤, 得k1+k2=2k-·=2k-1, 又k3=k-,所以k1+k2=2k3. 故存在常数λ=2符合题意. 法二 设B(x0,y0)(x0≠1), 则直线FB的方程为y=(x-1), 令x=4,求得M, 从而直线PM的斜率为k3=, 联立得A, 则直线PA的斜率为k1=, 直线PB的斜率为k2=, 所以k1+k2=+ ==2k3, 故存在常数λ=2符合题意. 基础巩固题组 (建议用时: 40分钟) 一、选择题 1.直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为( ). A.1B.1或3C.0D.1或0 解析 由得k2x2+(4k-8)x+4=0,若k=0,则y=2,若k≠0,若Δ=0,即64-64k=0,解得k=1,因此直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k=0或1. 答案 D 2.(·济南模拟)若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=x无交点,则离心率e的取值范围是( ). A.(1,2)B.(1,2] C.(1,)D.(1,] 解析 因为双曲线的渐近线为y=±x,要使直线y=x与双曲线无交点,则直线y=x应在两渐近线之间,所以有≤,即b≤a,所以b2≤3a2,c2-a2≤3a2,即c2≤4a2,e2≤4,所以1 答案 B 3.(·烟台期末考试)已知与向量v=(1,0)平行的直线l与双曲线-y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最小值为( ). A.2B.C.4D.2 解析 由题意可设直线l的方程为y=m,代入-y2=1得x2=4(1+m2),所以x1==2,x2=-2,所以|AB|=|x1-x2|=4,所以|AB|=4≥4,即当m=0时,|AB|有最小值4. 答案 C 4.(·西安模拟)已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为( ). A.-2B.-C.1D.0 解析 设点P(x,y),其中x≥1.依题意得A1(-1,0),F2(2,0),则有=x2-1,y2=3(x2-1),·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=42-,其中x≥1.因此,当x=1时,·取得最小值-2,选A. 答案 A 5.(·宁波十校联考)设双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2=( ). A.1+2B.4-2 C.5-2D.3+2 解析 如图,设|AF1|=m,则|BF1|=m,|AF2|=m-2a,|BF2|=m-2a, ∴|AB|=|AF2|+|BF2|=m-2a+m-2a=m,得m=2a,又由|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2, 可得m2+(m-2a)2=4c2,即得(20-8)a2=4c2,∴e2==5-2,故应选C. 答案 C 二、填空题 6.(·东北三省联考)已知椭圆C: +=1(a>b>0),F(,0)为其右焦点,过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为________. 解析 由题意,得 解得∴椭圆C的方程为+=1. 答案 +=1 7.已知双曲线方程是x2-=1,过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1,P2两点,并使P(2,1)为P1P2的中点,则此直线方程是________. 解析 设点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则由x-=1,x-=1,得k====4,从而所求方程为4x-y-7=0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2-56x+51=0,Δ>0,故此直线满足条件. 答案 4x-y-7=0 8.(·青岛调研)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A,B两点,则的值是________. 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2,易知直线AB的方程为y=x-p,代入抛物线方程y2=2px,可得3x2-5px+p2=0,所以x1+x2=p,x1x2=,可得x1=p,x2=,可得===3. 答案 3 三、解答题 9.椭圆+=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为原点). (1)求证: +等于定值; (2)若椭圆的离心率e∈,求椭圆长轴长的取值范围. (1)证明 由消去y, 得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,① ∵直线与椭圆有两个交点,∴Δ>0, 即4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)>0⇒a2b2(a2+b2-1)>0, ∵a>b>0,∴a2+b2>1. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1、x2是方程①的两实根. ∴x1+x2=,x1x2=.② 由OP⊥OQ得x1x2+y1y2=0, 又y1=1-x1,y2=1-x2, 得2x1x2-(x1+x2)+1=0.③ 式②代入式③化简得a2+b2=2a2b2.④ ∴+=2. (2)解 利用 (1)的结论,将a表示为e的函数 由e=⇒b2=a2-a2e2, 代入式④,得2-e2-2a2(1-e2)=0. ∴a2==+. ∵≤e≤,∴≤a2≤. ∵a>0,∴≤a≤. ∴长轴长的取值范围是[,]. 10.(·佛山模拟)已知椭圆+=1(a>0,b>0)的左焦点F为圆x2+y2+2x=0的圆心,且椭圆上的点到点F的距离最小值为-1. (1)求椭圆方程; (2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A,B,点M,证明: ·为定值. 解 (1)化圆的标准方程为(x+1)2+y2=1, 则圆心为(-1,0),半径r=1,所以椭圆的半焦距c=1. 又椭圆上的点到点F的距离最小值为-1,所以a-c=-1,即a=. 故所求椭圆的方程为+y2=1. (2)①当直线l与x轴垂直时,l的方程为x=-1.
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