201 平行四边形的判定含答案.docx
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201平行四边形的判定含答案
20.1平行四边形的判定A卷
一、选择题
1.四边形ABCD,从
(1)AB∥CD;
(2)AB=CD;(3)BC∥AD;(4)BC=AD这四个条件中任选两个,其中能使四边形ABCD是平行四边形的选法有()
A.3种B.4种C.5种D.6种
2.四边形的四条边长分别是a,b,c,d,其中a,b为一组对边边长,c,d为另一组对边边长且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd,则这个四边形是()
A.任意四边形B.平行四边形
C.对角线相等的四边形D.对角线垂直的四边形
3.下列说法正确的是()
A.若一个四边形的一条对角线平分另一条对角线,则这个四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形一定是平行四边形
C.一组对边相等的四边形是平行四边形
D.有两个角相等的四边形是平行四边形
二、填空题
4.在□ABCD中,点E,F分别是线段AD,BC上的两动点,点E从点A向D运动,点F从C向B运动,点E的速度m与点F的速度n满足_______关系时,四边形BFDE为平行四边形.
5.如图1所示,平行四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC边上的一点,连结EF,若再增加一个条件_______,就可以推出BE=DF.
图1图2
6.如图2所示,AO=OC,BD=16cm,则当OB=_____cm时,四边形ABCD是平行四边形.
三、解答题
7.如图所示,四边形ABCD中,对角线BD=4,一边长AB=5,其余各边长用含有未知数x的代数式表示,且AD⊥BD于点D,BD⊥BC于点B.问:
四边形ABCD是平行四边形吗?
为什么?
四、思考题
8.如图所示,在□ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AF=CE,则线段DE与BF的长度相等吗?
参考答案
一、1.B点拨:
可选择条件
(1)(3)或
(2)(4)或
(1)
(2)或(3)(4).
故有4种选法.
2.B点拨:
a2+b2+c2+d2=2ab+2cd即(a-b)2+(c-d)2=0,
即(a-b)2=0且(c-d)2=0.所以a=b,c=d,即两组对边分别相等,
所以四边形为平行四边形.
3.B点拨:
熟练掌握平行四边形的判定定理是解答这类题目的关键.
二、4.相等点拨:
利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来确定.
5.AE=CF点拨:
本题答案不惟一,只要增加的条件能使四边形EBFD是平行四边形即可.
6.8点拨:
根据对角线互相平分的四边形为平行四边形来进行判别.
三、7.解:
如图所示,四边形ABCD是平行四边形.理由如下:
在Rt△BCD中,根据勾股定理,得BC2+BD2=DC2,
即(x-5)2+42=(x-3)2,解得x=8.
所以AD=11-8=3,BC=x-5=3,DC=x-3=8-3=5,
所以AD=BC,AB=DC.所以四边形ABCD是平行四边形.
点拨:
本题主要告诉的是线段的长度,故只要说明AD=BC,AB=DC即可,本题也可在Rt△ABD中求x的值.
四、8.解:
线段DE与BF的长度相等;连结BD交AC于O点,连结DF,BE,
如图所示.在ABCD中,DO=OB,AO=OC,又因为AF=EC,
所以AF-AO=CE-OC,即OF=OE,所以四边形DEBF是平行四边形,所以DE=BF.
点拨:
本题若用三角形全等,也可以解答,但过程复杂,学了平行四边形性质后,要学会应用.
20.1平行四边形的判定B卷
一、七彩题
1.(一题多解题)如图所示,在□ABCD中,点E,F都在对角线AC上,且AE=CF,连结DE,BE,DF,BF,则四边形DEBF是平行四边形吗?
为什么?
二、知识交叉题
2.(科外交叉题)如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,P,Q分别是线段AD,BC上两动点,P,Q分别从A,C出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动,P,Q两点同时开始运动,且开始运动的时刻是0.P,Q运动到顶点处即停止运动,问:
第几秒时,四边形ABQP是平行四边形?
三、实际应用题
3.如图所示,某城市中心有一个小公园,在它的四个角A,B,C,D处均有一棵古树,城建部门准备扩建公园,要求使公园的面积扩大一倍,而且必须保持四棵古树不动,并要求建成以后的公园呈平行四边形形状.问:
该城市能否实现这一设想?
若能,请你设计方案并画出图;若不能,请说明理由.
四、经典中考题
4.(达州)如图,一个四边形花坛ABCD,被两条线段MN,
EF分成四个部分,分别种上红,黄,紫,白四种花卉,
种植面积依次是S1,S2,S3,S4.若MN∥AB∥DC,
EF∥DA∥CB,则有()
A.S1=S4B.S1+S4=S2+S3C.S1S4=S2S3D.都不对
五、探究学习
1.(条件开放题)如图所示,在□ABCD中,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7是对角线BD的八等分点,你是否可以从这七个分点中选取两个点,使得这两点和点A,点C为顶点的四边形是平行四边形?
如果可以,请你写出一个这样的平行四边形,并说明理由;如果不可以,请说明理由.
2.实际生活中,我们常碰到这样的例子:
对一个物体M同时施加两个成某个角度的力F1和F2,这个物体的实际受力效果并不是F1与F2的简单叠加,它们的合力F的大小和方向由以F1和F2为边的平行四边形的对角线决定,如图1所示.对于既有大小又有方向的量求和时,一般都采用上面的方法,我们把这种方法叫做平行四边形法则,实际上求两个分为F1,F2的合力F的大小,就是求□F1MF2F的对角线MF的长.下面请利用平行四边形法则来解决一个实际问题:
如图2,一条小河缓缓地流着,河水的流速是2km/h,一艘船从A点出发以4km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,实际上,它以怎样的速度向对岸行驶?
图1图2
3.(图形方案设计题)某企业有一块等腰三角形的铁板,如图所示,根据需要,现要把它加工成一个平行四边形的铁板,要把材料完全利用起来,应该怎样加工呢?
把切割的路线用虚线画出来.
参考答案
一、1.解法一:
是.理由:
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AD=BC,AD∥BC,所以∠DAE=∠BCF.
在△ADE和△CBF中,因为
所以△ADE≌△CBF(S.A.S.).所以DE=BF.
同理可证△ABE≌△CDF.所以BE=DF.
所以四边形DEBF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
解法二:
是.理由:
同解法一可证△ADE≌△CBF.所以DE=BF,∠AED=∠CFB.
所以180°-∠AED=180°-∠CFB.即∠DEF=∠BFE.所以DE∥BF.
所以四边形DEBF是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
解法三:
是.理由:
连结BD.如图,交AC于点O.
因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA=OC,OB=OD.
又因为AE=CF,所以OA-AE=OC-CF,即OE=OF,
所以四边形DEBF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
点拨:
解法一利用了“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法;解法二利用了“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法,解法三利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判别方法.
二、2.解:
设第x秒时,四边形ABQP是平行四边形,即AP=BQ,
则AP=x,BQ=BC-CQ=6-2x,所以x=6-2x,解得x=2,
所以第2秒时,四边形ABQP是平行四边形.
点拨:
这是一道平行四边形的判断与物理知识的交叉题.
三、3.解:
能.作法:
连结BD,AC交于O点,过A,C分别作BD的平行线,过B,D分别作AC的平行线,得四边形A′B′C′D′,
如图所示,则四边形A′B′C′D′为所求作的平行四边形.
理由:
因为A′D′∥BD,B′C′∥BD,所以A′D′∥B′C′.
同理得,A′B′∥D′C′.所以四边形A′B′C′D′是平行四边形.
由上述作法知四边形A′BOA,四边形B′COB,四边形CC′DO,四边形ODD′A均为平行四边形.
在□A′BOA中,AA′=BO,A′B=AO,BA=AB,
所以△AA′B≌△BOA.所以S
AA`BO=2S△ABO.
同理得S
B`COB=2S△BOC,S
OC`DO=2S△COD,S
AODD`=2S△AOD,
所以S
A`B`C`D`=2S四边形ABCD,所以该城市能实现这一设想.
四、4.C
五、探究学习
1.解:
可以.例如连结AP1,AP7,CP1,CP7,则四边形AP1CP7就是平行四边形.
理由:
因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD
BC,AB
CD,
所以∠ABP1=∠CDP7,所以在△ABP1和△CDP7中
,
所以△ABP1≌△CDP7(S.A.S.),所以AP1=CP7.
同理可求AP7=CP1,所以四边形AP1CP7是平行四边形.
点拨:
本题答案不惟一,还可取P2,P6两点得到平行四边形AP2CP6;取P3,P5两点得到平行四边形AP3CP5.理由同上.
2.解:
如图所示,以4km/h,2km/h为边构造□ABDC,使AB=2km/h,AC=4km/h,因为四边形ABDC是平行四边形,所以BD=AC=4(km/h).
在Rt△ABD中,根据勾股定理,得AD2=AB2+BD2=22+42=20.
所以AD=
=2
(km/h).
答:
略.
点拨:
注意河水的速度与轮船的速度是互相垂直的,所以构成的平行四边形实际上是长方形.
三、3.方法一:
作法:
(1)分别取AB,AC的中点D,E,分别过点D,E作DM⊥BC,EN⊥BC垂足分别为M,N;
(2)将△BDM,△CEN分别裁下来,如图拼接,可得平行四边形M′MNN′,此平行四边形即为所求(如图1所示).
图1图2图3
方法二:
作法:
(1)分别取AB,AC的中点D,E;
(2)沿DE裁下△ADE并以点E为中心旋转至△CD′E,平行四边形DD′CB即为所求(如图2所示).
方法三:
作法:
(1)作△ABC的BC边上的中线AD;
(2)将△ABC沿AD裁开,并将△ABD移至△AB′C处,则平行四边形ADCB′即为所求(如图3所示).
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