中考数学专题复习第二十三讲圆的有关概念及性质含详细参考答案.docx
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中考数学专题复习第二十三讲圆的有关概念及性质含详细参考答案
2015年中考数学专题复习第二十三讲圆的有关概念及性质
【基础知识回顾】
一、圆的定义及性质:
1、圆的定义:
⑴形成性定义:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做
⑵描述性定义:
圆是到定点的距离等于的点的集合
【名师提醒:
1、在一个圆中,圆←决定圆的半径决定圆的
2、直径是圆中的弦,弦不一定是锥】
2、弦与弧:
弦:
连接圆上任意两点的叫做弦
弧:
圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为、、三类
3、圆的对称性:
⑴轴对称性:
圆是轴对称图形,有条对称轴的直线都是它的对称轴
⑵中心对称性:
圆是中心对称图形,对称中心是
【名师提醒:
圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】
二、垂径定理及推论:
1、垂径定理:
垂直于弦的直径,并且平分弦所对的
2、推论:
平分弦()的直径,并且平分弦所对的
【名师提醒:
1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:
⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注意解题过程中的灵活运用
2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线
3、垂径定理常用作计算,在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】
三、圆心角、弧、弦之间的关系:
1、圆心角定义:
顶点在的角叫做圆心角
2、定理:
在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别
【名师提醒:
注意:
该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】
四、圆周角定理及其推论:
1、圆周角定义:
顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角
2、圆周角定理:
在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的
推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧
推论2、半圆(或直弦)所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是
【名师提醒:
1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角有个,它们的关系是
2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】
五、圆内接四边形:
定义:
如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做这个圆叫做
性质:
圆内接四边形的对角
【名师提醒:
圆内接平行四边形是圆内接梯形是】
考点一:
垂径定理
例1(2012•绍兴)如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别是:
甲:
1、作OD的中垂线,交⊙O于B,C两点,
2、连接AB,AC,△ABC即为所求的三角形
乙:
1、以D为圆心,OD长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点.
2、连接AB,BC,CA.△ABC即为所求的三角形.
对于甲、乙两人的作法,可判断( )
A.甲、乙均正确B.甲、乙均错误
C.甲正确、乙错误D.甲错误,乙正确
考点:
垂径定理;等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.
专题:
计算题.
分析:
由甲的思路画出相应的图形,连接OB,由BC为OD的垂直平分线,得到OE=DE,且BC与OD垂直,可得出OE为OD的一半,即为OB的一半,在直角三角形BOE中,根据一直角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为30°,得到∠OBE为30°,利用直角三角形的两锐角互余得到∠BOE为60°,再由∠BOE为三角形AOB的外角,且OA=OB,利用等边对等角及外角性质得到∠ABO也为30°,可得出∠ABC为60°,同理得到∠ACB也为60°,利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°,即三角形ABC三内角相等,进而确定三角形ABC为等边三角形;
由乙的思路画出相应的图形,连接OB,BD,由BD=OD,且OB=OD,等量代换可得出三角形OBD三边相等,即为等边三角形,的长∠BOE=∠DBO=60°,由BC垂直平分OD,根据三线合一得到BE为角平分线,可得出∠OBE为30°,又∠BOE为三角形ABO的外角,且OA=OB,利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO也为30°,可得出∠ABC为60°,同理得到∠ACB也为60°,利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°,即三角形ABC三内角相等,进而确定三角形ABC为等边三角形,进而得出两人的作法都正确.
解答:
解:
根据甲的思路,作出图形如下:
连接OB,
∵BC垂直平分OD,
∴E为OD的中点,且OD⊥BC,
∴OE=DE=OD,又OB=OD,
在Rt△OBE中,OE=OB,
∴∠OBE=30°,又∠OEB=90°,
∴∠BOE=60°,
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,
又∠BOE为△AOB的外角,
∴∠OAB=∠OBA=30°,
∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°,
同理∠C=60°,
∴∠BAC=60°,
∴∠ABC=∠BAC=∠C,
∴△ABC为等边三角形,
故甲作法正确;
根据乙的思路,作图如下:
连接OB,BD,
∵OD=BD,OD=OB,
∴OD=BD=OB,
∴△BOD为等边三角形,
∴∠OBD=∠BOD=60°,
又BC垂直平分OD,∴OM=DM,
∴BM为∠OBD的平分线,
∴∠OBM=∠DBM=30°,
又OA=OB,且∠BOD为△AOB的外角,
∴∠BAO=∠ABO=30°,
∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°,
同理∠ACB=60°,
∴∠BAC=60°,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC,
∴△ABC为等边三角形,
故乙作法正确,
故选A
点评:
此题考查了垂径定理,等边三角形的判定,含30°直角三角形的判定,三角形的外角性质,以及等腰三角形的性质,熟练掌握定理及判定是解本题的关键.
对应训练
1.(2012•哈尔滨)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠B=60°,OP⊥AC于点P,OP=2,则⊙O的半径为( )
A.4B.6C.8D.12
考点:
垂径定理;含30度角的直角三角形;圆周角定理.
专题:
计算题.
分析:
由∠B的度数,利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,求出∠AOC的度数,再由OA=OC,利用等边对等角得到一对角相等,利用三角形的内角和定理求出∠OAC=30°,又OP垂直于AC,得到三角形AOP为直角三角形,利用30°所对的直角边等于斜边的一半,根据OP的长得出OA的长,即为圆O的半径.
解答:
解:
∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为,且∠B=60°,
∴∠AOC=2∠B=120°,
又OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=30°,
∵OP⊥AC,
∴∠AOP=90°,
在Rt△AOP中,OP=2,∠OAC=30°,
∴OA=2OP=4,
则圆O的半径4.
故选A
点评:
此题考查了垂径定理,圆周角定理,等腰三角形的性质,以及含30°直角三角形的性质,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.
考点二:
圆周角定理
例2(2012•青海)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点N,点M在⊙O上,∠1=∠C
(1)求证:
CB∥MD;
(2)若BC=4,sinM=,求⊙O的直径.
考点:
圆周角定理;垂径定理;解直角三角形.
分析:
(1)由∠C与∠M是所对的圆周角,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可得∠C=∠M,又由∠1=∠C,易得∠1=∠M,即可判定CB∥MD;
(2)首先连接AC,AB为⊙O的直径,可得∠ACB=90°,又由弦CD⊥AB,根据垂径定理的即可求得=,继而可得∠A=∠M,又由BC=4,sinM=,即可求得⊙O的直径.
解答:
(1)证明:
∵∠C与∠M是所对的圆周角,
∴∠C=∠M,
又∵∠1=∠C,
∴∠1=∠M,
∴CB∥MD;
(2)解:
连接AC,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
又∵CD⊥AB,
∴=,
∴∠A=∠M,
∴sinA=sinM,
在Rt△ACB中,sinA=,
∵sinM=,BC=4,
∴AB=6,
即⊙O的直径为6.
点评:
此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的判定以及三角函数等知识.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
对应训练
37.(2012•沈阳)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD
(1)求证:
BD平分∠ABC;
(2)当∠ODB=30°时,求证:
BC=OD.
考点:
圆周角定理;含30度角的直角三角形;垂径定理.
专题:
证明题.
分析:
(1)由OD⊥ACOD为半径,根据垂径定理,即可得,又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可证得BD平分∠ABC;
(2)首先由OB=OD,易求得∠AOD的度数,又由OD⊥AC于E,可求得∠A的度数,然后由AB是⊙O的直径,根据圆周角定理,可得∠ACB=90°,继而可证得BC=OD.
解答:
证明:
(1)∵OD⊥AC OD为半径,
∴,
∴∠CBD=∠ABD,
∴BD平分∠ABC;
(2)∵OB=OD,
∴∠OBD=∠0DB=30°,
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°,
又∵OD⊥AC于E,
∴∠OEA=90°,
∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°,
又∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
在Rt△ACB中,BC=AB,
∵OD=AB,
∴BC=OD.
点评:
此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
考点三:
圆内接四边形的性质
例3(2012•深圳)如图,⊙C过原点,且与两坐标轴分别交于点A、点B,点A的坐标为(0,3),M是第三象限内上一点,∠BMO=120°,则⊙C的半径长为( )
A.6B.5C.3D.3
考点:
圆内接四边形的性质;坐标与图形性质;含30度角的直角三角形.
专题:
探究型.
分析:
先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数,由圆周角定理可知∠AOB=90°,故可得出∠ABO的度数,根据直角三角形的性质即可得出AB的长,进而得出结论.
解答:
解:
∵四边形ABMO是圆内接四边形,∠BMO=120°,
∴∠BAO=60°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AOB=90°,
∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°,
∵点A的坐标为(0,3),
∴OA=3,
∴AB=2OA=6,
∴⊙C的半径长==3.
故选C.
点评:
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质,熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键.
对应训练
3.(2011•肇庆)如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,若∠BAD=105°,则∠DCE的大小是( )
A.115°B.l05°C.100°D.95°
考点:
圆内接四边形的性质.
专题:
计算题.
分析:
根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°,而∠BCD与∠DEC为邻补角,得到∠DCE=∠BAD=105°.
解答:
解:
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
而∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠DCE=∠BAD,
而∠BAD=105°,
∴∠DCE=105°.
故选B.
点评:
本题考查了圆内接四边形的性质:
圆内接四边形的对角互补.也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等.
【聚焦山东中考】
1.(2012•泰安)如图,AB是⊙O的直径,
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- 中考 数学 专题 复习 第二十 三讲 有关 概念 性质 详细 参考答案
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