直接开方解一元二次方程教案.docx
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直接开方解一元二次方程教案
直接开方解一元二次方程
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
全国
课时时长(分钟)
60
知识点
直接开平方法解一元二次方程
教学目标
(1)知识教学点:
认识形如x2=a(a≥0)或(ax+b)2=c(a≠0,c≥0,a,b,c为常数)类型的方程,并会用直接开平方法解.
(二)能力训练点:
培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力.
(三)德育渗透点:
通过两边同时开平方,将2次方程转化为一次方程,向学生渗透数学新知识的学习往往由未知(新知识)向已知(旧知识)转化,这是研究数学问题常用的方法,化未知为已知.
教学重点
用直接开平方法解一元二次方程。
教学难点
认清具有(ax+b)2=c(a≠0,c≥0,a,b,c为常数)这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法.
教学过程
一、复习预习
1.复习提问
(1)什么叫整式方程?
举两例,一元一次方程及一元二次方程的异同?
(2)平方根的概念及开平方运算?
2.引例:
解方程x2-4=0.
解:
移项,得x2=4.
两边开平方,得x=±2.
∴ x1=2,x2=-2.
分析 x2=4,一个数x的平方等于4,这个数x叫做4的平方根(或二次方根);据平方根的性质,一个正数有两个平方根,它们互为相反数;所以这个数x为±2.求一个数平方根的运算叫做开平方.由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.使学生体会到直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算.
二、知识讲解
考点1
直接开平方法解一元二次方程
考点2
灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程
形如
的方程,既可用因式分解法分解,也可用直接开平方法解。
【例】运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。
三例题精析
【例题1】
【题干】 解方程9x2-16=0.
[答案】
【解析】解:
移项,得:
9x2=16,
【例题2】
【题干】解方程(x+3)2=2.
【答案】
【解析】分析:
把x+3看成一个整体y.
例2把引例中的x变为x+3,反之就应把例2中的x+3看成一个整体,
两边同时开平方,将二次方程转化为两个一次方程,便求得方程的两个解.可以说:
利用平方根的概念,通过两边开平方,达到降次的目的,化未知为已知,体现一种转化的思想.
【例题3】
【题干】解方程(2-x)2-81=0.
【答案】x1=-7,x2=11.
【解析】解法
(一)
移项,得:
(2-x)2=81.
两边开平方,得:
2-x=±9
∴ 2-x=9或2-x=-9.
∴ x1=-7,x2=11.
解法
(二)
∴ (2-x)2=(x-2)2,
∴ 原方程可变形,得(x-2)2=81.
两边开平方,得x-2=±9.
∴ x-2=9或x-2=-9.
∴ x1=11,x2=-7.
比较两种方法,方法
(二)较简单,不易出错.在解方程的过程中,要注意方程的结构特点,进行灵活适当的变换,择其简捷的方法,达到又快又准地求出方程解的目的.
【例题4】
【题干】(2011•柳州)方程x2﹣4=0的解是( )
A、x=2B、x=﹣2C、x=±2D、x=±4
【答案】C.
【解析】考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
计算题。
分析:
方程变形为x2=4,再把方程两边直接开方得到x=±2.
解答:
解:
x2=4,
∴x=±2.
故选C.
点评:
本题考查了直接开平方法解一元二次方程:
先把方程变形为x2=a(a≥0),再把方程两边直接开方,然后利用二次根式的性质化简得到方程的解.
三、课堂运用
【基础】
1、(2011•柳州)方程x2﹣4=0的解是( )
A、x=2B、x=﹣2C、x=±2D、x=±4
【答案】C.
【解析】考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
计算题。
分析:
方程变形为x2=4,再把方程两边直接开方得到x=±2.
解答:
解:
x2=4,
∴x=±2.
故选C.
2.(2011,台湾省,29,5分)若方程式(3x﹣c)2﹣60=0的两根均为正数,其中c为整数,则c的最小值为何?
( )
A、1B、8C、16D、61
【答案】B
【解析】考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
利用平方根观念求出x,再根据一元二次方程的两根都为正数,求出c的最小值即可.
解答:
解:
(3x﹣c)2﹣60=0(3x﹣c)2=60
3x﹣c=±
3x=c±
x=
又两根均为正数,且
>7.
所以整数c的最小值为8
故选B.
点评:
本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解,要根据方程的特点选择适当的方法.
3、(2011江苏淮安,13,3分)一元二次方程x2-4=0的解是.
【答案】x=±2.
【解析】考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
方程思想。
分析:
式子x2﹣4=0先移项,变成x2=4,从而把问题转化为求4的平方根.
解答:
解:
移项得x2=4,
∴x=±2.
故答案是:
x=±2.
点评:
本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法.解这类问题要移项,把所含未知数的项移到等号的左边,把常数项移项等号的右边,化成x2=a(a≥0)的形式,利用数的开方直接求解.
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
(2)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
[巩固]
1.(2011山东淄博14,4分))方程x2﹣2=0的根是 .
【答案】
【解析】考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
这个式子先移项,变成x2=2,从而把问题转化为求2的平方根,直接得出答案即可.
解答:
解:
移项得x2=2,
∴x=
.
故答案为:
.
点评:
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程,解这类问题要移项,把所含未知数的项移到等号的左边,把常数项移项等号的右边,化成x2=a(a≥0)的形式,利用数的开方直接求解.
2.(2011黑龙江省黑河,7,3分)一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为 a1=2+
,a2=2﹣
.
【答案】解一元二次方程-公式法。
【解析】用公式法直接求解即可.
解:
a=
=
=2±
,
∴a1=2+
,a2=2﹣
,
故答案为a1=2+
,a2=2﹣
.
3、若方程x2-c=0的一个根为-3,则方程的另一个根为( )
A.3B.-3C.9D.-3
【答案】A.
【解析】根据一元二次方程的解的定义,将x=-3代入方程x2-c=0,求得c的值;然后利用直接开平方法求得方程的另一根.
【答案】
【解析】:
∵方程x2-c=0的一个根为-3,
∴x=-3满足方程x2-c=0,
∴(-3)2-c=0,
解得,c=9;
∴x2=9,∴x=±3,
解得,x1=3,x2=-3;
故方程的另一根是3;
故选A.
[拔高]
1.方程3x2+9=0的根为( )
A.3B.-3C.±3D.无实数根
【答案】D.
【解析】:
先观察再确定方法解方程,此题采用直接开平方法最简单.
解答:
∵3x2+9=0
∴x2+3=0
∴x2=-3
∵x2≥0∴原方程无实数根.故选D.
2.(2011•柳州)方程x2﹣4=0的解是( )
A、x=2B、x=﹣2C、x=±2D、x=±4
【考点】C.
【解析】考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
计算题。
分析:
方程变形为x2=4,再把方程两边直接开方得到x=±2.
解答:
解:
x2=4,
∴x=±2.
故选C.
点评:
本题考查了直接开平方法解一元二次方程:
先把方程变形为x2=a(a≥0),再把方程两边直接开方,然后利用二次根式的性质化简得到方程的解.
3.(2011,台湾省,29,5分)若方程式(3x﹣c)2﹣60=0的两根均为正数,其中c为整数,则c的最小值为何?
( )
A、1B、8C、16D、61
【答案】B.
【解析】考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
利用平方根观念求出x,再根据一元二次方程的两根都为正数,求出c的最小值即可.
解答:
解:
(3x﹣c)2﹣60=0(3x﹣c)2=60
3x﹣c=±
3x=c±
x=
又两根均为正数,且
>7.
所以整数c的最小值为8
故选B.
点评:
本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解,要根据方程的特点选择适当的方法.
课程小结
本节课我们学习了哪些知识?
本节课我们研究的是一元二次方程的解法---直接卡方法,直接开平方法解一元二次方程
课后作业
【基础】
1、(2011江苏淮安,13,3分)一元二次方程x2-4=0的解是.
【答案】x=±2.
【解析】考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
专题:
方程思想。
分析:
式子x2﹣4=0先移项,变成x2=4,从而把问题转化为求4的平方根.
解答:
解:
移项得x2=4,
∴x=±2.
故答案是:
x=±2.
点评:
本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法.解这类问题要移项,把所含未知数的项移到等号的左边,把常数项移项等号的右边,化成x2=a(a≥0)的形式,利用数的开方直接求解.
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
(2)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
2.(2011山东淄博14,4分))方程x2﹣2=0的根是 .
【考点】
【解析】考点:
解一元二次方程-直接开平方法。
分析:
这个式子先移项,变成x2=2,从而把问题转化为求2的平方根,直接得出答案即可.
解答:
解:
移项得x2=2,
∴x=
.
故答案为:
.
点评:
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程,解这类问题要移项,把所含未知数的项移到等号的左边,把常数项移项等号的右边,化成x2=a(a≥0)的形式,利用数的开方直接求解.
3.
(1)
;
【答案】∴
=
,
=
。
【解析】解:
(1)∵
∴
∴
=
,
=
。
【巩固】
1、、用直接开平方法解方程
,得方程的根为()
A、
B、
C、
,
D、
,
【答案】C
【解析】
2.(2011成都,1,3分)4的平方根是( )
A.±16B.16C.±2D.2
【答案】C.
【解析】考点:
平方根。
专题:
计算题。
分析:
由于某数的两个平方根应该互为相反数,所以可用直接开平方法进行解答.
解答:
解:
∵4=(±2)2,
∴4的平方根是±2.
故选C.
点评:
本题考查了平方根的概念.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
【拔高】
1.(2011江苏南京,1,2分)
的值等于( )
A、3B、﹣3C、±3D、
【答案】A
【解析】考点:
算术平方根。
分析:
此题考查的是9的算术平方根,需注意的是算术平方根必为非负数.
解答:
解:
∵
=3,
故选A.
2.(2011山东日照,1,3分)(﹣2)2的算术平方根是( )
A.2B.±2C.﹣2D.
【答案】A.
【解析】考点:
算术平方根;有理数的乘方。
分析:
首先求得(﹣2)2的值,然后由4的算术平方根为2,即可求得答案.
解答:
解:
∵(﹣2)2=4,4的算术平方根为2,
∴(﹣2)2的算术平方根是2.
故选A.
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- 直接 开方 一元 二次方程 教案