小学数学计算教学改革的有效探索.docx

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小学数学计算教学改革的有效探索

小学数学计算教学改革的有效探索

——以笔算乘法和除法为例

王永春

　　关于运算能力，笔者在本刊2012年第10期发表的《小学数学运算能力的培养应与时俱进》一文中指出：

“运算能力仍然重要，是小学生必须掌握的最重要的能力之一，是日常生活与进一步学习的重要基础。

”并在文中强调了要全面理解运算能力，指出了教师的教学和学生的学习存在的问题及采取的对策。

　　近几年全国各地的很多教研部门和学校加强了对计算教学改革的实践研究，取得了较好的效果。

如北京市西城区回民小学（原宣武区回民小学）在笔算尤其是笔算乘法的教学改革方面有较大突破，详见本刊2013年第11期的《“笔算乘法”教学实录与评析》一文。

再如北京市朝阳区教研中心于2015年11月举办的“朝阳杯”第十一届小学课堂教学大赛数学学科复赛，笔者聆听了中年级组的16节课，其中有9节课是四年级的笔算除法，足见其对运算能力及笔算教学的重视。

根据对这9节课的教学情况的观察及与教研员交流得知，朝阳区在小学数学计算教学上进行了卓有成效的改革。

　　下面就上述两区了解和掌握的情况，谈谈笔算乘法和除法教学改革所取得的成绩、亮点和改进建议。

　　一、成绩和亮点

　　1、真正把学生放在主体地位，放手让学生自主探究。

　　《数学课程标准（2011年版）》指出：

“学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。

”还指出：

“教师要发挥主导作用……”多年来，广大小学数学教师一直在努力地探索把教师主导作用与学生的主体地位进行完美结合，即不懈地追求课堂教学中教师的讲授与学生的自主探索、合作交流的平衡。

而上述笔算乘法和除法的教学就很好地处理了教师主导与学生主体的关系。

在笔算多位数乘一位数的教学中，教师分别让学生独立计算43×2、123×324×3，这三个题目从不进位到进位，由易到难、重点难点突出、层次分明。

在笔算多位数除以两位数的教学中，一位教师让学生结合小棒图分别独立计算92÷30、83÷30、65÷30、170÷30，其中92÷30和170÷30作为例题，83÷30和65÷30是巩固练习。

学生做完后展示各种作品，包括各种错误的作品，然后进行师生、生生交流。

　　这种做法打破了教师结合小棒图讲解算理算法、一问一答的传统教学方法，由教师讲解、学生被动听讲转变为教师引导启发、学生结合小棒图自主探究，学生的主体性得到了很好的落实。

　　2、比较恰当地处理预设和生成的关系。

　　一般情况下，多数教师在教学过程中会根据教案的预设调控课堂教学节奏，对于学生生成的资源，尤其是学生出错的资源，往往只选取少部分展示，以保证教学过程按照预设的程序和节奏顺利进行。

这种做法忽视了一般水平学生的认知特点和认知起点，没有找到其他学生出现错误的真正原因，也就很难“对症下药”。

因为不同学生的认知起点可能是有区别的，一次成功的课堂教学和教学设计，换成另一个班级教学，有可能不成功。

笔者已经多次聆听过这样的课堂教学。

　　而在上述笔算乘法和除法教学过程中，几乎每一位教师都大胆地把教学过程围绕学生的生成展开，充分展示学生生成的原生态资源，包括各种错误资源。

如笔算乘法除了正确作品外，还展示如下作品：

　　笔算除法除了正确作品外，还展示如下作品：

　　教师敢于展示所有学生的错误作品，是令人敬佩和欣赏的，且不说其他方面做得如何，仅凭这一点就说明教师心中有学生，在努力去读懂学生，让每个学生在自己认知起点的基础上得到更好的发展。

　　3、师生互动交流是民主的，生生互动交流是有深度的。

　　如上所述，在充分展示学生各种作品的基础上，展开师生、生生互动。

在交流的过程中，教师没有以权威者的身份直接讲解错误原因，而是把问题继续抛给学生，组织引导学生之间展开深度交流，找出错误原因，这样学生更容易理解算理算法。

当有些学生的语言不那么严密、规范时，教师没有直接补充，仍然引导其他学生继续补充，充分发扬民主，发挥学生的积极性、主动性和创造性。

教师镇定自若地引导、启发学生之间的交流走向深入，学生发言乐此不疲，有时候教师希望进入下一个环节，但是仍然有学生举手想发言。

笔者认为，这样的教学达到了一种自由轻松的境界，教最终是为了达到不需要教，把课堂交给学生，成就了学生的终身发展。

当然，教师在课堂上的胸有成竹取决于已有经验的积累、课前的读懂教材、读懂学生、运筹帷幄，一分耕耘、一分收获，成功的背后总是要付出的。

　　如针对92除以30的两种错误，有学生说：

“92里有3个30，商3应该写在个位上，不能写在十位上。

”“30乘30得900，就大于92了，所以商30不对。

”学生说得非常到位，由此可知，很多问题通过学生之间的交流就可以解决。

　　4、结合直观的方式帮助学生理解算理算法。

　　众所周知，笔算除法是教学中的老大难问题，一直困扰着教师。

为此，教材在除数是两位数的除法的例1中，仍然结合小棒图的直观性帮助理解算理算法。

一位教师在教学笔算除法时，充分发挥了小棒的直观作用，暗示把92本连环画平均分给30个班，每个班分得的是3个一。

在学生独立计算之前，用课件出示9捆和2根小棒，告诉学生1根小棒表示1本书，让学生思考：

2根表示多少本书？

9捆呢？

这些小棒一共表示多少本书？

用30个圈表示30个班，把这些小棒平均分给30个班，能直接分吗？

然后引导学生把9捆打开，92个一就可以直接分了。

渗透了得数是个位数的道理，然后让学生独立计算。

在展示学生的各种错误资源后，再结合分小棒的过程理解算理和算法。

当然，笔者在学生独立计算进行巡视时发现，仍然有几个学生商30，说明这些学生没有把分小棒的结果与商几建立联系，直观暗示对他们没有产生真正的影响。

由此提醒教师应该注意，在巡视的时候可再次提醒学生结合刚才分小棒的过程进行计算，判断商几。

　　5、学生自己总结算法。

　　实际上，从2001年开始课程改革的人教版教材已经提倡由学生通过自主探索和合作交流来总结计算法则，但是由于教材在有些内容的编排上没有明示或者开放的空间太大，导致教师比较迷茫，教学时不知如何处理。

根据《数学课程标准（2011年版）》编写的义务教育教科书仍然提倡由学生通过自主探索和合作交流来总结计算法则，而且教材明确呈现有关对计算法则的总结，便于教师把握教学要求。

在笔算乘法的教学中，学生独立计算43×2并展示作品后，教师先请三位计算正确的学生分别介绍自己的竖式和横式算法，三位学生算法正确，但是不明白其中的道理。

接着教师结合小棒演示，引导学生在小棒中找到结果中的6和8，把抽象的数与直观的小棒对应起来，理解6和8的意义及书写在什么位置的道理。

然后通过比较两种竖式，再与横式进行联系，引导学生自己总结算法。

最后找出展示作品中出错的原因。

经过这样细腻的开放的教学过程，对于两位数乘一位数的不进位乘法，大多数学生理解了算理、掌握了算法。

接着让学生独立挑战123×3，根据巡视情况看，大多数学生做对了，但是在交流中发现有些学生不能肯定自己的计算是否有道理。

这时教师再次演示小棒，让学生在小棒中找答案，当学生明确了算理算法后，自然地就把方法类比迁移到了4231×2上了。

然后展开24×3的教学过程，重点针对进位问题结合小棒展开了交流。

最后引导学生全面总结算理算法，学生通过交流看到了自己一节课的巨大进步：

理解了道理，掌握了算法，学会了类比迁移。

　　二、改进建议

　　长期以来，我们一直在强调运算能力的重要性，但是教师往往更多关注运算正确与熟练的方法和技巧，为此，教师和学生付出了大量的时间和精力去训练，在“中考”和“高考”的巨大压力下，这实在是无奈之举。

学生对计算投入了很多的时间和精力，得到的回报是考试考出好成绩；但是负面影响也不可忽略，如学生对数学的意义和价值认识太过狭隘和不公平，认为数学就是枯燥的计算，“冤枉”了数学；而且很多学生即使计算熟练，也未必理解计算的道理，即知其然不知其所以然。

　　因此，必须挖掘运算的更多价值，计算教学的价值，不仅仅是正确而比较熟练的运算，更重要的是体会运算中的原理、推理的思想方法、逻辑关系、规定算法的合理性。

　　笔算乘法和除法的学习，学生的认知困难到底在哪里？

教师如何有效突破这个难点？

这是笔者近几年重点关注和思考的问题。

根据课堂观察和学习思考，笔者认为学生的认知困难主要有三点：

一是对乘法和除法的意义没有真正理解，乘法和除法的竖式对于横式而言，只是形式上的变化，它们的意义没有变。

通过课堂观察发现，有些学生能够把横式43×2理解成两个43相加，而对竖式就束手无策了。

二是对十进位值制的计数原理没有真正理解，无论乘法还是除法，每一步计算的结果表示多少、写在什么位上，这需要理解十进位值制的计数原理。

三是运用数学思想方法的能力和意识比较弱。

每一个新知识都是在已有知识的基础上发展的，要善于运用类比推理和比较差异的思想方法进行新旧知识的转化，达到触类旁通、方法迁移的目的。

根据对上述笔算课堂教学的观察和思考，除了取得显著的成绩和亮点外，再提出几条有利于突破难点的教学建议供教师参考。

　　1、在乘法和除法的意义的基础上理解竖式。

　　有些学生有一个认识上的怪象：

对于乘法和除法，横式认识，竖式就不认识了。

这种怪象背后隐藏着对乘法和除法意义的不理解，因为学生在学习乘法和除法意义的时候是从最简单的横式开始的，如4×2、3×2、6÷3等，自然容易类比迁移到43×2和60÷3、而竖式是陌生的，教师内心以为所有学生都理解了竖式的意义，实则不然。

　　教学时要引导学生思考并认识到：

无论什么形式的整数乘法，横式或竖式，口算或笔算，意义都是一样的，都表示几个同数相加。

如24×3与

都可以表示3个24相加。

因为这些相同的加数不是一位数了，无法直接用乘法口诀快速算出结果，就需要用记录每一步计算结果的形式进行计算。

　　同理，无论什么形式的整数除法，横式或竖式，口算或笔算，意义都是一样的，都是乘法的逆运算，都表示把一个数（数量）平均分。

乘法是把同数合起来，除法是把一个数（数量）平均地分掉。

如178÷30与30）178都可以表示把178平均分成30份，因为这些除法的除数和被除数数据比较复杂，无法像表内除法那样直接快速算出结果，就需要用记录每一步计算结果的形式进行计算。

　　那么如何确定比较简便合理的计算形式呢？

竖式便是人们经过长期探索总结出的计算形式。

　　2、根据十进位值制原理理解竖式每一步计算结果的意义和书写位置。

　　张景中院士认为：

“计算和推理是相通的，计算要有方法，这方法里就体现了推理，即寓理于算的思想；计算是具体的推理，推理是抽象的计算。

”如9+3的计算过程如下：

9+3=9+1+2=10+2=12，这个过程表面上是计算过程，实际上也是一个推理过程，其中的原理就是十进位值制计数原理，即9加3的结果超过一位数，是两位数，两位数就要考虑十位上是几，那么就需要把9凑成10，把9凑成10，就要把3分成1和2；当然，也可以把3凑成10。

　　无论是何种计算，每一个具体的算式都有一个确定的结果，这个结果只要是在实数范围内，就都可以用小数表示，即十进位值制的计数法表示。

因此，加强对十进位值制的计数法原理的教学是非常重要的，能够为列竖式分步计算提供理论依据。

无论是加法算式还是乘法算式，计算时的每一步都是在计算计数单位的个数。

在竖式计算过程中，为了准确记录每一步计算的结果，就需要理解竖式每一步计算结果的意义，再确定它的书写位置。

如123×3是不进位乘法，从低位到高位按照顺序乘，每一步的得数分别表示若干个一、十、百，书写位置自然就要对齐个位、十位、百位。

再如178÷30，要把178平均分成30份，先看前两位数17，表示17个十，平均分成30份，以十为分配单位，不够分；那么就要看前三位178，表示178个一，以一为分配单位，就够分了。

假设有178元钱，平均分给30人，先看前两位数17，表示17个10元，平均分给30人，以10元为分配单位，不够分；那么就要看前三位178，表示178个1元，以1元为分配单位，就够分了。

每人可分到5元，余28元；5元是5个1元，商5应该写在个位上。

　　3、加强数学思想的教学。

　　上述两点建议基本保证了大多数学生理解所学题型的算理、掌握所学题型的算法，但是仍然达不到大多数学生具有举一反三、闻一知十的水平。

　　吴正宪老师认为：

“如果想让‘知识树’枝繁叶茂，必须根深蒂固。

”这句话包含了丰富的寓意，即建立在对知识及知识间的关系深刻理解基础上的数学知识结构和认知结构才是稳固的、丰富的。

有思想深度的课，能使学生数学地思考问题的方法长存，有助于学生的可持续发展，真正提高学生的数学素质。

　　数学知识具有较强的逻辑性和结构化，这是学习数学的一大障碍。

但凡是硬币都有两个面，我们要在教学中充分利用数学知识的逻辑性和结构化，改变传统的碎片化的教学倾向，引导学生思考每一个数学知识本身及它的来龙去脉，这样的数学教学就上升到了数学思想的高境界。

　　在笔算乘法和除法的教学中，类比法、比较差异法、转化思想是三个重要的思想方法。

转化思想是常用的一般化的思想方法，在本部分知识的教学中，主要是把抽象的知识转化为直观的知识、把新知识转化为旧知识。

转化的具体方法是类比法和比较差异法。

　　笔者在《课程o教材o教法》2015年第9期发表的文章《小学数学教材与数学思想方法》中论及如下案例：

三位数乘两位数的笔算乘法，学生已经学习了三位数乘一位数、两位数乘两位数，在已有知识的基础上，三位数乘两位数的教学可以放手引导学生与已学知识进行类比、比较差异，把新知识转化为旧知识，从而理解算理、归纳算法。

可以引导学生思考：

已经学习了哪些笔算乘法？

三位数乘两位数与它们有什么相同和不同的地方？

能不能自己试着计算？

你遇到什么困难了吗？

如何解决？

　　从上图中可以看出，学生遇到的最大困难可能是145乘12中的两个1相乘的积的意义和书写位置。

1个百乘1个十得1个千，所以要把这个1写在千位上。

　　4、有效地进行自主探究。

　　如前文所述，教师在教学过程中把学生真正放在了主体地位，学生在笔算除法的学习过程中经历了理解算理、掌握算法的探究过程，这种教学方法是非常值得肯定的。

但是如何有效地进行自主探究，需要广大教师进行理论学习和实践探索，总结出行之有效的办法。

　　根据笔者的课堂观察情况，有几节课学生在自主计算时，比较多的学生出现了困难，有的学生不知所措、有的学生出现各种错误。

　　如一位教师在让学生独立计算92÷30时，尽管给了学生直观的小棒图和方格图，但是根据笔者巡视的情况看，多数学生不会做，数形结合没有起到作用。

笔者当时进行了个别对话，初步了解了一些情况，主要原因有：

会计算90÷30，但是不会计算92÷30；知道92÷30应该商3，但是商3的位置写在了十位上。

这说明在引导学生进行自主探究时，要分析学情，根据学生的认知起点，进行精心细致的铺垫。

　　如教学新课的例题：

30）92，应该在学生已有知识和经验的基础上教学，即引导学生理解此题的意义是把92本连环画每30本分成1份，求能够分成多少份；另外要与3）92的计算进行类比，启发学生先独立进行92÷3的竖式计算，并说一说计算的算理和算法，即先看92的高位9，9个十除以3得3个十，在十位上商3，余数是2，商的个位补0占位。

在此基础上探索92÷30的计算方法，对于个别学生，还要结合直观引导其想：

92中的9个十小于30个十，不够分成30份，那么就看92个一，92个一不但够分而且能够商3，余2，所以商3写在个位上。

　　5、关键环节要反馈。

　　在每节课的教学中，有两个环节特别需要有效的反馈，一是新知识教学完的环节，要了解所有学生是否掌握相关技能，如笔算算法。

　　前文所述，大多数教师能够做到展示学生的各种作业，包括错误的作业，让学生发表想法，然后总结算理算法，这种处理方式很好。

如果能够再追问：

“笔算除法的道理，还有谁不理解？

”“笔算除法的计算方法，还有谁有疑问？

”就更加完美了。

　　（责任编辑贾振东）