求代数式值及规律的技巧.docx

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求代数式值及规律的技巧

求代数式值及规律的技巧

专训一：

求代数式值的技巧

要点识记：

用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算符号，计算出的结果就是代数式的值．如果要求值的式子比较简单，可以直接代入求值；如果要求值的式子比较复杂，可考虑先将式子化简，然后代入求值；有时我们还需根据题目的特点，选择特殊的方法求式子的值，如整体代入求值等．

直接代入求值

1．（2015·大连）若a＝49，b＝109，则ab－9a的值为________．

2．当a＝3，b＝2或a＝－2，b＝－1或a＝4，b＝－3时，

（1）求a2＋2ab＋b2，（a＋b）2的值．

（2）从中你发现怎样的规律？

先化简再代入求值

3．已知A＝1－x2，B＝x2－4x－3，C＝5x2＋4，求多项式A－2[A－B－2（B－C）]的值，其中x＝－1.

特征条件代入求值

4．已知|x－2|＋（y＋1）2＝0，求－2（2x－3y2）＋5（x－y2）－1的值．

整体代入求值

5．已知2x－3y＝5，求6x－9y－5的值．

6．已知当x＝2时，多项式ax3－bx＋1的值是－17，那么当x＝－1时，多项式12ax－3bx3－5的值是多少？

整体加减求值

7．已知x2－xy＝－3，2xy－y2＝－8，求代数式2x2＋4xy－3y2的值．

8．已知m2－mn＝21，mn－n2＝－12.求下列代数式的值：

（1）m2－n2；

（2）m2－2mn＋n2.

取特殊值代入求值

9．已知（x＋1）3＝ax3＋bx2＋cx＋d，求a＋b＋c的值．

专训二：

与数有关的排列规律

名师点金：

1.数式中的排列规律，关键是找出前面几个数或式与自身序号数的关系，从而找出一般规律，进而解决问题．

2．数阵中的排列规律的探究一般都是先找一个具有代表性的数（设为某个字母）作为切入点，然后找出其他数与该数的关系，并用字母表达式写出来，从而解决相关问题．

数式的排列规律

1．已知9×1＋0＝9，9×2＋1＝19，9×3＋2＝29，9×4＋3＝39，…，根据此规律写出第6个式子为__________．

2．如图，填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，推出m的值是__________．

（第2题）

3．我们知道：

1＋3＝4，1＋3＋5＝9，1＋3＋5＋7＝16，…，观察下面的一列数：

－1，2，－3，4，－5，6，….将这些数排成如图的形式，根据其规律猜想：

第20行第3个数是________．

（第3题）

数阵中的排列规律

类型1　长方形排列

4．如图是某月的日历．

日

一

二

三

四

五

六

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

（第4题）

（1）带阴影的长方形框中的9个数之和与其正中间的数有什么关系？

（2）不改变长方形框的大小，如果将带阴影的长方形框移至其他几个像这样的位置试一试，你还能得出上述结论吗？

你知道为什么吗？

（3）这个结论对于任何一个月的日历都成立吗？

类型2　十字排列

5．将连续的奇数1，3，5，7，9，…，按如图所示的规律排列．

（第5题）

（1）十字框中的五个数的平均数与15有什么关系？

（2）若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？

若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由．

类型3　斜排列

6．如图所示是2016年6月份的日历．

（第6题）

（1）平行四边形框中的5个数的和与其中间的数有什么关系？

（2）

（1）题中的关系对任意这样的平行四边形框都适用吗？

设中间这个数为a，请将这5个数的和用含有a的式子表示出来．

专训三：

关于图形中的排列规律的几种常见类型

名师点金：

图形中的排列规律都与它所处位置的序号有关，所以解题的切入点是：

先设法列出关于序号的式子，再用关于序号的式子表示图形的变化规律．

三角形个数规律的探究

1．（2015·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成．第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……依此规律，第n个图案有______个三角形（用含n的代数式表示）．

（第1题）

四边形中个数规律的探究

2．（中考·重庆）如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有2个，第2个图形中面积为1的正方形有5个，第3个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律，则第6个图形中面积为1的正方形的个数为（　　）

（第2题）

A．20　　　　B．27　　　　C．35　　　　D．40

3．（中考·金华）一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．

（第3题）

（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？

（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？

点阵图形中个数规律的探究

4．观察如图的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：

①　

　4×0＋1＝4×1－3；

②

　4×1＋1＝4×2－3；

③

　4×2＋1＝4×3－3；

④

　________________；

⑤

　________________．

　　　　　　　　　…

（第4题）

（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式；

（2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．

圆中面积规律的探究

5．分别计算图①②③中阴影部分的面积，你发现了什么规律？

（第5题）

专训四：

整体思想在整式加减中的应用

名师点金：

整式化简时，经常把个别多项式作为一个整体（当作单项式）进行合并；整式的化简求值时，当题目中含字母的部分可以看成一个整体时，一般用整体代入法，整体代入的思想是把联系紧密的几个量作为一个整体来看的数学思想，运用这种方法，有时可使复杂问题简单化．

应用整体思想合并同类项

1．化简：

4（x＋y＋z）－3（x－y－z）＋2（x－y－z）－7（x＋y＋z）－（x－y－z）．

应用整体思想去括号

2．计算：

3x2y－[2x2z－（2xyz－x2z＋4x2y）]．

直接整体代入

3．设M＝2a－3b，N＝－2a－3b，则M＋N＝（　　）

A．4a－6b　　　　　　　　B．4a

C．－6bD．4a＋6b

4．若x＋y＝－1，xy＝－2，则x－xy＋y的值是________．

5．已知A＝2a2－a，B＝－5a＋1.

（1）化简：

3A－2B＋2；

（2）当a＝－时，求3A－2B＋2的值．

变形后再整体代入

6．（中考·威海）若m－n＝－1，则（m－n）2－2m＋2n的值是（　　）

A．3　　　B．2　　　C．1　　　D．－1

7．已知3x2－4x＋6的值为9，则x2－x＋6的值为（　　）

A．7B．18C．12D．9

8．已知－2a＋3b2＝－7，则代数式9b2－6a＋4的值是________．

9．已知a＋b＝7，ab＝10，则代数式（5ab＋4a＋7b）－（4ab－3a）的值为________．

10．已知14x＋5－21x2＝－2，求代数式6x2－4x＋5的值．

11．当x＝2时，多项式ax3－bx＋5的值是4，求当x＝－2时，多项式ax3－bx＋5的值．

特殊值法代入

12．已知（2x＋3）4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，求：

（1）a0＋a1＋a2＋a3＋a4的值；

（2）a0－a1＋a2－a3＋a4的值；

（3）a0＋a2＋a4的值．

专训五：

整式及其加减中的几种热门考点

名师点金：

本章的主要内容有整式的定义及其相关概念，整式的加减等，学好这些内容为后面学习整式乘法打好基础．而在中考命题中，对这些内容的考查常与其他知识相结合，主要以填空、选择题的形式出现．

整式的概念

1．下列说法正确的是（　　）

A．整式就是多项式　　　　　B．π是单项式

C．x4＋2x3是七次二项式D.是单项式

2．若5a3bn与－amb2是同类项，则mn的值为（　　）

A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6

3．－πx2y3的系数是________，次数是________．

整式的加减运算

4．下列正确的是（　　）

A．7ab－7ba＝0B．－5x3＋2x3＝－3

C．3x＋4y＝7xyD．4x2y－4xy2＝0

（第5题）

5．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为mcm，宽为ncm，m＞n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）

A．4mcmB．4ncm

C．2（m＋n）cmD．4（m－n）cm

6．先化简，再求值：

（1）a－－，其中a＝－；

（2）2（2x－3y）－（3x＋2y＋1），其中x＝2，y＝－.

整式的应用

7．可以表示“比a的平方的3倍大2的数”的是（　　）

A．a2＋2B．3a2＋2

C．（3a＋2）2D．3a（a＋2）2

8．（中考·达州）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%.那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（　　）

A．甲B．乙C．丙D．一样

9．大客车上原有（4a－2b）人，中途下车一半人，又上车若干人，这时车上共有（8a－5b）人，那么上车乘客是________人．（用含a，b的代数式表示）　

数学思想方法的应用

类型1　整体思想

10．已知2x2－5x＋4＝5，求式子（15x2－18x＋4）－（－3x2＋19x－32）－8x的值．

类型2　转化思想

11．已知A＝－3x2－2mx＋3x＋1，B＝2x2＋2mx－1，且2A＋3B的值与x无关，求m的值．

探究规律

12．从所给出的四个选项中，选出适当的一个填入问号所在位置，使之呈现相同的特征（　　）

（第12题）

13．观察下列等式：

9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，…，这些等式反映自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为________________．

答案

专训一

1．4900

2．解：

（1）当a＝3，b＝2时，a2＋2ab＋b2＝32＋2×3×2＋22＝25，（a＋b）2＝（3＋2）2＝25；

当a＝－2，b＝－1时，a2＋2ab＋b2＝（－2）2＋2×（－2）×（－1）＋（－1）2＝9，（a＋b）2＝[（－2）＋（－1）]2＝9；

当a＝4，b＝－3时，a2＋2ab＋b2＝42＋2×4×（－3）＋（－3）2＝1，（a＋b）2＝（4－3）2＝1.

（2）a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2.

3．解：

原式＝A－2A＋2B＋4（B－C）＝A－2A＋2B＋4B－4C＝－A＋6B－4C.

因为A＝1－x2，B＝x2－4x－3，C＝5x2＋4，

所以原式＝x2－1＋6x2－24x－18－4（5x2＋4）＝－13x2－24x－35.

当x＝－1时，原式＝－13×（－1）2－24×（－1）－35＝－13＋24－35＝－24.

4．解：

由条件|x－2|＋（y＋1）2＝0，得x－2＝0且y＋1＝0，所以x＝2，y＝－1.

原式＝－4x＋6y2＋5x－5y2－1＝x＋y2－1.

当x＝2，y＝－1时，原式＝2＋（－1）2－1＝2.

5．解：

6x－9y－5＝3（2x－3y）－5＝3×5－5＝10.

6．解：

因为当x＝2时，多项式ax3－bx＋1的值是－17，

所以8a－2b＋1＝－17.所以8a－2b＝－18.

当x＝－1时，12ax－3bx3－5＝－12a＋3b－5＝（－12a＋3b）－5＝－（8a－2b）－5＝－×（－18）－5＝22.

7．解：

由x2－xy＝－3，得2x2－2xy＝－6①；由2xy－y2＝－8，得6xy－3y2＝－24②.

①＋②，得（2x2－2xy）＋（6xy－3y2）＝（－6）＋（－24）＝－30，即2x2＋4xy－3y2＝－30.

8．解：

（1）因为m2－mn＝21，mn－n2＝－12，所以m2－n2＝（m2－mn）＋（mn－n2）＝21－12＝9.

（2）因为m2－mn＝21，mn－n2＝－12，

所以m2－2mn＋n2＝（m2－mn）－（mn－n2）＝21－（－12）＝21＋12＝33.

9．解：

令x＝0，得（0＋1）3＝d，所以d＝1.再令x＝1，得（1＋1）3＝a＋b＋c＋d，

所以a＋b＋c＋d＝8.

所以a＋b＋c＝8－1＝7.

专训二

1．9×6＋5＝59　2.158　3.364

4．解：

（1）带阴影的长方形框中的9个数之和是其正中间的数的9倍．

（2）带阴影的长方形框中的9个数之和仍是其正中间数的9倍，理由如下：

设带阴影的长方形框的正中间的数为x，则其余8个数分别为x－8，x－7，x－6，x－1，x＋1，x＋6，x＋7，x＋8，带阴影的长方形框中的9个数之和为（x－8）＋（x－7）＋（x－6）＋（x－1）＋x＋（x＋1）＋（x＋6）＋（x＋7）＋（x＋8）＝9x，所以带阴影的长方形框中的9个数之和是其正中间的数的9倍．

（3）这个结论对于任何一个月的日历都成立．

5．解：

（1）十字框中的五个数的平均数与15相等．

（2）这五个数的和能等于315.

理由：

设正中间的数为x，则上面的数为x－10，下面的数为x＋10，左边的数为x－2，右边的数为x＋2.

令x＋（x－10）＋（x＋10）＋（x－2）＋（x＋2）＝315.

解得x＝63.这五个数分别是53、61、63、65、73.

6．解：

（1）平行四边形框中的5个数的和是平行四边形框中间的数的5倍；

（2）适用．因为中间的数为a，所以其余4个数分别为a－12，a－6，a＋6，a＋12，它们的和为（a－12）＋（a－6）＋a＋（a＋6）＋（a＋12）＝5a.

专训三

1．（3n＋1）　点拨：

方法1：

因为4＝1＋3×1，7＝1＋3×2，10＝1＋3×3，…，所以第n个图案有1＋3×n＝（3n＋1）个三角形．

方法2：

因为4＝4＋0×3，7＝4＋1×3，10＝4＋2×3，…，所以第n个图案有4＋（n－1）×3＝（3n＋1）个三角形．

2．B

3．解：

（1）1张长方形餐桌的四周可坐4＋2＝6（人），

2张长方形餐桌的四周可坐4×2＋2＝10（人），

3张长方形餐桌的四周可坐4×3＋2＝14（人），

…

n张长方形餐桌的四周可坐（4n＋2）人．

所以4张长方形餐桌的四周可坐4×4＋2＝18（人），

8张长方形餐桌的四周可坐4×8＋2＝34（人）．

（2）设这样的餐桌需要x张，由题意得4x＋2＝90，

解得x＝22.

答：

这样的餐桌需要22张．

4．解：

（1）④4×3＋1＝4×4－3

⑤4×4＋1＝4×5－3

（2）4（n－1）＋1＝4n－3（n为正整数）．

点拨：

结合图形观察①②③中等式左右两边，发现有规律可循．等式左边都是式子顺序数少1的4倍，再加上1；而等式右边，恰好是式子顺序数的4倍减3，这样④⑤中的等式就可以写出，进而我们可以归纳出与第n个图形相对应的等式为4（n－1）＋1＝4n－3（n为正整数）．

5．解：

图①阴影部分的面积S1＝a2－π＝a2－；

图②阴影部分的面积S2＝a2－4π＝a2－；

图③阴影部分的面积S3＝a2－9π＝a2－.

发现小圆的个数按规律增多，但其阴影部分的面积保持不变．

专训四

1．解：

原式＝－3（x＋y＋z）－2（x－y－z）

＝－3x－3y－3z－2x＋2y＋2z

＝－5x－y－z.

2．解：

原式＝3x2y－2x2z＋（2xyz－x2z＋4x2y）

＝3x2y－2x2z＋2xyz－x2z＋4x2y

＝7x2y－3x2z＋2xyz.

3．C　4.1

5．解：

（1）3A－2B＋2

＝3（2a2－a）－2（－5a＋1）＋2

＝6a2－3a＋10a－2＋2

＝6a2＋7a.

（2）当a＝－时，原式＝6a2＋7a＝6×＋7×＝－2.

6．A　点拨：

原式＝（m－n）2－2（m－n）＝（－1）2－2×（－1）＝3.

7．A

8．－17　点拨：

9b2－6a＋4＝3（3b2－2a）＋4＝3×（－7）＋4＝－17.

9．59

10．解：

因为14x＋5－21x2＝－2，所以14x－21x2＝－7，所以3x2－2x＝1.所以6x2－4x＋5＝2（3x2－2x）＋5＝7.

11．解：

当x＝2时，23a－2b＋5＝4，即8a－2b＝－1.

当x＝－2时，ax3－bx＋5＝（－2）3a－（－2）×b＋5＝

－8a＋2b＋5＝－（8a－2b）＋5

＝－（－1）＋5＝6.

点拨：

求多项式的值时，有时给出相应字母的值，直接求值；有时不能求出字母的值，就需要观察已知与所求式子之间的关系，有时可将已知条件和所求式子经过适当变形后，运用整体代入的方法求解．

12．解：

（1）将x＝1代入（2x＋3）4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，

得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝（2＋3）4＝625.

（2）将x＝－1，代入（2x＋3）4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，

得a0－a1＋a2－a3＋a4＝（－2＋3）4＝1.

（3）因为（a0＋a1＋a2＋a3＋a4）＋（a0－a1＋a2－a3＋a4）＝2（a0＋a2＋a4），

所以625＋1＝2（a0＋a2＋a4），所以a0＋a2＋a4＝313.

点拨：

观察各式的特点，通过适当地赋予x特殊值可以求出．

专训五

1．B　2.D　3.－π；5　4.A

5．B　点拨：

设小长方形的长为acm，宽为bcm（a＞b），则上面的阴影部分的周长为2（m－a＋n－a）cm，下面的阴影部分的周长为2（m－2b＋n－2b）cm，则两块阴影部分的周长为[4m＋4n－4（a＋2b）]cm.因为a＋2b＝m（由题图可知），所以两块阴影部分的周长和＝4m＋4n－4（a＋2b）＝4n（cm）．

6．解：

（1）原式＝a－2a＋a2＋a－a2＝a2.

当a＝－时，原式＝a2＝×＝.

（2）原式＝4x－6y－3x－2y－1

＝x－8y－1.

当x＝2，y＝－时，原式＝x－8y－1＝2－8×－1＝5.

7．B　8.C

9．（6a－4b）

10．解：

因为2x2－5x＋4＝5，所以2x2－5x＝1.

所以（15x2－18x＋4）－（－3x2＋19x－32）－8x

＝18x2－45x＋36

＝9（2x2－5x）＋36

＝9×1＋36

＝45.

11．解：

2A＋3B＝2（－3x2－2mx＋3x＋1）＋3（2x2＋2mx－1）＝（2m＋6）x－1.

因为2A＋3B的值与x无关，所以2m＋6＝0，即m＝－3.

12．B

13．（n＋2）2－n2＝4（n＋1）