高中数学专题04直击轨迹方程问题特色训练新人教A版选修I.docx
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高中数学专题04直击轨迹方程问题特色训练新人教A版选修I
2019-2020年高中数学专题04直击轨迹方程问题特色训练新人教A版选修(I)
一、选择题
1.【北京通州潞河中学xx高二上学期期中】已知正方形的四个顶点分别为,,,,点,分别在线段,上运动,且,设与交于点,则点的轨迹方程是().
A.B.
C.D.
【答案】A
点睛:
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法:
直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0.
(2)待定系数法:
已知所求曲线的类型,求曲线方程.
(3)定义法:
先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.
(4)代入(相关点)法:
动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而运动,常利用代入法求动点P(x,y)的轨迹方程
2.【云南省昆明一中xx届高三第二次月考】已知点,,动点满足,则点的轨迹为()
A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线
【答案】B
【解析】点的坐标为,则
,化简可得,所以点的轨迹为圆,选B.
3.【四川省宜宾市南溪区第二中学校xx学年高二上学期第8周周考】设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则P点的轨迹方程是( )
A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=2C.y2=2xD.y2=-2x
【答案】B
【解析】设圆(x-1)2+y2=1圆心为C,则P点的轨迹方程是(x-1)2+y2=2,选B.
点睛:
求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:
①直接法:
直接根据题目提供的条件列出方程.
②定义法:
根据圆、直线等定义列方程.
③几何法:
利用圆的几何性质列方程.
④代入法:
找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.
4.【四川省达州市高级中学高xx级零诊】若方程C:
(是常数)则下列结论正确的是()
A.,方程C表示椭圆B.,方程C表示双曲线
C.,方程C表示椭圆D.,方程C表示抛物线
【答案】B
∵不论取何值,方程C:
中没有一次项方程不能表示抛物线,故D项不正确
综上所述,可得B为正确答案
故选B
5.【江西师大附中xx学年上学期高二10月月考】动圆M与圆外切,与圆内切,则动圆圆心M的轨迹方程是()
A.B.C.D.
【答案】B
点睛:
求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:
①直接法:
直接根据题目提供的条件列出方程.
②定义法:
根据圆、直线等定义列方程.
③几何法:
利用圆的几何性质列方程.
④代入法:
找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.
二、解答题
6.【xx学年贵州省遵义市航天高级中学高三(上)10月月考】已知点P是圆F1:
(x﹣1)2+y2=8上任意一点,点F2与点F1关于原点对称,线段PF2的垂直平分线分别与PF1,PF2交于M,N两点.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)过点G(0,)的动直线l与点的轨迹C交于A,B两点,在y轴上是否存在定点Q,使以AB为直径的圆恒过这个点?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
(2)在y轴上存在定点Q(0,﹣1),使以AB为直径的圆恒过这个点.
【解析】试题分析:
(1)由圆的方程求出F1、F2的坐标,结合题意可得点M的轨迹C为以F1,F2为焦点的椭圆,并求得a,c的值,再由隐含条件求得b,则椭圆方程可求;
(2)直线l的方程可设为,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线方程与椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系求出A,B横坐标的和与积,假设在y轴上是否存在定点Q(0,m),使以AB为直径的圆恒过这个点,可得,即.利用向量的坐标运算即可求得m值,即定点Q得坐标.
(2)直线l的方程可设为,设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
可得9(1+2k2)x2+12kx﹣16=0.
则+=,=,
假设在y轴上是否存在定点Q(0,m),使以AB为直径的圆恒过这个点,
则,即.
∵,
∴=+=+
∴,解得m=﹣1.
因此,在y轴上存在定点Q(0,﹣1),使以AB为直径的圆恒过这个点.
点睛:
本题考查椭圆的简单性质,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,第一问中求轨迹问题主要是采用了定义法,除此以外还有直接法,相关点法,消参法等.
7.【山西实验中学、南海桂城中学xx届高三上学期联考】设点的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积.
(1)求点的轨迹方程;
(2)在点的轨迹上有一点且点在轴的上方,,求的范围.
【答案】
(1);
(2).
【解析】试题分析:
(1)设点的坐标为,表示出两直线的斜率,利用斜率之积等于建立方程,化简即可求出轨迹方程;
(2)点的坐标为,利用斜率公式及夹角公式,可得的关系,再结合点在椭圆上消元后根据椭圆的范围建立不等关系,即可解出的范围.
方法一:
设点的坐标为,过点作垂直于轴,垂足为,
因为点的坐标为在点的轨迹上,所以
得
,
因为,,
.
所以解得.
得,代入
(1)得
.
因为,,
.
所以解得.
代入
(1)得
,
,
,,
.
所以解得.
方法四:
设点的坐标为,点的坐标分别为
直线的斜率,直线的斜率
由得
所以
(1)
直线的斜率,直线的斜率
由得
.
所以解得.
点睛:
本题主要考查了轨迹方程及直线与椭圆的位置关系,是高考的必考点,属于难题.求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程,求出即可,注意的应用;涉及直线与圆锥曲线相交时,未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程,要特别注意直线斜率是否存在的问题,避免不分类讨论造成遗漏,然后要联立方程组,得一元二次方程,利用根与系数关系写出,再根据具体问题应用上式,其中要注意判别式条件的约束作用.
8.【北京昌平一中xx学年高二上学期期中】已知点的坐标为,圆的方程为,动点在圆上运动,点为延长线上一点,且.
(1)求点的轨迹方程.
(2)过点作圆的两条切线,,分别与圆相切于点,,求直线的方程,并判断直线与点所在曲线的位置关系.
【答案】
(1)
(2),相交
试题解析:
(1)设,点的坐标为,动点在圆上运动,点为延长线上一点,且,则点为,的中点,所以得代入圆的方程
.
(2)过点作圆的两条切线,,分别与圆相切于点,,则,则,设圆以为圆心,以为半径,
,∴,
∴
.则EF为圆与圆的公共弦,
联立,,作差得直线EF方程
∴,,∴相交.
点睛:
本题主要考查了直线与圆的方程的应用,第一问求轨迹的方程是相关点法,设所求点的坐标为,找出所求点与已知点的等量关系,借助已知点所满足的方程求出所求,此外还有定义法,直接法,参数法.
9.【云南省德宏州芒市第一中学xx学年高二上学期期中】已知圆C:
为坐标原点,动点在圆外,过作圆的切线,设切点为M.若点P运动到(1,3)处,求此时切线;
求满足条件的点P的轨迹方程.
【答案】
(1)或;
(2)
【解析】试题分析:
(1)对切线的斜率是否存在分类讨论,用点斜式求得直线方程;
(2)设出P点的坐标,代入两点间距离公式,化简即可得轨迹方程.
(2)设,则
,
,由得:
,
化简得:
点睛:
本题主要考查直线与圆相切,点斜式求直线方程,分类讨论,轨迹方程的求法等,属于中档题.注意解决本类问题时,要使用直线和圆相切的性质,设直线时注意分类讨论,分析斜率存在与不存在两种情形,严防漏解,求轨迹方程时一般先设出动点坐标,再根据条件建立关于的关系,化简即可求出轨迹方程.
10.【北京市西城鲁迅中学xx学年高二上学期期中】两点,,曲线上的动点满足.
(Ⅰ)求曲线的方程.
(Ⅱ)曲线上是否存在点,使得?
若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)
(2)存在和
【解析】试题分析:
(1)根据椭圆定义判断并确定基本量,写出其标准方程
(2)设点坐标,利用向量数量积得点坐标关系式,再与椭圆方程联立解方程组可得点的坐标
(Ⅱ)假设存在点,
∵,,
∴,
,
∴
.
∴,
,
∴存在和,
满足条件.
11.【云南省昆明一中xx届高三一模】已知动点满足:
.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设过点的直线与曲线交于两点,点关于轴的对称点为(点与点不重合),证明:
直线恒过定点,并求该定点的坐标.
【答案】
(1);
(2)直线过定点,证明见解析.
试题解析:
(1)由已知,动点到点,的距离之和为,
且,所以动点的轨迹为椭圆,而,,所以,
所以,动点的轨迹的方程:
.
12.【湖北省沙市中学xx学年高二上学期第三次双周考】已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为,D是AB的中点.
(1)求动点D的轨迹C的方程;
(2)若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q,当|PQ|=3时,求直线l的方程。
【答案】
(1)x2+y2=3.
(2).
【解析】试题分析:
(1)设A(a,a),B(b,-b),根据AB的长为2得(a-b)2+(a+b)2=12,再根据D是AB的中点得a-b=2y,a+b=2x,代入化简可得点D的轨迹C的方程
(2)设直线点斜式方程,根据垂径定理列式解斜率,最后讨论斜率不存在时是否满足题意
试题解析:
解:
(1)设D(x,y),A(a,a),B(b,-b),
∵ D是AB的中点,∴x=,y=,
∵|AB|=2,∴(a-b)2+(a+b)2=12,
∴(2y)2+(2x)2=12,∴点D的轨迹C的方程为x2+y2=3.
(2)①当直线l与x轴垂直时,P(1,),Q(1,-),
此时|PQ|=2,不符合题意;
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x-1),
由于|PQ|=3,所以圆心C到直线l的距离为,
由=,解得k=.故直线l的方程为y=(x-1).
13.【xx届云南省名校月考
(一)】已知分别是椭圆的左、右焦点,动点在上,连结并延长至点,使得,设点的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)设为坐标原点,点,连结交于点,若直线的斜率与直线的斜率存在且不为零,证明:
这两条直线的斜率之比为定值.
【答案】
(1);
(2)2
试题解析:
(1)设椭圆的长轴为,短轴长为,焦距为,则,所以.因为,所以
,又点在上,故,所以.设,则,化简得.所以.
(2)设,直线的斜率为,直线的斜率为,则,,所以.因为,则,同理,当时,
14.【云南省昆明一中xx届高三第二次月考】已知点在圆上,的坐标分别为,,线段的垂直平分线交线段于点
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设圆与点的轨迹交于不同的四个点,求四边形的面积的最大值及相应的四个点的坐标.
【答案】
(1)
(2)矩形的面积的最大值为,此时,
四个点的坐标为:
,,,.
【解析】试题分析:
(1)由线段垂直平分线性质得,再根据椭圆定义确定轨迹,最后根据基本量求方程
(2)由题意得四边形为矩形,各点关于对称轴对称,因此可设点坐标,表示四边形的面积,再根据基本不等式求最值,最后求对应点坐标
所以
,
当且仅当,即,时,取“”,
所以矩形的面积的最大值为,此时,
四个点的坐标为:
,,,.
15.【河北省定州中学xx学年高二上学期第一次月考】如图,设与定点的距离和它到直线的距离的比是常数,
(1)求点的轨迹曲线的方程:
(2)过定点的直线交曲线于两点,以三点(为坐标原点)为顶点作平行四边形,若点刚好在曲线上,求直线的方程.
【答案】
(1);
(2);
【解析】试题分析:
(Ⅰ)设点M的坐标为M(x,y),结合点到直线距离公式可得,整理可得曲线C的方程为.
(Ⅱ)很明显直线斜率不存在时不满足题意,当直线斜率存在时,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理得到关于斜率的方程,解方程可得,则直线的方程是.
(Ⅱ)当直线l2的斜率不存在时,显然不适合题意;
当直线l2的斜率存在时,设直线l2的方程:
联立方程:
,得,
设,,则,
,
即P,又点P刚好在曲线C上,∴
解得:
.
所以直线l2的方程为:
16.【四川省宜宾市南溪区第二中学校xx学年高二12月月考】已知动点到定点的距离与到直线的距离之比为.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过点的直线与曲线交于两点,且为线段中点,求直线的方程.
【答案】
(1)
(2)
【解析】试题分析:
(1)按照题目意思点到点的距离与点到线的距离成比例列出轨迹方程
(2)因为知道中点,可以采用点差法求得直线方程
试题解析:
到定点的距离与到直线的距离之比为
…(3分)点的轨迹的方程为.
注:
此题如果直接当成椭圆的标准方程来计算酌情扣分.
解法二:
设,,中点不在轴上,
.
设联立
直线的方程为。
点睛:
当题目的条件里给出了“某条直线与曲线相交两点,一点为中点”并给出点坐标时,往往可以运用点差法求出直线斜率,然后再求出直线方程。
将问题转化为其几何意义,先求斜率再求直线方程。
17.【江西科技学院附属中学xx学年上学期高二第一次月考】已知,,动点满足.设动点的轨迹为.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)设直线交轨迹于两点,是否存在以线段为直径的圆经过?
若存在,求出实数的值;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)见解析
(2).
【解析】试题分析:
(1)先将条件化简即得动点M的轨迹方程,并说明轨迹C是图形:
轨迹C是以(-2,0)为圆心,2为半径的圆;
(2)对于存在性问题,可先假设存在,即存在以线段PQ为直径的圆经过A,再利用PA⊥QA,求出m的长,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
18.【湖北省黄冈中学xx届高三下学期高考三模】如图,在平面直角坐标系中,已知圆:
,点,点(),以为圆心,为半径作圆,交圆于点,且的平分线交线段于点.
(1)当变化时,点始终在某圆锥曲线上运动,求曲线的方程;
(2)已知直线过点,且与曲线交于两点,记面积为,面积为,求的取值范围.
【答案】
(1);
(2).
【解析】试题分析:
(I)推导出△QAB≌△QPB,从而QC+QA=4,由椭圆的定义可知,Q点的轨迹是以C,A为焦点,的椭圆,由此能求出点Q的轨迹方程.
(II)设直线l:
x=my-1,设M(x1,y1),N(x2,y2),推导出,由
得
,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件求出的取值范围.
(2)由题可知,设直线:
,不妨设,
∵
,
∴,
∴.
19.【四川省宜宾市南溪区第二中学校xx学年高二上学期期末】已知点是平面直角坐标系中的动点,,,在中,.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程及求的周长的取值范围;
(Ⅱ)直线与轨迹的另一交点为,求的取值范围.
【答案】
(1)点的轨迹方程为.的周长的取值范围
(2)
【解析】试题分析:
(Ⅰ) 利用直接法求点的轨迹的方程;利用特殊位置,即可求的周长的取值范围;
(Ⅱ) 直线与轨迹的另一交点为,
,利用韦达定理,即可求的取值范围.
试题解析:
(Ⅰ)由已知有
,
∴点的轨迹方程为.
∵在中,,则
的周长
∴的周长的取值范围.
∴的取值范围为.
【点睛】本题考查轨迹方程,考查直线与圆的位置关系的运用,对学生的思维能力和计算能力要求较高
20.【广东省汕头市金山中学xx届高三上学期期中】在平面直角坐标系中,设点(1,0),直线:
,点在直线上移动,是线段与轴的交点,异于点R的点Q满足:
,.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)记的轨迹的方程为,过点作两条互相垂直的曲线
的弦.,设.的中点分别为.
问直线是否经过某个定点?
如果是,求出该定点,
如果不是,说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)以直线恒过定点.
【解析】试题分析:
(1)由已知条件知,点R是线段FP的中点,RQ是线段FP的垂直平分线,点Q的轨迹E是以F为焦点,l为准线的抛物线,写出抛物线标准方程.
(2)设出直线AB的方程,把A、B坐标代入抛物线方程,再利用中点公式求出点M的坐标,同理可得N的坐标,求出直线MN的斜率,得到直线MN的方程并化简,可看出直线MN过定点.
(Ⅱ)设,,
由AB⊥CD,且AB、CD与抛物线均有两个不同的交点,故直线AB、CD斜率均存在,设直线AB的方程为
则
(1)—
(2)得,即,
代入方程,解得.所以点M的坐标为.
同理可得:
的坐标为.
直线的斜率为,方程为
,整理得,
显然,不论为何值,均满足方程,所以直线恒过定点.
2019-2020年高中数学专题04直击轨迹方程问题特色训练新人教A版选修
一、选择题
1.【北京通州潞河中学xx高二上学期期中】已知正方形的四个顶点分别为,,,,点,分别在线段,上运动,且,设与交于点,则点的轨迹方程是().
A.B.
C.D.
【答案】A
本题选择A选项.
点睛:
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法:
直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0.
(2)待定系数法:
已知所求曲线的类型,求曲线方程.
(3)定义法:
先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.
(4)代入(相关点)法:
动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而运动,常利用代入法求动点P(x,y)的轨迹方程
2.【云南省昆明一中xx届高三第二次月考】已知点,,动点满足,则点的轨迹为()
A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线
【答案】B
【解析】点的坐标为,则
,化简可得,所以点的轨迹为圆,选B.
3.【四川省宜宾市南溪区第二中学校xx学年高二上学期第8周周考】设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则P点的轨迹方程是( )
A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=2C.y2=2xD.y2=-2x
【答案】B
【解析】设圆(x-1)2+y2=1圆心为C,则P点的轨迹方程是(x-1)2+y2=2,选B.
点睛:
求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:
①直接法:
直接根据题目提供的条件列出方程.
②定义法:
根据圆、直线等定义列方程.
③几何法:
利用圆的几何性质列方程.
④代入法:
找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.
4.【四川省达州市高级中学高xx级零诊】若方程C:
(是常数)则下列结论正确的是()
A.,方程C表示椭圆B.,方程C表示双曲线
C.,方程C表示椭圆D.,方程C表示抛物线
【答案】B
∵不论取何值,方程C:
中没有一次项方程不能表示抛物线,故D项不正确
综上所述,可得B为正确答案
故选B
5.【江西师大附中xx学年上学期高二10月月考】动圆M与圆外切,与圆内切,则动圆圆心M的轨迹方程是()
A.B.C.D.
【答案】B
点睛:
求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:
①直接法:
直接根据题目提供的条件列出方程.
②定义法:
根据圆、直线等定义列方程.
③几何法:
利用圆的几何性质列方程.
④代入法:
找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.
二、解答题
6.【xx学年贵州省遵义市航天高级中学高三(上)10月月考】已知点P是圆F1:
(x﹣1)2+y2=8上任意一点,点F2与点F1关于原点对称,线段PF2的垂直平分线分别与PF1,PF2交于M,N两点.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)过点G(0,)的动直线l与点的轨迹C交于A,B两点,在y轴上是否存在定点Q,使以AB为直径的圆恒过这个点?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
(2)在y轴上存在定点Q(0,﹣1),使以AB为直径的圆恒过这个点.
【解析】试题分析:
(1)由圆的方程求出F1、F2的坐标,结合题意可得点M的轨迹C为以F1,F2为焦点的椭圆,并求得a,c的值,再由隐含条件求得b,则椭圆方程可求;
(2)直线l的方程可设为,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线方程与椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系求出A,B横坐标的和与积,假设在y轴上是否存在定点Q(0,m),使以AB为直径的圆恒过这个点,可得,即.利用向量的坐标运算即可求得m值,即定点Q得坐标.
(2)直线l的方程可设为,设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
可得9(1+2k2)x2+12kx﹣16=0.
则+=,=,
假设在y轴上是否存在定点Q(0,m),使以AB为直径的圆恒过这个点,
则,即.
∵,
∴=+=+
∴,解得m=﹣1.
因此,在y轴上存在定点Q(0,﹣1),使以AB为直径的圆恒过这个点.
点睛:
本题考查椭圆的简单性质,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,第一问中求轨迹问题主要是采用了定义法,除此以外还有直接法,相关点法,消参法等.
7.【山西实验中学、南海桂城中学xx届高三上学期联考】设点的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积.
(1)求点的轨迹方程;
(2)在点的轨迹上有一点且点在轴的上方,,求的范围.
【答案】
(1);
(2).
【解析】试题分析:
(1)设点的坐标为,表示出两直线的斜率,利用斜率之积等于建立方程,化简即可求出轨迹方程;
(2)点的坐标为,利用斜率公式及夹角公式,可得的关系,再结合点在椭圆上消元后根据椭圆的范围建立不等关系,即可解出的范围.
化简,得点的轨迹方程为
方法一:
设点的坐标为,过点作垂直于轴,垂足为,
因为点的坐标为在点的轨迹上,所以
所以解得.
方法二:
设点的坐标为,点的坐标分别为
直线的斜率,直线的斜率
由得
所以
(1)
又由于点的坐标为为在点的轨迹上,所以
得,代入
(1)得
.
因为,,
.
所以解得.
又由于点的坐标为为在点的轨迹上,所以
代入
(1)得
,
,
,,
.
所以解得.
方法四:
设点的坐标为,点的坐标分别为
直线的斜率,直线的斜率
由得
所以
(1)
方法五设点的坐标为,点的坐标分别为
直线的斜率,直线的斜率
由得
.
所以解得.
点睛:
本题主要考查了轨迹方程及直线与椭圆的位置关系,是高考的必考点,属于难题.求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程,求出即可,注意的应用;涉及直线与圆锥曲线相交时,未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程,要特别注意直线斜率是否存在的问题,避免不分类讨论造成遗漏,然后要联立方程组,得一元二次方程,利用根与系数关系写出,再根据具体问题应用上式,其中要注意判别式条件的约束作用.
8.【北京昌平一中xx学年高二上学期期中】已知点的坐标为,圆的方程为,动点在圆上运动,点为延长线上一点,且.
(1)求点的轨迹方程.
(2)过点作圆的两条切线,,分别与圆相切于点,,求直线的方程,并判断直线与点所在曲线的位置关系.
【答案】
(1)
(2),相交
试题解析:
(1)设,点的坐标为,动点在圆上运动,点为延长线上一点,且,则点为,的中点,所以得代入圆的方程
.
(2)过点作圆的两条切线,,分别
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- 高中数学 专题 04 直击 轨迹 方程 问题 特色 训练 新人 选修