高考数学二轮复习专题六函数与导数第4讲导数的热点问题学案理.docx
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高考数学二轮复习专题六函数与导数第4讲导数的热点问题学案理
第4讲 导数的热点问题
[考情考向分析] 利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题,高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合,难度较大.
热点一 利用导数证明不等式
用导数证明不等式是导数的应用之一,可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值,以及构造函数解题的能力.
例1 (2018·湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)已知函数f(x)=ae2x-aex-xex(a≥0,e=2.718…,e为自然对数的底数),若f(x)≥0对于x∈R恒成立.
(1)求实数a的值;
(2)证明:
f(x)存在唯一极大值点x0,且+≤f(x0)<.
(1)解 由f(x)=ex(aex-a-x)≥0对于x∈R恒成立,
设函数g(x)=aex-a-x,
可得g(x)=aex-a-x≥0对于x∈R恒成立,
∵g(0)=0,∴g(x)≥g(0),
从而x=0是g(x)的一个极小值点,
∵g′(x)=aex-1,∴g′(0)=a-1=0,即a=1.
当a=1时,g(x)=ex-1-x,g′(x)=ex-1,
∵x∈(-∞,0)时,g′(x)<0,g(x)在(-∞,0)上单调递减,
x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴g(x)≥g(0)=0,故a=1.
(2)证明 当a=1时,f(x)=e2x-ex-xex,
f′(x)=ex(2ex-x-2).
令h(x)=2ex-x-2,则h′(x)=2ex-1,
∴当x∈(-∞,-ln2)时,h′(x)<0,h(x)在(-∞,-ln2)上为减函数;
当x∈(-ln2,+∞)时,h′(x)>0,h(x)在(-ln2,+∞)上为增函数,
∵h(-1)<0,h(-2)>0,
∴在(-2,-1)上存在x=x0满足h(x0)=0,
∵h(x)在(-∞,-ln2)上为减函数,
∴当x∈(-∞,x0)时,h(x)>0,
即f′(x)>0,f(x)在(-∞,x0)上为增函数,
当x∈(x0,-ln2)时,h(x)<0,
即f′(x)<0,f(x)在(x0,-ln2)上为减函数,
当x∈(-ln2,0)时,h(x) 即f′(x)<0,f(x)在(-ln2,0)上为减函数, 当x∈(0,+∞)时,h(x)>h(0)=0, 即f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴f(x)在(-ln2,+∞)上只有一个极小值点0, 综上可知,f(x)存在唯一的极大值点x0, 且x0∈(-2,-1). ∵h(x0)=0,∴2-x0-2=0, ∴f(x0)=--x0=2-(x0+1)=-,x0∈(-2,-1), ∵当x∈(-2,-1)时,-<,∴f(x0)<; ∵ln∈(-2,-1), ∴f(x0)≥f =+; 综上知+≤f(x0)<. 思维升华 用导数证明不等式的方法 (1)利用单调性: 若f(x)在[a,b]上是增函数,则①∀x∈[a,b],则f(a)≤f(x)≤f(b);②对∀x1,x2∈[a,b],且x1 (2)利用最值: 若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则对∀x∈D,有f(x)≤M(或f(x)≥m). (3)证明f(x) 跟踪演练1 (2018·荆州质检)已知函数f(x)=ax-lnx. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若a∈,求证: f(x)≥2ax-xeax-1. (1)解 由题意得f′(x)=a-=(x>0), ①当a≤0时,则f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减. ②当a>0时, 则当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减. 综上当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增. (2)证明 令g(x)=f(x)-2ax+xeax-1 =xeax-1-ax-lnx, 则g′(x)=eax-1+axeax-1-a- =(ax+1)=(x>0), 设r(x)=xeax-1-1(x>0), 则r′(x)=(1+ax)eax-1(x>0), ∵eax-1>0, ∴当x∈时,r′(x)>0,r(x)单调递增; 当x∈时,r′(x)<0,r(x)单调递减. ∴r(x)max=r=-≤0, ∴当0 ∴g(x)在上单调递减,在上单调递增, ∴g(x)min=g, 设t=-∈, 则g=h(t)=-lnt+1(0 h′(t)=-≤0,h(t)在上单调递减, ∴h(t)≥h(e2)=0; ∴g(x)≥0,故f(x)≥2ax-xeax-1. 热点二 利用导数讨论方程根的个数 方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念,解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的走势,通过数形结合思想直观求解. 例2 (2018·衡水金卷分科综合卷)设函数f(x)=ex-2a-ln(x+a),a∈R,e为自然对数的底数. (1)若a>0,且函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围; (2)若0 解 (1)∵函数f(x)在[0,+∞)内单调递增, ∴f′(x)=ex-≥0在[0,+∞)内恒成立. 即a≥e-x-x在[0,+∞)内恒成立. 记g(x)=e-x-x, 则g′(x)=-e-x-1<0恒成立, ∴g(x)在区间[0,+∞)内单调递减, ∴g(x)≤g(0)=1,∴a≥1, 即实数a的取值范围为[1,+∞). (2)∵0-a), 记h(x)=f′(x),则h′(x)=ex+>0, 知f′(x)在区间内单调递增. 又∵f′(0)=1-<0,f′ (1)=e->0, ∴f′(x)在区间内存在唯一的零点x0, 即f′(x0)=-=0, 于是=,x0=-ln. 当-a 当x>x0时,f′(x)>0,f(x)单调递增. ∴f(x)min=f(x0)=-2a-ln =-2a+x0=x0+a+-3a≥2-3a, 当且仅当x0+a=1时,取等号. 由00, ∴f(x)min=f(x0)>0,即函数f(x)没有零点. 思维升华 (1)函数y=f(x)-k的零点问题,可转化为函数y=f(x)和直线y=k的交点问题. (2)研究函数y=f(x)的值域,不仅要看最值,而且要观察随x值的变化y值的变化趋势. 跟踪演练2 (2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax2. (1)若a=1,证明: 当x≥0时,f(x)≥1; (2)若f(x)在(0,+∞)上只有一个零点,求a. (1)证明 当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0. 设函数g(x)=(x2+1)e-x-1, 则g′(x)=-(x2-2x+1)·e-x=-(x-1)2e-x. 当x≠1时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减. 而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1. (2)解 设函数h(x)=1-ax2e-x. f(x)在(0,+∞)上只有一个零点等价于h(x)在(0,+∞)上只有一个零点. (ⅰ)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点; (ⅱ)当a>0时,h′(x)=ax(x-2)e-x. 当x∈(0,2)时,h′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0. 所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增. 故h (2)=1-是h(x)在(0,+∞)上的最小值. ①若h (2)>0,即a<,h(x)在(0,+∞)上没有零点. ②若h (2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)上只有一个零点. ③若h (2)<0,即a>, 因为h(0)=1,所以h(x)在(0,2)上有一个零点; 由 (1)知,当x>0时,ex>x2,所以h(4a)=1-=1->1-=1->0,故h(x)在(2,4a)上有一个零点. 因此h(x)在(0,+∞)上有两个零点. 综上,当f(x)在(0,+∞)上只有一个零点时,a=. 热点三 利用导数解决生活中的优化问题 生活中的实际问题受某些主要变量的制约,解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来,建立目标问题即关于这个变量的函数,然后通过研究这个函数的性质,从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优. 例3 罗源滨海新城建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为32万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式; (2)当m=96米时,需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小? 解 (1)设需新建n个桥墩, 则(n+1)x=m,即n=-1. 所以y=f(x)=32n+(n+1)(2+)x =32+(2+)x =m+2m-32(0 (2)当m=96时,f(x)=96+160, 则f′(x)=96=(-64). 令f′(x)=0,得=64,所以x=16. 当0 当16 所以f(x)在x=16处取得最小值,此时n=-1=5. 答 需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小. 思维升华 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)建模: 分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x). (2)求导: 求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0. (3)求最值: 比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值. (4)作答: 回归实际问题作答. 跟踪演练3 图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图,图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图,其中四边形ABCD是矩形,弧CmD是半圆,凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积,设AB=2x,BC=y. (1)写出y关于x的函数表达式,并指出x的取值范围; (2)求当x取何值时,凹槽的强度最大. 解 (1)易知半圆CmD的半径为x, 故半圆CmD的弧长为πx. 所以4=2x+2y+πx, 得y=. 依题意知0 所以y=. (2)依题意,得T=AB·S=2x =8x2-(4+3π)x3. 令T′=16x-3(4+3π)x2=0,得x=0或x=. 因为0<<, 所以当0 当 所以当x=时凹槽的强度最大. 真题体验 (2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 解 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1). (i)若a≤0,则f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减. (ii)若a>0,则
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