抛物线性质归纳证明和应用汇编.docx
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抛物线性质归纳证明和应用汇编
抛物线性质归纳、证明和应用
抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线(定点在定直线外)的距离的点的轨迹,它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线,它只有一支(双曲线有两支),只有一条对称轴,没有渐近线和对称中心,属于无心曲线.抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩,此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨,抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点,这里就它的一些性质加以归纳,说明和证明,及其在历年高考和模拟考试出现的典例.
一、焦半径、焦点弦性质
如图,AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,AD、BC是准线的垂线,垂足分别为D、C,M是CD的中点,N是AB的中点.设点A(x1,y1)、点B(x2,y2),直线AB交y轴于点K(0,y3),则:
⑴①y1y2=-p2;②x1x2=;③+=;
④|AB|=x1+x2+p=(θ为AB的倾斜角);
⑤S△OAB=,S梯形ABCD=..
⑵+=;
⑶∠AMB=∠DFC=Rt∠;
⑷AM、BM是抛物线的切线;
⑸AM、BM分别是∠DAB和∠CBA的平分线;
⑹AM、DF、y轴三线共点,BM、CF、y轴三线共点;
⑺A、O、C三点共线,B、O、D三点共线;
⑻若|AF|:
|BF|=m:
n,点A在第一象限,
θ为直线AB的倾斜角.则cosθ=;
⑼以AF为直径的圆与y轴相切,以BF为直径的圆与y轴相切;
以AB为直径的圆与准线相切.
⑽MN交抛物线于点Q,则,Q是MN的中点.
★⑴①y1y2=-p2;②x1x2=;③+=
④|AB|=x1+x2+p=(θ为AB的倾斜角);⑤S△OAB=,S梯形ABCD=.
【证明】设过焦点F(,0)的AB的直线方程为x=my+,代入抛物线方程y2=2px得
y2-2pmy-p2=0,因此
①y1y2=-p2,y1+y2=2pm.
另由⑶得在Rt△CFD中,FR⊥CD,
有|RF|2=|DR|·|RC|,
而|DR|=|y1|,|RC|=|y2|,|RF|=p,且y1y2<0
∴y1y2=-p2.
②又点A、B在抛物线上,有x1=,x2=,
因此x1x2=·==.
③+===-,
在直线AB方程x=my+中令x=0,得y3=-,代入上式得+=
④【证法一】根据抛物线的定义,|AF|=|AD|=x1+,|BF|=|BC|=x2+,
|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p
又|AB|==|y2-y1|
=
==2p(1+m2)
当m≠0时,m===,有
1+m2=1+=(k为直线AB的斜率)
当m=0时,θ=90︒,1+m2=1也满足1+m2=
∴|AB|=2p(1+m2)=.
【证法二】如图2,过A、B引x轴的垂线AA1、BB1,垂足为
A1、B1,那么|RF|=|AD|-|FA1|=|AF|-|AF|cosθ,
∴|AF|==
同理,|BF|==
∴|AB|=|AF|+|BF|=+=.
【证法三】极坐标法,设抛物线的极坐标方程为ρ=,则
|AF|=ρ1=,|BF|=ρ2==.
∴|AB|=|AF|+|BF|=+=.
⑤S△OAB=S△OAF+S△OBF=|OF||y1|+|OF||y1|=··(|y1|+|y1|)
∵y1y2=-p2,则y1、y2异号,因此,|y1|+|y1|=|y1-y2|
∴S△OAB=|y1-y2|====.
又∵|CD|=|AB|sinθ=,|AD|+|BC|=|AB|=.
∴S梯形ABCD=(|AD|+|BC|)·|CD|=××=.
【例1】(2001年新课程高考文)设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,则·=()
A.B.-C.3D.-3
【解】设A(x1,y1),B(x2,y2),则·=x1x2+y1y2=-p2=-,故选B.
【例2】(2009年福建理)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45︒的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p=.
【解】由性质⑴得|AB|===8,∴p==4.
★⑵+=
【证法一】由⑴x1x2=,且|AF|=x1+,|BF|=x2+.
∴+=+==
===
【证法二】由|AF|=ρ1=,|BF|=ρ2==.
∴+=+=+=
【例3】(2000全国)过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则+等于()
A.2aB.C.4aD.
【解】由y=ax2得x2=y,(抛物线焦点到准线的距离为),由此得+=4a,故选C.
★⑶∠AMB=∠DFC=Rt∠,先证明:
∠AMB=Rt∠
【证法一】延长AM交BC的延长线于E,如图3,则
△ADM≌△ECM,
∴|AM|=|EM|,|EC|=|AD|
∴|BE|=|BC|+|CE|=|BC|+|AD|
=|BF|+|AF|=|AB|
∴△ABE为等腰三角形,又M是AE的中点,
∴BM⊥AE,即∠AMB=Rt∠
【证法二】取AB的中点N,连结MN,则
|MN|=(|AD|+|BC|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,∴|MN|=|AN|=|BN|
∴△ABM为直角三角形,AB为斜边,故∠AMB=Rt∠.
【证法三】由已知得C(-,y2)、D(-,y1),由此得M(-,).
∴kAM=====,同理kBM=
∴kAM·kBM=·===-1
∴BM⊥AE,即∠AMB=Rt∠.
【证法四】由已知得C(-,y2)、D(-,y1),由此得M(-,).
∴=(x1+,),=(x3+,)
∴·=(x1+)(x2+)+
=x1x2+(x1+x2)+-
=+(+)+-
=+=+=0
∴⊥,故∠AMB=Rt∠.
【证法五】由下面证得∠DFC=90︒,连结FM,则FM=DM.
又AD=AF,故△ADM≌△AFM,如图4
∴∠1=∠2,同理∠3=∠4
∴∠2+∠3=×180︒=90︒
∴∠AMB=Rt∠.
接着证明:
∠DFC=Rt∠
【证法一】如图5,由于|AD|=|AF|,AD∥RF,
故可设∠AFD=∠ADF=∠DFR=α,
同理,设∠BFC=∠BCF=∠CFR=β,
而∠AFD+∠DFR+∠BFC+∠CFR=180︒
∴2(α+β)=180︒,即α+β=90︒,故∠DFC=90︒
【证法二】取CD的中点M,即M(-,)
由前知kAM=,kCF===
∴kAM=kCF,AM∥CF,同理,BM∥DF
∴∠DFC=∠AMB=90︒.
【证法三】∵=(p,-y1),=(p,-y2),
∴·=p2+y1y2=0
∴⊥,故∠DFC=90︒.
【证法四】由于|RF|2=p2=-y1y2=|DR|·|RC|,即=,且∠DRF=∠FRC=90︒
∴△DRF∽△FRC
∴∠DFR=∠RCF,而∠RCF+∠RFC=90︒
∴∠DFR+∠RFC=90︒
∴∠DFC=90︒
【例4】(2009年湖北文)如图7,过抛物线y2=2px(P>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向准线l作垂线,垂足分别为M1、N1,求证:
FM1⊥FN1
★⑷AM、BM是抛物线的切线
【证法一】∵kAM=,AM的直线方程为y-y1=(x-)
与抛物线方程y2=2px联立消去x得
y-y1=(-),整理得y2-2y1y+=0
可见△=(2y1)2-4=0,
故直线AM与抛物线y2=2px相切,
同理BM也是抛物线的切线,如图8.
【证法二】由抛物线方程y2=2px,两边对x求导,=,
得2y·=2p,=,故抛物线y2=2px在点A(x1,y1)处的切线的斜率为k切=|y=y1=.
又kAM=,∴k切=kAM,即AM是抛物线在点A处的切线,同理BM也是抛物线的切线.
【证法三】∵过点A(x1,y1)的切线方程为y1y=p(x+x1),把M(-,)代入
左边=y1·===px1-,
右边=p(-+x1)=-+px1,左边=右边,可见,过点A的切线经过点M,
即AM是抛物线的切线,同理BM也是抛物线的切线.
★⑸AM、BM分别是∠DAB和∠CBA的平分线
【证法一】延长AM交BC的延长线于E,如图9,
则△ADM≌△ECM,有AD∥BC,AB=BE,
∴∠DAM=∠AEB=∠BAM,
即AM平分∠DAB,同理BM平分∠CBA.
【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜角α是直线AM的倾斜角β的2倍即可,即α=2β.且M(-,)
∵tanα=kAB===.
tanβ=kAM=====.
∴tan2β======tanα
∴α=2β,即AM平分∠DAB,同理BM平分∠CBA.
★⑹AM、DF、y轴三线共点,BM、CF、y轴三线共点
【证法一】如图10,设AM与DF相交于点G1,
由以上证明知|AD|=|AF|,AM平分∠DAF,故AG1也是DF边上的中线,
∴G1是DF的中点.
设AD与y轴交于点D1,DF与y轴相交于点G2,
易知,|DD1|=|OF|,DD1∥OF,
故△DD1G2≌△FOG2
∴|DG2|=|FG2|,则G2也是DF的中点.
∴G1与G2重合(设为点G),则AM、DF、y轴三线共点,
同理BM、CF、y轴也三线共点.
【证法二】AM的直线方程为y-y1=(x-),
令x=0得AM与y轴交于点G1(0,),
又DF的直线方程为y=-(x-),令x=0得DF与y轴交于点G2(0,)
∴AM、DF与y轴的相交同一点G(0,),则AM、DF、y轴三线共点,
同理BM、CF、y轴也三线共点H.由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形.
★⑺A、O、C三点共线,B、O、D三点共线
【证法一】如图11,kOA===,
kOC==-=-=-=
∴kOA=kOC,则A、O、C三点共线,
同理D、O、B三点也共线.
【证法二】设AC与x轴交于点O',∵AD∥RF∥BC
∴==,=,
又|AD|=|AF|,|BC|=|BF|,∴=
∴|RO'|=|O'F|,则O'与O重合,即C、O、A三点共线,同理D、O、B三点也共线.
【证法三】设AC与x轴交于点O',RF∥BC,=,
∴|O'F|====【见⑵证】
∴O'与O重合,则即C、O、A三点共线,同理D、O、B三点也共线.
【证法四】∵=(-,y2),=(x1,y1),
∵-·y1-x1y2=-·y1-y2=--=-+=0
∴∥,且都以O为端点
∴A、O、C三点共线,同理B、O、D三点共线.
【推广】过定点P(m,0)的直线与抛物线y2=2px(p>0)相交于点A、B,过A、B两点分别作直线l:
x=-m的垂线,垂足分别为M、N,则A、O、N三点共线,B、O、M三点也共线,如下图:
【例5】(2001年高考)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
【证法一】因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(-,0),所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+;
代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0
设A(x1,y1),B(x2
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