中国人民解放军文职考试数学运算复习点2.docx
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中国人民解放军文职考试数学运算复习点2
数学运算2
第四节基础运算
一、简单计算
二、等差数列
【注意】基础运算在考试中考的比较多,但是它的难度是所有题型里难度最低的,所以一定要掌握它。
她包括两大类:
简单计算和等差数列。
【知识点】简单计算:
1.尾数法:
(1)什么时候用?
①做加、减、乘、乘方计算。
②选项的尾数不同。
除法不太好用,因为除法的尾数不唯一,所以在算除法的时候尽量别用尾数。
(2)怎么用?
只取最后一位进行计算,结果也只保留最后一位。
如:
24+59尾数为3,如果选项中的尾数都是3是没有用的,题目如果选项尾数不一样,就可以排除其他的。
(3)例:
568+97*29尾数为8+7*9,8+3尾数为1;942+11-199尾数为42+1-9,7-9尾数为8。
2.基础公式:
(1)交换律:
a*b*c=a*c*b,a+b+c=a+c+b。
如:
25*27*4,可以先乘25*4=100,结果为27*100=2700;83.7+62.5+16.3,可以先计算83.7+16.3=100,结果为100+62.5=162.5。
(2)分配律:
a*c+b*c=(a+b)*c。
如:
25*27+25*63=25*(27+63)=25*90=2250。
(3)平方差公式:
a2-b2=(a+b)*(a-b)。
如:
662-642=(66+64)*(66-64)=130*2=260。
(4)a2±2ab+b2=(a±b)2,完全平方公式考的可能性微乎其微,目前在军队文职、事业单位中没有考过。
如:
252+750+152,750=2*25*15,式子可以写成(25+15)2=1600。
3.定义新运算有两个原则:
新的运算符号题目怎么规定就怎么运算;原有的运算规则跟小学数学老师保持一致,有括号先算括号,再算乘除,最后算加减。
如:
x★y=x2-3y,问5★4=?
,5★4=52-3*4=25-12=13。
【例1】489756-263945.27=()。
A.220810.78
B.225810.73
C.225811.72D.225812.73
【解析】例1.用尾数法,选项有两个尾数是3,而且后两位都是73,我们可以算到后三位,6.00-5.27=0.73,最后三位为0.73,B项符合。
【选B】
【例2】2012*0.491+856.672+2012*0.146+143.328+2012*0.363=()。
A.2013.39B.2013
C.3012D.3012.39
【解析】例2.A、D项尾数都是39,B、C项尾数都是00,算到后三位不好算,它不光是加减,还有乘法。
仔细观察,有三个式子都是2012乘以某个数,把
2012提出来计算,2012*(0.491+0.146+0.363)=2012*1=2012,856.672+143.328=1000,没有小数,可以排除A、D项,2012+1000=301。
2【选C】
【例3】若n1,n2,n为正整数且满足n1+n2=n,则称(n1,n2)为n的一个拆分。
若两个拆分满足n1=n2',n2=n1',则称(n1,n2)与(n1',n2')为n的同一个拆分,例如(1,3)与(3,1)为4的同一个拆分。
若n1,n2均为偶数,则称(n1,n2)为n的偶拆分。
整数100的不同偶拆分个数是()个。
A.50
B.75
C.25D.100
【解析】例3.此题是2019年的真题。
方法一:
题目特别长,正整数不包括0,根据题意,(2,5)和(5,2)是同一个拆分,(3,9)和(9,3)是同一个拆分,偶拆分的是偶数,6的偶拆分可以拆成(2,4),不可以拆成(1,5),必须都是偶数才可以。
问整数100的不同偶拆分个数,从偶数入手,1~100共50个偶数,一个拆分里有两个数,这两个数换个位置不是不同的拆分,50个数肯
定不能组成50组,同理,75、100更不可能,只能选C项25。
方法二:
如果选项分别为27、26、25、24,可以枚举,0+100不可以,因为0不是正整数,2+98,4+96,6+94⋯⋯一直到48+52,50+50,2~10有5个,12~20有5个,22~30有5个,32~40有5个,42~48有4个,总共25个。
【选C】
例4】规定如下运算法则
,根据
该运算法则,5△(3▽8)的值为()
B.35
A.-18
D.
-90
=-90。
【选D】
【例5】在初等数学加、减、乘、除运算的基础上,假设一种新的运算符号
*”,规定x*y=(x+y)/4,若(3*a)-2=10*2,则a的值是()。
A.17B.22/3
C.93D.5/3
【解析】例5.此题是2018年的真题。
10*2=(10+2)/4=3,再算左边的3*a=
3+a)/4,(3+a)/4-2=3,(3+a)/4=5,3+a=20,所以a=17。
【选A】
【知识点】等差数列:
1.特征:
相邻两项的差相等。
如:
1、3、5、7、9,后一项都比前一项大2,差相等为等差数列,一般用a1表示第一项,以此类推,a几就表示第几项。
2.通项公式:
an=a1+(n-1)*d。
如:
a3=a1+(3-1)*d=1+(3-1)*2=5。
n-1的意思是an和a1之间差了n-1个公差。
an=am+(n-m)*d,如果有一个等差数列,公差d=4,给出a20=80,问a29=?
a29=a20+(29-20)*4=80+9*4。
3.求和公式:
Sn=[(a1+an)/2]*n=中位数*项数=平均数*项数。
如:
上边的数列1、3、5、7、9,平均数为(1+3+5+7+9)/5=5,(a1+an)/2=(1+9)/2=5,中位数就是位于中间的数,中间的数是5。
如果题目没有给a1,优先考虑中位数
*项数,如果题目给了a1,优先考虑[(a1+an)/2]*n。
4.如果是数列偶数个,如:
1、3、5、7、9、11,那么中位数是中间两个数的平均数,(5+7)/2=6。
例6】“有女不善织”这一名题见于我国古代的《张丘建算经》,题目的意思
是:
有位妇女不善于织布,她每天织的布都比上一天减少一些,并且减少的数量都
相等。
已知第一天织了5尺布,最后一天织了1尺布,一共织了30天。
按
1匹=4丈、1丈=10尺计算,请问她一共织了多少布?
A.2匹1丈B.2匹2丈
C.4匹1丈D.4匹2丈
【解析】例6.已知“每天织的布都比上一天减少一些,并且减少的数量都相等”,则相邻两数的差相等,为等差数列。
问一共是求和,Sn=[(a1+an)/2]*n=中位数*项数,此题用[(a1+an)/2]*n,因为它给出了a1,S30=[(5+1)/2]*30=90尺,1丈=10尺,90尺=9丈,1匹=4丈,可以把9丈分为:
4=1匹、4=4匹、还剩1丈,为2匹1丈。
【选A】
【例7】前100个既能被2整除又能被3整除的正整数之和为()。
A.30296B.30300
C.30312D.30306
【解析】例7.既能被2整除又能被3整除,则为6的倍数,求前100个6的倍数之和,正整数中6的倍数依次为6、12、18、24、⋯⋯,以此类推,第100个6的倍数是600,相邻两个数字之间都相差6,构成了一个等差数列,等差数列求和,S100=[(6+600)/2]*100,任何一个整数乘100,最后两位肯定是00。
也可以计算[(6+600)/2]*100=30300。
【选B】
注意】基础运算:
1.简单计算:
1)尾数法:
①加、减、乘、乘方。
②选项尾数不同。
2)基础公式:
①交换律:
a*b*c=a*c*b;a+b+c=a+c+。
b②分配率:
a*c+b*c=
(a+b)*c。
③平方差:
a2+b2=(a+b)*(a-b)。
(3)定义新运算:
①新的运算符号按规定计算。
②原有规则:
先括号、再乘除、最后加减。
2.等差数列:
(1)特征:
相邻两项差相等。
(2)公式:
①通项an=a1+(n-1)*d。
②求和Sn=(a1+an)/2*n=中位数*项数
第五节典型几何问题
注意】
1.几何问题是非常重要的一个题型,2016年、2018年、2019年都有考到。
几何问题针对文职考试考的难度不大,套公式算就可以,没有考那些花里胡哨的东西,把原来掌握的公式想起来,用一下就可以。
2.能套公式解的题型分为两类:
规则图形:
直接用公式,如:
求三角形的面积、圆的周长、菱形的面积等,难度不大;不规则图形:
转化为规则图形,再用
公式。
【知识点】长度相关公式:
1.正方形周长:
C正方形=4a。
2.长方形周长:
C长方形=2(a+b)
3.圆形周长:
C圆=2πr,r是半径
知识点】面积相关公式:
1.S正方形=a2。
2.S菱形=对角线乘积/2
3.S长方形=ab。
4.S平行四边形=ah。
5.S三角形=1/2*ah。
6.S梯形=1/2*(a+b)*h。
7.S圆=πr2。
8.S扇形=n°/360°*πr2。
知识点】表面积相关公式:
1.S正方体=6a2。
2.S长方形=2ab+2bc+2ac。
3.S球=4πr2。
这些年基本没考,可以不用记。
4.S圆柱=2πr2+2πh。
把它割开就展成了一个长方形。
圆柱这几年也不怎么考,
记住就可以
【知识点】体积相关公式:
1.V正方体=a3。
2.V长方体=abc。
3.V柱体=Sh,任何柱体都适用
4.V锥体=Sh*1/3。
5.
V球=4/3πr3。
1.周长:
正方形:
4a;长方形:
2(a+b);圆形:
2πr;弧长:
n/360*2πr。
2.面积:
正方形:
a2;菱形:
对角线乘积/2;长方形:
ab;平行四边形:
ah;三角形:
1/2ah;梯形:
1/2(a+b)h;圆形:
πr2;扇形:
n°/360°πr2。
3.表面积:
正方体:
6a2;长方体:
2ab+2bc+2ac;球:
4πr2;圆柱:
2πr2+2πrh。
4.体积:
正方体:
a3;长方体:
abc;柱体:
Sh;椎体:
1/3Sh;球:
4/3πr3。
【知识点】直角三角形:
勾股定理:
a2+b2=c2。
1.常考勾股数:
3n、4n、5n;5n、12n、13n。
如果直角边分别为12、9,则
斜边为15;如果直角边分别为5、12,则斜边为13;如果直角边分别为10、24,
则斜边为26
2.特殊直角三角形:
(1)30°:
短直角边是斜边的一半;长直角边是短直角边的√3倍。
三边
关系为1、√3、2。
如:
有一个直角三角形,一个角是30°,斜边是10,问一条斜边是多少,30°角所对的边是斜边的一半,为5,则所求直角边为5√3。
2)45°:
斜边是直角边的√2倍,三边关系为1、1、√2。
3)有一个直角三角形,其中一个角是30°,选项分别为A.√3、B.2√3、
C.√2、D.2√2,可以排除C、D项,因为它们的三边关系应为1、√3、2,只有在
45°角中才会出现√2。
【例1】如图所示,一半径为10厘米的大圆内有四个圆心在大圆同一直径上
的彼此相切的小圆,则此四个小圆的周长之和是()厘米。
A.100π
C.20π
D.25π
【解析】例1.此题是2013年的真题,圆的周长为2πr,假设这四个圆的半径分别为r1、r2、r3、r4,它们的周长和为2πr1+2πr2+2πr3+2πr4=2π(r1+r2+r3+r4),四个小圆的直径之和等于大圆的直径,大圆的直径是20,则半径为10,r1+r2+r3+r4=10,原式=2π*10=20π。
【选C】
【例2】如下图,ABC是D一个梯形,E是AD的中点,直线CE把梯形分成甲、乙两部
分,其面积之比为5:
2,那么上底AB与下底CD的长度之比是()。
A.2:
5B.3:
5
C.3:
4D.4:
7
【解析】例2.此题是2018年的真题。
方法一:
直接猜,图是标准的,AB:
CD肯定不到2倍多,也不是接近2倍的关系,可以排除A、D项。
方法二:
量一下,如果上边的边是0.6cm,下边的边是0.8cm,0.6/0.8=3/4。
方法三:
没有带尺子的话,可以算一下。
题目没有给出长度,只给出面积之
比为5:
2,连接AC,拆成两个三角形,E是AB的中点,所以AE=DE,△CDE和
△ACE的底相等,高是同一个顶点C向底边AD作垂线,所以△CDE和△ACE是等底等高
份,△ACD=1/2*CD*h,△ABC=1/2*AB*h,S△ABC/S△ACD=3份/4份=
1/2*AB*h)/(1/2*CD*h),则AB/CD=3/4。
【选C】
【例3】在如图的圆形广场上举办一个市民文艺活动,参加活动的n名市民排成如图中ABCD的菱形方阵(图中数字单位为米)。
已知方阵面积为m平方米,且n=2m,则n的值为()。
A.96B.120
C.192D.240
【解析】例3.方法一:
题目中n出现了两次,一次是n=2m,一次是n名市民,不可能是求人数,给出的都是多少米,所以肯定是通过n=2m去求n的,m是菱形的面积,菱形的面积公式是对角线乘积的一半,m=(AC*BD)/2,n=2m=2*(AC*BD)/2=AC*BD,BD=12米,再把AC算出来就可以,求长度优先构造三角形,构造如下图所示的三角形,根据勾股数,AC=1,616*12=192。
方法二:
猜,n=2m=2*(AC*BD)/2=AC*BD,BD=12米,观察发现AC肯定比12大,但没有圆的直径大,所以12 方法三: n=2m,可能会有同学把菱形面积算出来了,结果忘了求的是n,不 是m,忘记乘以2,A、C项是2倍关系,B、D项是2倍关系,可以排除的A、B项,在C、D项里边猜一个。 【选C】 【例4】甲、乙两个容器均有60厘米深,底面积之比为3∶2,甲容器水深12厘米,乙容器水深8厘米,再往两个容器各注入同样多的水,直到水深相等,这时两容器的水深是多少厘米? () A.20B.25 C.30D.35 【解析】例4.“60厘米深”即容器的高为60厘米,但不代表装满水。 题目涉及到容器、底面积、高,为立体图形问题,体积=底面积*高。 问“这时两容器的水深是多少厘米”,设为h厘米。 再考虑二者水的体积关系,根据“再往两个容器各注入同样多的水”,即甲容器增加的水和乙容器增加的水是相等的,分别表示出即可。 增加体积=3s*h-3s*12=2s*h-2s*8,整理: 3h-36=2h-16,解得h=20,对应A项。 【选A】 【注意】 1.本题突破口: 公式需要掌握、分析出加入的水一样多。 2.题目说明“往两个容器各注入同样多的水,直到水深相等”,已知二者底面积为3: 2,“甲容器水深12厘米,乙容器水深8厘米”,甲容器粗,增加的水高度少;乙容器细,增加的水高度多。 3.如果椎体也是一样的,体积=1/3*S*h,列式之后等式左右都有1/3,没有影响。 但不可能甲乙一个是椎体、一个是柱体,题目就没有办法继续做了 4.设未知数,优先求谁设谁。 【例5】张先生习惯每天晚饭后出门散步,以下是他某天用手机App记录的散步路径,其中P点为起始点和终点,假设张先生每分钟走60米,若中间不停留,他走一圈需要()。 【解析】例5.本题是2018年考到的真题。 问走完一圈需要的时间,是行程和几何的结合问题。 行程问题: t=路程/速度,已知速度为60米/分钟,故只需要求出路程即可。 本题中大部分线的长度是未知的,考虑把图形转化为规则图形,再套入周长公式。 如图所示,蓝色部分的2条线是走过的,但是具体长度未知, 把两条线往外平移,显然3条竖着的短线的总长刚好是420米。 同理,尝试把所有短线都平移到外面组成一条长线,得到红色部分的总长为170+90+310米。 同理处理右侧和上侧,构造出一个长方形。 直接计算没有公式,转化为基础图形,即有公式的图形,列式: [(170+90+310)+420]*2/60=(990*2)/60=33,对应B项。 【选B】 注意】本题考试给出了图,如果一段一段加和再求解一定无法计算,考虑 转化为规则图形 【例6】如下图所示,每个小正方形的面积是1平方厘米,则图中阴影部分的面积是多少平方厘米? () C.4.5D.5 【解析】例6.方法一: 正方形面积为1,说明边长也是1,阴影部分看起来不是规则图形,没有对应公式,用割补平移的方法转化为几个图形做和或做差,即割补平移出规则图形。 每个白色区域都是上三角形,可以考虑S大正方形-S白色区域=32-(1/2*1*2+1/2*2*2+1/2*1*2+1/2*1*3)=9-(1+2+1+1.5)=3.5,对应A项。 方 法二: 把阴影部分拆成规则图形,发现左侧是平行四边形、中间部分是梯形、右侧是大三角形,加和即可,S平行四边形=底*高=1*1、S梯形=(上底+下底)/2*高=(1+2)/2*1=1.5、S△=1/2*底*高=1/2*2*1=1,加和: 1+1.5+1=3.5,对应A项。 方法三: 已知S大正方形=9,可以考虑再阴影部分的面积和大正方形面积的一半的关系,显然阴影部分的面积小于4.5,排除C、D项,再在A、B项中猜一个。 【选A】 【注意】拼小正方形也可以,但是有些碎,需要拼很多部分,很麻烦,不如以上老师讲过的方法快。 【注意】几何问题没有思维导图,是因为比较简单,主要是把公式记住就好了。 第六节排列组合与概率 【注意】排列组合与概率: 是传统的重点题型,不排除个别的难题,大部分题目是可以做的。 不用害怕,能读懂的题目就做,如果考场上不读懂题目,也可以放弃1~2个。 重点是掌握中等难度的题目。 1.排列组合。 2.概率问题。 一、排列组合加法原理: 分类用加法(一步完成)乘法原理: 分步用乘法(一步完不成)排列: 与顺序有关(改变顺序,结果变化)组合: 与顺序无关(改变顺序,结果不变)【知识点】 1.基础概念: (1)加法原理: 分类用加法(一步完成)。 如分2类,加和为答案。 (2)乘法原理: 分步用乘法(一步完不成)。 如分2步,乘法得到答案。 (3)以上标准想明白就用,想不明白可以看是否能分一步完成。 例: ①某天,家里没有菜了,又没钱,只能买一种菜,超市里面有白菜、土豆、西红柿,则共有3(1+1+1)种选择。 用加法因为一步可以完成,如选出了白菜,这事儿就完成了。 ②爸爸妈妈又给了一些钱,还可以再买一种肉。 超市里面有白菜、土豆、西红柿,肉类有牛肉、猪肉,买菜有3种、肉有2种,共有6(3*2)种选择。 从菜类中选出一种大白菜,买菜这件事儿没有完成,故分多个步骤,用乘法。 (4)补例: 某中学有语文教师8名、数学教师7名、英语教师5名和体育教师2名。 ①问题1: 现要从以上四科教师中共选出1名教师去参加培训,问有多少种不同的选法? 答: 都知道8、7、5、2不是加法就是乘法,选出语文老师1人,这个事儿完成了,即一步完成用加法,8+7+5+2=2。 2 ②问题2: 现要从以上四科教师中各选出1名教师去参加培训,问有多少种不同的选法? 答: 从8个语文老师中选出1人,这时这件事儿没有完成,即一步完不成用乘法,8*7*5*2=560。 2.排列组合: (1)排列: 与顺序有关(改变顺序,结果变化)。 (2)组合: 与顺序无关(改变顺序,结果不变)。 (3)高中老师讲过有顺序用A、没有顺序用C。 对于一种事情的结果,只改变顺序,人、物都不改变,发现结果变了,这时结果和顺序有关,是因为顺序变了导致结果变了,有顺序用排列。 反之,如果改变顺序,结果没有变化,没有顺序,用组合。 (4)例: ①抽购物卡,某部门有7人,一次性抽出3个人的名字,规定抽出的第1个人发5千、第2个人发3千、第3个人发2千。 如果第一种抽出的顺序为甲、乙、丙,第二种顺序为乙、丙、甲,这时结果改变,这时顺序导致结果改变,用A,列式: A(7,3)。 ②如果从7个人抽出3个人发购物卡,每个人都发5千。 第一种顺序为甲乙丙、第二种顺序为乙丙甲,这时结果没有改变,说明没有顺序,用C(7,3)。 ③如果自己可以区分出是否有顺序,可以直接用。 如果自己区分不出来,可以人为假设改变顺序,看结果是否有影响。 用熟悉之后,就可以不用每次都假设。 3.计算: (1)A(7,3): 从7开始连续3个整数相乘,从大数开始乘,即7*6*3。 如A(9,4)=9*8*7*6;A(3,3)=3*2*1。 则A(n,n)=n*(n-1)*⋯⋯*1。 (2)C(7,3): 有分子、分母两部分,分子部分为从7开始连续3个整数相乘,即A(7,3),分子部分是从小的数开始乘,为3*2*1,故C(7,3)=(7*6*5)/(3*2*1);C(9,4)=(9*8*7*6)/(4*3*2*1);C(7,4)=(7*6*5*4)/(4*3*2*1)=(7*6*5)/(3*2*1)=C(7,3),即C(n,m)=C(n,n-m)。 如: C(11,9)=C(11,2)=(11*10)/(2*1)=55。 4.逆向公式: 满足题意=总数-不满足题意。 分类太多的时候应用,如一个题目需要分4、5、8类的时候,考虑是否逆向公式更简单一些。 如果只分1、2类,可以直接计算。 5.常见: A(2,2)=2、A(3,3)=6、A(4,4)=24、C(4,2)=6、C(5,3)=C(5,2)=10。 【例1】世界杯有32支足球队参加比赛。 32支球队被分成8个小组,每个小组4支球队。 先进行小组赛,在小组赛阶段,各小组的4支球队进行单循环比赛,小组赛阶段比赛的场次是()场。 B. A.24 36 【解析】例1.去年刚考完的真题。 已知“先进行小组赛,在小组赛阶段,各小组的4支球队进行单循环比赛”,问比赛的场次数。 “单循环”比赛需要当成常识了解,每两队只比1场,如选出美国和巴西比赛,这时先选美国、再选巴西,和先选巴西、再选美国,无论先选谁,结果都是一样的,说明改变顺序结果一样。 4个选2个,用C(4,2),共有8组,故列式: C(4,2)*8=6*8=48,对应C项。 【选C】 【注意】每个小组的情况都是一样的,无论是多少,结果对应是8的倍数,显然排除B、D项,剩下A、C项猜一个。 【例2】老张去探望老李,老张在商店准备挑选三种水果中的一种水果、四种糕点中的两种糕点和四种奶品中的一种奶品作为礼品带给老李。 若不考虑挑选的次序,则他可以有()种不同的选择方法。 A.4B.24 C.72D.144 【解析】例2.本题是2013年真题。 要求“不考虑挑选的次序”,即没顺序用组合。 根据“挑选三种水果中
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