一元三次四次方程.docx

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一元三次四次方程

一元三次方程的一般形式是

x3+sx2+tx+u=0

如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消

去。

所以我们只要考虑形如

x3=px+q

的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。

代入方程，我们就有

a3-3a2b+3ab2-b3=p（a-b）+q

整理得到

a3-b3=（a-b）（p+3ab）+q

由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，

3ab+p=0。

这样上式就成为

a3-b3=q

两边各乘以27a3，就得到

27a6-27a3b3=27qa3

由p=-3ab可知

27a6+p=27qa3

这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。

进而可解出b和根x

一元四次方程

对于一般一元四次方程：

          ax4+bx3+cx2+dx+e=0

设方程的四根分别为：

           x1=（-b+A+B+K）/（4a）

           x2=（-b-A+B-K）/（4a）

           x3=（-b+A-B-K）/（4a）

           x4=（-b-A-B+K）/（4a）

（A,B,K三个字母足以表示任意三个复数，根据韦达定理：

方程四根之和为-b/a,所以当x1，x2，x3的代数式为原方程的三根时，那么x4形式的代数式必是方程的第四个根。

）

将这四个代数式代入到韦达定理中可整理得：

x1+x2+x3+x4=-b/a

x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=（1/8a2）（3b2-A2-B2-K2）=c/a

x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=（1/16a3）（-b3+bA2+bB2+Bk2+2ABK）=-d/a

x1x2x3x4=（1/256a4）（b4+A4+B4+K4-2b2A2-2b2B2-2b2K2-2A2B2-2A2K2-2B2K2-8bABK）=e/a

整理后为：

A2+B2+K2=3b2-8ac——记为p

A2B2+A2K2+B2K2=3b4+16a2c2-16ab2c+16a2bd-64a3e——记为q

A2B2K2=（b3-4abc+8a2d）2——记为r

由此可知：

A2，B2，K2是关于一元三次方程

            y3-py2+qy-r=0的三根

从而可解得±y11/2,±y21/2,±y31/2是A，B，K的解。

若y11/2,y21/2,y31/2是A，B，K的一组解（A，B，K具有轮换性，所以在代入时无须按照顺序）

     那么另外三组为

          （y11/2,-y21/2,-y31/2

               （-y11/2,y21/2,-y31/2

（-y11/2,-y21/2,y31/2

从而将以上任意一组解代入到所设代数式中，均可解得原四次方程的四根。

由这种方法来解一元四次方程，只需求界一个一元三次方程即可，而费拉里的公式则需先解一个三次方程，再转化成两个复杂的一元二次方程，并且若要以其系数来表示它的求根公式的话，其形式也是相当复杂的。

我的求解方法尽管在推导公式的过程中有一定的计算量，但如果要运用于实际求根，尽用结论在计算上绝对要比费拉里公式简便。

那么我下面再介绍一下有关一元三次方程的改进公式：

对于一般三次方程：

            ax3+bx2+cx+d=0

设方程的三根分别为：

           x1=（-b+A+B）/（3a）

           x2=（-b+wA+w2B）/（3a）

           x3=（-b+w2A+wB）/（3a）

                    （w为x3=1的单位根,即w=-1/2+31/2/2i）

则

          A3+B3=-2b3+9abc-27a2d——记为p

           A3B3=（b2-3ac）3——记为q

则A3，B3是关于一元二次方程：

     y2-py+q=0的两根

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

我归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^（1/3）+B^（1/3）型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。

方法如下：

（1）将x=A^（1/3）+B^（1/3）两边同时立方可以得到

（2）x^3=（A+B）+3（AB）^（1/3）（A^（1/3）+B^（1/3））

（3）由于x=A^（1/3）+B^（1/3），所以

（2）可化为

x^3=（A+B）+3（AB）^（1/3）x，移项可得

（4）x^3－3（AB）^（1/3）x－（A+B）＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知

（5）－3（AB）^（1/3）＝p,－（A+B）=q，化简得

（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3

（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而（6）则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即

（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a

（9）对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a

（10）由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为

y1＝－（b＋（b^2－4ac）^（1/2））/（2a）

y2＝－（b－（b^2－4ac）^（1/2））/（2a）

可化为

（11）y1＝－（b/2a）-（（b/2a）^2-（c/a））^（1/2）

y2＝－（b/2a）+（（b/2a）^2-（c/a））^（1/2）

将（9）中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得

（12）A＝－（q/2）-（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2）

B＝－（q/2）+（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2）

（13）将A，B代入x=A^（1/3）+B^（1/3）得

（14）x=（－（q/2）-（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2））^（1/3）+（－（q/2）+（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2））^（1/3）

解:

p3-2p2+32-15p=0

3p-4p+32-15p=0

32=15p-3p+4p

32=16p

p=2

p=2是一个根

然后求导数

p=3或（-5/3）

然后用用图像··

我也不会了···

哎····

丢人···

一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”

一元三次方程的一般形式是

x3+sx2+tx+u=0

如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消

去。

所以我们只要考虑形如

x3=px+q

的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。

代入方程，我们就有

a3-3a2b+3ab2-b3=p（a-b）+q

整理得到

a3-b3=（a-b）（p+3ab）+q

由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，

3ab+p=0。

这样上式就成为

a3-b3=q

两边各乘以27a3，就得到

27a6-27a3b3=27qa3

由p=-3ab可知

27a6+p=27qa3

这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。

进而可解出b和根x.

除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。

很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。

参见同济四版的高等数学。

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

我归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^（1/3）+B^（1/3）型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。

方法如下：

（1）将x=A^（1/3）+B^（1/3）两边同时立方可以得到

（2）x^3=（A+B）+3（AB）^（1/3）（A^（1/3）+B^（1/3））

（3）由于x=A^（1/3）+B^（1/3），所以

（2）可化为

x^3=（A+B）+3（AB）^（1/3）x，移项可得

（4）x^3－3（AB）^（1/3）x－（A+B）＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知

（5）－3（AB）^（1/3）＝p,－（A+B）=q，化简得

（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3

（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而（6）则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即

（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a

（9）对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a

（10）由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为

y1＝－（b＋（b^2－4ac）^（1/2））/（2a）

y2＝－（b－（b^2－4ac）^（1/2））/（2a）

可化为

（11）y1＝－（b/2a）-（（b/2a）^2-（c/a））^（1/2）

y2＝－（b/2a）+（（b/2a）^2-（c/a））^（1/2）

将（9）中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得

（12）A＝－（q/2）-（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2）

B＝－（q/2）+（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2）

（13）将A，B代入x=A^（1/3）+B^（1/3）得

（14）x=（－（q/2）-（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2））^（1/3）+（－（q/2）+（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2））^（1/3）

后记：

一、（14）只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

由于计算太复杂及这个问题历史上已经解决，我不愿花过多的力气在上面，我做这项工作只是想考验自己的智力，所以只要关键的问题解决了另两个根我就没有花力气去求解。

二、我也曾用类似的方法去求解过一元四次方程的解，具体就是假设一元四次方程的根的形式为x=A^（1/4）+B^（1/4）+C^（1/4）,有一次我好象解出过，不过后来多次求解好象说明这种方法求解一元四次方程解不出。

不过我认为如果能进一步归纳出A、B、C的形式，应该能求出一元四次方程的求根公式的。

由于计算实在太复杂及这个问题古人已经解决了，我后来一直没能完成这项工作。

三、通过求解一元三次方程的求根公式，我获得了一个经验，用演绎法（就是直接推理）求解不出来的问题，换一个思维，用归纳法（及通过对简单和特殊的同类问题的解法的归纳类比）常常能取得很好的效果。

事实上人类常常是这样解决问题的，大科学家正是这样才成为大科学家的。

x^3=ax^2+bx+c

设x=y+a/3

就能把二次项消掉

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^（1/3）+B^（1/3）型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。

方法如下：

（1）将x=A^（1/3）+B^（1/3）两边同时立方可以得到

（2）x^3=（A+B）+3（AB）^（1/3）（A^（1/3）+B^（1/3））

（3）由于x=A^（1/3）+B^（1/3），所以

（2）可化为x^3=（A+B）+3（AB）^（1/3）x，移项可得

（4）x^3－3（AB）^（1/3）x－（A+B）＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知

（5）－3（AB）^（1/3）＝p,－（A+B）=q，化简得

（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3

（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而（6）则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即

（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a

（9）对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a

（10）由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为

y1＝（－b＋（b^2－4ac）^（1/2））/（2a）

y2＝（－b－（b^2－4ac）^（1/2））/（2a）

可化为

（11）y1＝－（b/2a）-（（b/2a）^2-（c/a））^（1/2）

y2＝－（b/2a）+（（b/2a）^2-（c/a））^（1/2）

将（9）中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得

（12）A＝－（q/2）-（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2）

B＝－（q/2）+（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2）

（13）将A，B代入x=A^（1/3）+B^（1/3）得

（14）x=（－（q/2）-（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2））^（1/3）+（－（q/2）+（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2））^（1/3）

式（14）只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了

一元三次方程求根公式的解法

注：

此文是网友来信相问所做,发在网上供需要者使用。

另，电脑上表示数学公式不方便，特请注意。

   一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

   一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

我归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^（1/3）+B^（1/3）型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。

方法如下：

（1）将x=A^（1/3）+B^（1/3）两边同时立方可以得到

（2）x^3=（A+B）+3（AB）^（1/3）（A^（1/3）+B^（1/3））

（3）由于x=A^（1/3）+B^（1/3），所以

（2）可化为

x^3=（A+B）+3（AB）^（1/3）x，移项可得

（4）x^3－3（AB）^（1/3）x－（A+B）＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知

（5）－3（AB）^（1/3）＝p,－（A+B）=q，化简得

（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3

（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而（6）则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即

（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a

（9）对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a

（10）由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为

y1＝－（b＋（b^2－4ac）^（1/2））/（2a）

y2＝－（b－（b^2－4ac）^（1/2））/（2a）

可化为

（11）y1＝－（b/2a）-（（b/2a）^2-（c/a））^（1/2）

y2＝－（b/2a）+（（b/2a）^2-（c/a））^（1/2）

将（9）中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得

（12）A＝－（q/2）-（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2）

B＝－（q/2）+（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2）

（13）将A，B代入x=A^（1/3）+B^（1/3）得

（14）x=（－（q/2）-（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2））^（1/3）+（－（q/2）+（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2））^（1/3）

后记：

   一、（14）只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

由于计算太复杂及这个问题历史上已经解决，我不愿花过多的力气在上面，我做这项工作只是想考验自己的智力，所以只要关键的问题解决了另两个根我就没有花力气去求解。

   二、我也曾用类似的方法去求解过一元四次方程的解，具体就是假设一元四次方程的根的形式为x=A^（1/4）+B^（1/4）+C^（1/4）,有一次我好象解出过，不过后来多次求解好象说明这种方法求解一元四次方程解不出。

不过我认为如果能进一步归纳出A、B、C的形式，应该能求出一元四次方程的求根公式的。

由于计算实在太复杂及这个问题古人已经解决了，我后来一直没能完成这项工作。

   三、通过求解一元三次方程的求根公式，我获得了一个经验，用演绎法（就是直接推理）求解不出来的问题，换一个思维，用归纳法（及通过对简单和特殊的同类问题的解法的归纳类比）常常能取得很好的效果。

事实上人类常常是这样解决问题的，大科学家正是这样才成为大科学家的。

呵呵，一元二次方程上次刚考完，所以这个问题我比较了解啊。

另外我的成绩在班上是很拔尖的哦。

一般来说，一元二次方程的解法有：

（注：

以下^是平方的意思。

）

一、直接开平方法。

如：

x^2-4=0

解：

x^2=4

x=±2（因为x是4的平方根）

∴x1=2,x2=-2

二、配方法。

如：

x^2-4x+3=0

解：

x^2-4x=-3

配方，得（配一次项系数一半的平方）

x^2-2*2*x+2^2=-3+2^2（方程两边同时加上2^2，原式的值不变）

（x-2）^2=1【方程左边完全平方公式得到（x-2）^2】

x-2=±1

x=±1+2

∴x1=1,x2=3

三、公式法。

（公式法的公式是由配方法推导来的）

-b±∫b^2-4ac（-b加减后面是根号下b^2-4ac）

公式为：

x=-------------------------------------------（用中

2a

文吧，希望你能理解：

2a分之-b±根号下b^2-4ac）

利用公式法首先要明确什么是a、b、c。

其实它们就是最标准的二元一次方程的形式：

ax^2+bx+c=0

△=b2-4ac称为该方程的根的判别式。

当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；

当b2-4ac=时，方程有两个相等的实数根；

当b2-4ac<0时，方程没有实数根。

有些时候，做到b2-4ac<0时，需要讨论△，因为根号下的数字是非负数，<0也就没有实数根，也就没有做的意义了。

a代表二次项的系数，b代表着一次项系数，c是常数项

注意：

用公式法解一元二次方程时首先要化成一般形式，也就是ax^2+bx+c=0的形式，然后才能做。

解题时按照上面的公式，把数字带入计算就OK了。

这对任何一元二次方程都可以操作。

四、十字相乘法。

（这种方法在初中教材上没有，但是老师还是带着说了一点。

相信在高中已经学过了，我就简单的说一下。

）

十字相乘简单的说就是交叉相乘，把常数项分解成积等于常数项，和为一次项的系数。

如：

x^2+3x+2=0

x+1

x+2（十字相乘时可以写成这种形式，因为，1*2等于2，且1+2等于3，符合原方程。

）写的时候，就横着写，也就是：

（x+1）（x+2）=0

则x+1=0或者x+2=0

∴x1=-1,x2=-2

哇，累死我了。

一元二次方程，在初中上面的解法应该比较全了。

（我指的是教材上有的,当然十字相乘法是我个人自己补充的，可以不看。

）

希望你能理解，另外祝你成功。

急!

!

请教达人数学一元三次方程的解法:

2a3-3a2+1=0

悬赏分：

20-解决时间：

2007-8-1610:

12

提问者：

okweifeng-试用期一级

最佳答案

终归都是因式分解。

2a^3-3a^2+1=0

（2a^3-2）-（3a^2-3）=0

2（a-1）（a^2+1+a）-3（a-1）（a+1）=0

（a-1）（2a^2+2+2a-3a-3）=0

（a-1）（2a^2-a-1）=0

（a-1）^2*（2a+1）=0

a=1,a=-1/2

回答者：

biye0617-举人五级  

7-2710:

10

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大家来解道数学题啊关于数列的

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方程解法数学一元

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a=1即可

回答者：

善良的漂亮男孩-高级经理七级  

7-2710:

09

2a^3-3a^2+1=0

2a^3-2a^2-a^2+1=0

2a^2（a-1）-（a+1）（a-1）=0

（a-1）（2a^2-a-1）=0

（a-1）（a-1）（2a+1）=0

∴a=1或a=-1/2

经检验,都是原方程的解.

回答者：

jians1968-经理四级 7-2710:

14

一元三次方程的解法:

2a3-3a2+1=0

2a^3-3a^2+