第3章 第2节 21 一元二次不等式的解法.docx
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第3章第2节21一元二次不等式的解法
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
学习目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图像法解一元二次不等式.3.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.
知识点一 一元二次不等式的概念
思考 我们知道,方程x2=1的一个解是x=1,解集是{1,-1},解集中的每一个元素均可使等式成立.那么什么是不等式x2>1的解?
你能举出一个解吗?
你能写出不等式x2>1的解集吗?
答案 能使不等式x2>1成立的x的值,都是不等式的解,如x=2.不等式x2>1的解集为{x|x<-1或x>1},该集合中每一个元素都是不等式的解,而不等式的每一个解均属于该不等式的解集.
梳理
(1)形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫作一元二次不等式.
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解.
(3)一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作一元二次不等式的解集.
知识点二 “三个二次”的关系
一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系如下表.
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=ax2+bx+c
(a>0)的图像
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异实根
x1,x2(x1 有两相等实根 x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1 ∅ ∅ 知识点三 一元二次不等式的解法 思考 根据上表,尝试解不等式x2+2>3x. 答案 先化为x2-3x+2>0. ∵方程x2-3x+2=0的根x1=1,x2=2, ∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}. 梳理 解一元二次不等式的步骤 (1)化为基本形式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(其中a>0); (2)计算Δ=b2-4ac,以确定一元二次方程ax2+bx+c=0是否有解; (3)有根求根; (4)根据图像写出不等式的解集. 1.mx2+5x<0是一元二次不等式.(×) 2.解不等式ax2+bx+c>0,即求横坐标x取哪些值时,函数y=ax2+bx+c的图像在x轴上方.(√) 3.解不等式的结果要写成集合形式的原因是集合的元素具有确定性,可以严谨地界定哪些元素是解,哪些不是.(√) 类型一 一元二次不等式的解法 命题角度1 二次项系数大于0 例1 求不等式4x2-4x+1>0的解集. 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 解 因为Δ=(-4)2-4×4×1=0, 所以方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2= , 所以原不等式的解集为 . 反思与感悟 当所给不等式是非一般形式的不等式时,应先化为一般形式,在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中,要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像. 跟踪训练1 求不等式2x2-3x-2≥0的解集. 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 解 ∵2x2-3x-2=0的两解为x1=- ,x2=2,且a=2>0, ∴不等式2x2-3x-2≥0的解集是 . 命题角度2 二次项系数小于0 例2 解不等式-x2+2x-3>0. 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 解 不等式可化为x2-2x+3<0. 因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0,方程x2-2x+3=0无实数解, 而y=x2-2x+3的图像开口向上, 所以原不等式的解集是∅. 反思与感悟 将二次项系数小于0的不等式进行转化过程中要注意不等号的变化,化归为二次项系数大于0的不等式,是为了减少记忆负担. 跟踪训练2 求不等式-3x2+6x>2的解集. 考点 一元二次不等式的解法 题点 一元二次不等式的解法 解 不等式可化为3x2-6x+2<0, ∵Δ=(-6)2-4×3×2=12>0,∴x1=1- ,x2=1+ , ∴不等式-3x2+6x>2的解集是 . 命题角度3 含参数的一元二次不等式 例3 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. 考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式解法 解 当a<0时,不等式可化为 (x-1)>0, ∵a<0,∴ <1,∴不等式的解集为 . 当a=0时,不等式可化为-x+1<0,解集为{x|x>1}. 当a>0时,不等式可化为 (x-1)<0. 当0 >1,不等式的解集为 . 当a=1时,不等式的解集为∅. 当a>1时, <1,不等式的解集为 . 综上,当a<0时,解集为 ; 当a=0时,解集为{x|x>1}; 当0 ; 当a=1时,解集为∅; 当a>1时,解集为 . 反思与感悟 解含参数的不等式,可以按常规思路进行: 先考虑开口方向,再考虑判别式的正负,最后考虑两根的大小关系,当遇到不确定因素时再讨论. 跟踪训练3 解关于x的不等式(x-a)(x-a2)<0. 考点 一元二次不等式的解法 题点 含参数的一元二次不等式解法 解 当a<0或a>1时,有a 当0 当a=0或a=1时,原不等式无解.
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- 第3章 第2节 21 一元二次不等式的解法 一元 二次 不等式 解法
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