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43二次曲面
§4.3
二次曲面
本节重点:
掌握五种标准二次曲面的方程、变量范围、对称性、平截线等性质。
前两节主要研究对于具有较突出几何特征的曲面如何建立它们的方程.本节将研究具有
标准方程的二次曲面,如何通过对方程的一些定性讨论和平行截割法,考察曲面的形状。
所谓平行截割法,就是用平行于坐标面的一族平面去截割曲面,通过它们的交线(叫截
线或截口)的形状和变动规律,想象、了解和直观表示整个曲面的大致形状。
在空间直角坐标系下,三元二次方程表示的图形叫做二次曲面,已介绍过的二次柱面,二次锥面都是二次曲面的特例。
本节再讨论如下五种二次曲面。
(一)椭球面
4.3.1定义由方程
X2
Y
2
Z
2
1
(4.3.1)
a2
b
2
c
2
表示的曲面叫做椭球面(或椭圆面)
;方程(4.3.1
)叫做椭球面的标准方程,其中
a,b,c均
为正的常数。
球面和旋转椭球面都是特殊的椭球面。
下面利用标准方程(4.3.1)讨论这椭球面的一些简单性质:
Ⅰ、对称性
由于方程(4.3.1)中仅含坐标扣平方项,若将坐标X,Y,Z中的一个,两个或三个改
号,则方程不变,所以椭球面(4.3.1)含有它的每个点关于三个坐标面,三条坐标轴及原点的对称点。
[注]:
即它关于三个坐标面,三条坐标轴以及原点都是对称的。
Ⅱ、主截线,顶点与半轴
曲面与其对称平面的截线叫做曲面的主截线,而与其对称轴的交点叫做曲面的顶点。
椭球面(4.3.1)在XOY面,XOZ面,YOZ面上的主截线分别为
X2
Y2
1
(4.3.2)
a
2
b
2
0
Z
X2
Z2
1
(4.3.3)
a
2
c
2
Y
0
Y2
Z2
1
(4.3.4)
b
2
c
2
X
0
───────────────────────
[注]
所谓两点P,P'关于一平面
成(镜面)对称,即
是线段PP'的垂直平分面;两
点P,P'关于一直线L成(轴)对称,即L为线段PP'的一条垂直平分线;两点P,P'关于一点
成(中心)对称,即此点为线段PP'的中点。
它们都是椭圆(叫做椭球面(4.3.1)的主椭圆)。
椭球面(4.3.1)与三条坐标轴交得六个顶点:
(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)。
a,b,c都叫做这椭球面的半轴。
当a,b,c互不相等时,最
大的叫做长半轴,最小的叫做短半轴,而另一个叫做中半轴。
Ⅲ、坐标面的平行面上的截线
若用平行于XOY面的平面Z
h(|h|
c)去截割椭球面(
4.3.1),则得截线
X2
Y
2
h2
a2
b2
1
(4.3.5)
c2
Z
h
当|h|c时,它是平面Z
h上的一个椭圆
X2
Y
2
1
a2(1
h2
)b2(1
h2)
Z
h
c2
c2
[注](4.3.5)中的X,Y就是截面Z
h上的点关于平面直角坐标系(原点在此截面与
ZZ轴的交点处,而两坐标轴与原坐标系的同名坐标轴同向平行)的坐标。
其中心在点
(0,0,h),两对称轴Y
0,Z
h与X0,Z
h分别平行于X轴与Y轴,两个半轴分别为
a
c2
h2
与b
c2
h2
当|h|逐渐增大接近c时,半轴越来越短。
c
c
当|h|
c时,截线缩成一点(点椭圆),即顶点(0,0,c)或(0,0,c).
当|h|
c时,平面Z
h,不再与椭球面相交。
因此,椭球面(4.3.1)
可看作是由一个椭圆的变动(大小位置都改变)
而产生的,这个
椭圆在变动中保持所在平面与XOY
平行,且两对顶点(a
c
2
h
2,0,)
c
h,
(0,
b
c2
h2,h)分别沿着两个固定的主椭圆
(4.3.3)与(4.3.4)滑动。
c
若用平行于其它两个坐标面的平面去截割椭球面(4.3.1),则可得类似的结论。
由上述讨论可知,椭圆面(4.3.1)上的点位于由平面Xa,Yb,Zc所围成的
长方体内部或它的面上。
为了表现所讨论的椭球面的大致形状,我们可以根据其上述几何性质及直观图画法的基本原理,画出它的直观简图[注](图4-9)。
这样的图形是由曲面上某些能显示其特征的曲线
(如主截线和外轮廓线等)所构成。
其画法步骤:
[注]指的是直观示意图。
要作精确的直观图,那就复杂得多了.
(1)选择直观图种类,画出轴测轴:
(2)画出曲面的三条主截线,它们都是椭圆;
(3)画出外轮廓线(也叫外形线),它是外切于三条主截线的光滑曲线,近似于椭圆。
如果只要画略图,那么可选用斜二测。
这时外轮廓线可以用正对观察者的那条主截线来
代替
图4—9
X2
Y2
Z2
1的中心沿某一定方向到曲面上的一点的距离为
,
例1、设椭球面
2
b2
c2
a
此定方向的方向余弦的
,试证:
1
2
2
2
2
a2
b2
c2
证:
设过中心(即原点)具有方向余弦
,
的直线交已知椭球面于点
(X0,Y0,Z0),
则有
X0
Y0
Z0
(1)
X02
Y02
Z02
1
(2)
a2
b2
c2
将
(1)代入
(2),得
2
2
2
2
2
2
a2
b2
c2
1
即
1
2
2
2
2
a2
b2
c2
(二)双曲面
1、单叶双曲面
4.3.2定义由方程
X2
Y
2
Z2
1
(4.3.6)
a2
b
2
c2
所表示的曲面叫做单叶双曲面;方程
(4.3.6)叫做单叶双曲面的标准方程,其中
a,b,c均为正
的常数。
单叶旋转双曲面是特殊的单叶双曲面。
单叶双曲面(4.3.6)有如下一些简单性质:
Ⅰ、对称性
关于三个坐标面、三条坐标轴及原点都是对称的。
Ⅱ、主截线、顶点与半轴
单叶双曲面(4.3.6)在XOY面上的主截线
X2
Y2
1
a2
b2
(4.3.7)
Z
0
是椭圆;
在XOZ面,YOZ面上的主截线分别为
X2
Z2
1
a2
c2
(4.3.8)
Y
0
与
Y2
Z2
1
b2
c2
(4.3.9)
X
0
它们都是双曲线,且有共同的虚轴(
此曲面与Z轴无交点,而与
Z轴)。
X轴,Y轴交得四个顶点:
(a,0,0),(0,b,0),a,b,c都叫做它的半轴。
Ⅲ、坐标面的平行面上的截线
平行于XOY面的平面,Z
h上的截线
X2
Y2
1
(4.3.10)
2
2
a2(1
h2)b2(1
h
2)
c
c
都是椭圆、且椭|h|的增大而增大。
特别地,
h
0时,截口椭圆(主截线之一)最小,叫
做此曲面的腰椭圆,它的顶点就是曲面的顶点。
因此,单叶双曲面(4.3.6)可看作是由一个椭
圆随一个参数的变动
(大小位置都改变)而产生的。
这个椭圆在变动中保持其所在平面与
XOY面平行,且两对顶点分别沿着两条固定的主截线,双曲线
(4.3.8)与(4.3.9)滑动。
平行于XOZ面,YOZ面的平面上的截线都是双曲线(或一对相交直线)
,具体情况及
截线变动规律的讨论留作习题(见第3题)
。
此外,单叶双曲面
(4.3.6)上的点位于椭圆柱面
X2
Y2
1
a2
b2
的外部或这柱面上,且曲面是连成一片的(因而有“单叶双曲面”之称),其大致形状,如
图4-11所示。
图4—11
2、双叶双曲面
4.3.3定义由方程
X
2
Y2
Z2
1
(4.3.11)
a
2
b2
c2
所表示的曲面叫做双叶双曲面,方程
(4.3.11)
叫做双叶双曲面的标准方程,其中
a,b,c都是
正常数。
双叶旋转双曲面是特殊的双叶双曲面。
双叶双曲面(4.3.11)有如下一些简单性质:
Ⅰ、对称性
关于所有坐标面、坐标轴及原点都是对称的。
Ⅱ、主截线、顶点与半轴
在YOZ面、XOZ面上的主截线分别为
Y2
Z2
1
b2
c2
(4.3.12)
X
0
与
X2
Z2
1
b2
c2
(4.3.13)
Y
0
它们都是双曲线,且有共同的实轴
Z轴。
但在
XOY
面上无截线,因而与
X轴,Y轴无交
点,只与
Z
轴交得两个顶点
(0,0,c),a,b,c都叫做双叶双曲面
(4.3.11)的半轴。
Ⅲ、坐标面的平行面上的截线
平行于XOY面的平面上的截线
X2
Y2
h2
1
(4.3.14)
a
2
b
2
c
2
Z
h
(|h|c)
为椭圆(当|h|c时)或顶点即原点(当|h|
c时,且截口椭圆随|h|的增大而增大。
因此,
双叶双曲面(4.3.11)可以看作是由一个椭圆随一个参数变动
(大小位置都改变)而产生的。
这
个椭圆在变动中保持所在平面与
XOY面平行,且两对顶点分别沿着两条固定的主截线双曲
线(4.3.12)与(4.3.13)滑动。
但当|h|c时无截线,所以曲面的点分居于空间层
|Z|c的上方
与下方,即分为两“叶”(因而有“双叶双曲面”之称)。
平行于YOZ面,XOZ面的平面上的截线都是双曲线。
图4—12
双叶双曲面(3.3.11)的大致形状如图3-12所示。
由于它与单叶双曲面(3.3.6)一样,都有
两条主截线是双曲线,所以它们统称为双曲面。
两种双曲面画法与椭球面情形基本相同,但
因它们都是可以无限延伸的,因而只能画出平行截口间的一部分。
例2、证明双曲面
X2
Y2
Z2
1
a2
b2
c2
和二次锥面
X2
Y2
Z2
0
a2
b2
c2
在平面Z
h上的截线无限地接近(当
|h|无限增大时)。
证:
曲面
(1)、
(2)在平面Z
h上的截线方程分别为
X2
Y2
h2
1
X2
Y2
h2
a2
b2
c2
和
a2
b2
c2
Zh
Z
h
因此,它们是具有相同对称轴及对称中心的椭圆,而且其一半轴之差
a
h2
1
a|h|
h2
a
c2
c
1
|h|
c2
c
当|h|
时趋于零(式中“±”同取“+”或“-”
),同理可知另一半轴之差也是如此。
由此可知,当
|h|无限增大时,双曲面
(1)和二次锥面
(2)在平面Z
h上的截口椭圆无限地
接近。
二次锥面
(2)叫做双曲面
(1)的渐近锥面。
(三)抛物面
1、椭圆抛物面
4.3.4定义由方程
X2
Y
2
2Z
(4.3.15)
a2
b
2
所表示的曲面叫做椭圆抛物面,方程
(4.3.15)叫做椭圆抛物面的标准方程,其中
a,b是任意
正常数。
旋转抛物面是特殊的椭圆抛物面。
椭圆抛物面(4.3.15)有如下一些简单性质:
Ⅰ、对称性
关于坐标面YOZ,XOZ及Z轴对称,但没有对称中心。
Ⅱ、主截线与顶点
在YOZ,XOZ面上的主截线分别为
Y2
2b2Z
X
(4.3.16)
0
与
X2
2a2Z
Y
(4.3.17)
0
它们都是抛物线(叫做椭圆抛物面(3.3.15)的主抛物线)且有共同的顶点(原点),对称轴(Z轴)及开口方向(向上),这共同顶点即曲面唯一的顶点。
Ⅲ、坐标面的平行面上的截线
平行于XOY面的平面上的截线
4-13所示。
X2
Y2
2h
a2
b2
Z
h(h
0)
为椭圆(当h0时)或顶点即原点(当h
0时),且截口椭圆随h增大而增大。
因此,椭圆抛
物面(3.3.15)可以看作是由一个椭圆随一个参数变动
(大小位置都改变)而产生的。
这个椭圆在
变动中保持所在平面与
XOY面平行,且两对顶点分别沿着两条固定的主抛物线
(4.3.16)与
(4.3.17)滑动。
但当h
0时无截线,即坐标面XOY下方的半空间(Z
0)中没有曲面的点。
平行于YOZ面(或XOZ面)的平面上的截线都是全等的抛物线,
其对称平行于Z轴,开
口向上。
因此,椭圆抛物面(4.3.15)也可以看作是由主抛物线(4.3.16),(4.3.17)中的一条,顶点靠在另一条经过平行移动在产生的。
椭圆抛物面的大致形状如图
图4-13
例3、
已知椭圆抛物面的顶点在原点,关于
XOZ面YOZ面对称,且过点
(1,2,6)和
(1,1,1)求这个椭圆抛物面的方程。
3
XOZ面,YOZ面对称,所以可设它的
解:
因为所求椭圆抛物面的顶点在原点,关于
方程为
X2
Y2
2Z
a2
b2
又因这个曲面过点
(1,2,6)和(1,1,1)有
3
1
4
12
a2
b2
1
1
2
9a2
b2
解得
1
36
1
6
36
X
2
6
Y
2
2Z,
a
2
b
2
,故所求椭圆抛物面方程为
5
5
5
5
即
18X2
3Y2
5Z
2、双曲抛物面
4.3.5定义由方程
X2
Y
2
2Z
(4.3.18)
a2
b
2
所表示的曲面叫做双曲抛物面,
方程(3.3.18)叫做双曲抛物面的标准方程
其中a,b是任意正
的常数。
双曲抛物面(4.3.18)有如下一些简单性质:
Ⅰ、对称性
关于坐标面YOZ、XOZ及Z轴对称,但没有对称中心。
Ⅱ、主截线与顶点
在YOZ面,XOZ面上的主截线分别分
Y2
2b2Z
X
(4.3.19)
0
与
X2
2a2Z
Y
(4.3.20)
0
它们都是抛物线(叫做双曲抛物面(4.3.18)的主抛物线)且具有共同的顶点(原点)与对称轴(Z轴),但开口方向不同前者向下,后者向上。
其共同的项点即曲面唯一的顶点。
Ⅲ、坐标面的平行面上的截线
平行于XOY面的平面上的截线
X2
Y2
2h
a2
b2
Zh
当h
0时是双曲线,实轴与X轴平行,顶点(a
2h,0,h)在主抛物线
(4.3.20)上;当h
0
时也是双曲线,但实轴与Y轴平行,顶点(0,
b
2h,h)在主抛物线(4.3.19)上;而当h
0
时是一对相交于原点的直线。
因此,曲面被XOY面分割成上下两部分,且上半部沿X轴的两个方向上升,下半部沿Y
轴的两个方向下降,曲面在顶点(原点)附近的开关象马鞍一样,所以它又叫做马鞍面(图4-14)。
题第
对于平行于
6题)。
XOZ
面(或YOZ
图4—14
面)的平面上的截线
有类似于椭圆抛物面情形的结论
(见
椭圆抛物面与双曲抛物线都有两条主抛物线,它们统称为抛物面。
又因它们都是没有对称中心的,所以又叫做无心二次曲面。
两种抛物面的图形都是可以无限延伸的(以不同方式).因此图4-13和图4-14中,都只是画出曲面在两平行截口间的一部分。
由于双曲抛物面的图形结构比较复杂,所以作出两条主抛物线之后,要再作一组平行于坐标面的截线,最后再作曲面的外轮廓线。
由本书讨论看到,作二次曲面图形的关键是画好主截线和在坐标面的平行面上的截口曲
线。
为此,应该充分利用对称性以及有助于画出曲线的其它性质,例如椭圆切于项点处的外切矩形,双曲线的渐近线等。
习题4-3
1、已知椭球面的对称轴合于坐标轴,且通过椭圆Y2
Z2
1,X0与点
9
4
(11,2,1),求这个椭球面的方程。
2、由椭球面X2
Y2
Z2
1的中心,引三条两两互相垂直的射线,分别交曲面于
a2
b2
c2
点P1,P2,P3,设OP1
r1,OP2
r2,OP3
r3,试证:
1
1
1
1
1
1
r12
r22
r32
a2
b2
c2
X2
Y2
Z
2
1所得的截线及其
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