随机过程-方兆本-第三版-课后习题答案.doc
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习题4
以下如果没有指明变量的取值范围,一般视为,平稳过程指宽平稳过程。
1.设,这里为上的均匀分布.
(a)若,证明是宽平稳但不是严平稳,
(b)设,证明既不是严平稳也不是宽平稳过程.
证明:
(a)验证宽平稳的性质
(b)
2.设是平稳序列,定义为,证明:
这些序列仍是平稳的.
证明:
已知,
显然,为平稳过程.
同理可证,亦为平稳过程.
3.设这里和为正常数,k=1,....n;是(0,2)上独立均匀分布随机变量。
证明是平稳过程。
证明:
E=,
===0
D[cos(]=1/2-
cov)=)=1/2cost
E=0,D()=.为常数
=
只与t有关,与n无关。
从而知道{.n=0,1,2….}为宽平稳的。
4.设,k=1,2…n是n个实数。
试问与之间应满足这样的条件才能使:
Solution:
要求
要求
5.设是一列独立同分布随机变量序列,,
令求的协方差
函数和自相关函数,p取何值时,此序列为平稳序列?
Solution:
协方差函数
自相关函数:
当p=时,
但协方差函数始终与n,n+m有关,还是不平稳!
6.设是一个平稳过程,对每一个,存在,证明对每个给定的,与不相关,其中.
Proof.,..
,.
7.设是Gauss过程,均值为0,协方差函数.
令,
(i)求和;
(ii)求的密度函数及;
(iii)求与的联合密度.
Solution.(i).
(ii).
~
.
(iii)~,
8.设是一个严平稳过程,为只取有限个值的随机变量.证明仍是一个严平稳过程.
Proof.
=p((X(-),…,X(-)≤(,…,))
=.p((X(-ak,…X(-ak)≤(,…,))
=.p((X(-h-ak),…X(-h-ak))≤(,…,))
=p((y(-h),…,y(-h))≤(,…,))=(,…,)
即知为严平稳.
9、设是一个严平稳过程,构造随机过程Y如下:
Y(t)=1,)若X(t)>1,若X(t)>0;-1,若X(t)≤0
证明Y(t)是一个平稳过程,如果进一步假定是均值为0的Gauss过程(平稳),证明为
证明:
P((Y(),…,Y())=(,…,))
=P(X(),…,X()中有的大于0,有的小于等于0)
=P(X(+h),…,X(+h)相应于X(),…,X()中的符号不变)
=P((Y(+h),…,Y(+h))=(,…,))
即亦为严平稳的.
EX(t)=0,E=,X(t)N(0,)
EY(t)=1*P(Y(t)=1)-1*P(Y(t)=-1)=P(X(t)>0)-P(X(t)≤0)=-=0
=EY(t+)Y(t)=P(X(t+)>0,X(t)>0)+P(X(t+)≤0,X(t)≤0)-P(X(t+)≤0,X(t)>0)+P(X(t+)>0,X(t)≤0)
+
-
-
=2
-
极坐标变换:
=
令
=
=
=
=
=
注:
验证. 即可!
10.设是一个复值平稳过程,证明:
Proof:
11.设是零均值的平稳Gauss过程,协方差函数为,证明:
,其中为标准正态函数。
Proof:
12.设{x(t)}为连续平衡过程,均值m未知,协方差函数=,,.对固定的,令=。
证明:
(即是的无偏估计)以及
。
Proof:
,
=
=
=
13.设为平稳过程,以及的n阶导数存在,证明是平稳过程。
Proof:
由知
为平稳过程
14.证明定理4.1中关于平稳序列均值的遍历性定理。
Proof:
为均值遍历性
均值遍历性:
即
令,则
由均值遍历,知
知(A)
可推出(B)
由(B)很容易推出(A)
15、如果是均值为0的联合正态随机向量,则
proof:
协方差阵矩母函数
可知:
16、设为随机变量,其概率密度函数为
,设在给定下是上的均匀分布,
证明的均值遍历性。
Proof:
由推论4.2知:
是均值遍历的
17、设为白噪声序列,令则从而证明为平稳序列。
求出该序列的协方差函数,此序列是否具有遍历性?
Proof:
易知:
,
因,故为均值遍历的。
以下没有特殊声明,所涉及的过程均假定均值函数为零。
18.我们称一个随机过程X为平稳Gauss-Markov过程,如果X是平稳GaussProcess,并且具有Markov性,即对任意的,任意实数有。
试证明:
零均值的平稳Gauss-Markov过程的协方差函数具有这种形式,这里c为常数。
Proof:
19.根据markov性,f(xt3︱xt1,xt2)=f(xt3︱xt2)知
R(t3-t1)=R(t2-t1)R(t3-t2),R(-)=R().
即R(0)R(+h)=R()R(h)(>0,h>0)可知:
R()=Ce-a︱︱
R(+h)/R(0)=R()/R(0)*R(h)/R(0)即f(x)=R(x)/R(0)=e-at
R(0)=2C=2︱R()︱ 20.设{X(t)}为平稳过程,令y(t)=X(t+a)-X(t-a),分别以Rx、Sx和Ry、Sy记随机过程X和Y的协方差函数和功率谱密度函数,证明。 Ry()=2Rx()-Rx(+2a)-Rz(-2a), Sy()=4Sx()sin2aw ProofRy()=Cov(y(t+),y(t))=E{(x(t++a)-m)-(x(t+-a)-m)}* ((x(t+a)-m)-(x(t-a)-m))。 其中m=EX(t) =E(X(t++a)-m)(X(t+a)-m)-E(X(t++a)-m)(x(t-a)-m)-E(X(t+-a)-m)(X(t+a)-m)+E(X(t+-a)-m)(x(t-a)-m) =Rx()-Rx(2a+)-Rx(-2a)+Rx()=2Rx()-Rx(2a+)-Rx(-2a) Sy()=Ry()e-jw=(2Rx()-Rx(+2a)-Rx(-2a))e-jw =2Sx(w)-Rx(k)e-jwk*ej2aw-Rx()e-jwk*e-j2aw =2Sx(w)-2cos(2aw)Sx(w)=4Sx(w)sin2(aw) 21、设平稳过程X的协方差函数,试研究其功率密度函数的性质。 Solution: 由Wiener-Khintchine公式知,功率谱密度函数 22、设平稳过程的协方差函数,求功率谱密度函数. Solution: 31.设为平稳序列,协方差函数为. (1)求的形如的最小均方误差方差预报,a为待定常数 (2)求的形如的最小均方误差方差预报,a,b为待定 (3)上述两个预报中,哪个预报的均方误差要小些? 试用表示它们的差 (4)求的形如,的最小均方误差内插,(a,b为待定) (5)设,其中N为固定常数,求的形如的最小均方误差预报,其中a,b为待定常数。 Solution: (1) (2) (3) = (4) (5) 差4-16 35.设{Xn,n=0,±1,….}为AR(p)模型: n=…,-1,0,1,… 试导出Yule-Walker方程: Proof. 36.考虑AR(p)模型: n=…,-1,0,1,… 假定的根都在单位圆外,求功率谱密度函数 Proof S(w)满足上述式子 37.考虑如下AR (2)模型: (1) (2) 试用Yule-Walker方程导出协方差函数,证明它们的谱密度函数S(w)在(-,)上的图。 Proof (1) 类似的, 38.求下列自回归模型二协方差函数和相关函数。 (1) (2) Solution. (1) 协方差函数 类似地, ,相关函数: (2), , , 通过迭代: 求下列滑动平均模型协方差函数和相关函数: (1) (2) Solution: (1) = = (2) = = = 42.考虑AR (2)模型: Solution: 41.考虑AR (2)模型: 分析:
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