北航计算机研究生课程算法设计与分析Assignment1.docx

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北航计算机研究生课程算法设计与分析Assignment1

一、解：

设第k月的需求量为Nk（k=1,2,3,4）

状态变量Xk：

第k月初的库存量，X1=X5=0，0≤Xk≤Nk+…+N4

决策变量Uk：

第k月的生产量，max{0，Nk-Xk}≤Uk≤min{6，Nk+…+N4-Xk}

状态转移方程：

Xk+1=Uk+Xk–Nk

第k月的成本Vk=0.5*（Xk-Nk）Uk=0

3+Uk+0.5*（Uk+Xk-Nk）Uk≠0

设Fk（Xk）是由第k月初的库存量Xk开始到第4月份结束这段时间的最优成本

则Fk（Xk）=min{Vk+Fk+1（Xk+1）}1≤k≤4

=min{3+Uk+0.5*（Uk+Xk-Nk）+Fk+1（Uk+Xk-Nk）}Uk≠0

min{0.5*（Xk-Nk）+Fk+1（Xk-Nk）}Uk=0

F5（X5）=0

四个月内的最优成本为F1（X1）=F1（0）

详细计算步骤如下：

（1）k=4时

0≤X4≤4，max{0，4-X4}≤U4≤min{6，4-X4}

X4

U4

X5

V4

F5（X5）

V4+F5（X5）

0

4

0

7

0

7=F4（0）

1

3

0

6

0

6=F4

（1）

2

2

0

5

0

5=F4

（2）

3

1

0

4

0

4=F4（3）

4

0

0

0

0

0=F4（4）

即对于状态X4的每个取值，都有唯一确定的决策变量U4使得F4（X4）最优

（2）k=3时

0≤X3≤6，max{0，2-X3}≤U3≤min{6，6-X3}

X3

U3

X4

V3

F4（X4）

V3+F4（X4）

0

2

0

5

7

12

3

1

6.5

6

12.5

4

2

8

5

13

5

3

9.5

4

13.5

6

4

11

0

11=F3（0）

1

1

0

4

7

11

2

1

5.5

6

11.5

3

2

7

5

12

4

3

8.5

4

12.5

5

4

10

0

10=F3

（1）

2

0

0

0

7

7=F3

（2）

1

1

4.5

6

10.5

2

2

6

5

11

3

3

7.5

4

11.5

4

4

9

0

9

3

0

1

0.5

6

6.5=F3（3）

1

2

5

5

10

2

3

6.5

4

10.5

3

4

8

0

8

4

0

2

1

5

6=F3（4）

1

3

5.5

4

9.5

2

4

7

0

7

5

0

3

1.5

4

5.5=F3（5）

1

4

6

0

6

6

0

4

3

0

2=F3（6）

（3）k=2时

0≤X2≤9，max{0，3-X2}≤U2≤min{6，9-X2}

X2

U2

X3

V2

F3（X3）

V2+F3（X3）

0

3

0

6

11

17

4

1

7.5

10

17.5

5

2

9

7

16=F2（0）

6

3

10.5

6.5

17

1

2

0

5

11

16

3

1

6.5

10

16.5

4

2

8

7

15=F2

（1）

5

3

9.5

6.5

16

6

4

11

6

17

2

1

0

4

11

15

2

1

5.5

10

15.5

3

2

7

7

14=F2

（2）

4

3

8.5

6.5

15

5

4

10

6

16

6

5

11.5

5.5

17

3

0

0

0

11

11=F2（3）

1

1

4.5

10

14.5

2

2

6

7

13

3

3

7.5

6.5

14

4

4

9

6

15

5

5

10.5

5.5

16

6

6

12

2

14

4

0

1

0.5

10

10.5=F2（4）

1

2

5

7

13

2

3

6.5

6.5

13

3

4

8

6

14

4

5

9.5

5.5

15

5

6

11

2

13

5

0

2

1

7

8=F2（5）

1

3

5.5

6.5

12

2

4

7

6

13

3

5

8.5

5.5

14

4

6

10

2

12

6

0

3

1.5

6.5

8=F2（6）

1

4

6

6

12

2

5

7.5

5.5

13

3

6

9

2

11

7

0

4

2

6

8=F2（7）

1

5

6.5

5.5

12

2

6

8

2

10

8

0

5

2.5

5.5

8=F2（8）

1

6

7

2

9

9

0

6

3

2

5=F2（9）

（4）k=1时

X1=0，max{0，2}≤U1≤min{6，11}

X1

U1

X2

V1

F2（X2）

V1+F2（X2）

0

2

0

5

16

21

3

1

6.5

15

21.5

4

2

8

14

22

5

3

9.5

11

20.5=F1（0）

6

4

11

10.5

21.5

由以上计算可得，4个月的总最优成本为F1（0）=20.5（千元）

从k=1回溯，可得最优结果中各阶段的状态变量Xk和决策变量Uk如下表：

月份k

产量Uk

月初库存量Xk

需求量Nk

每月成本Vk

1

5

0

2

9.5

2

0

3

3

0

3

6

0

2

11

4

0

4

4

0

二、解：

1、变量设定

阶段k：

已遍历过k个结点，k=1,2…6,7。

K=1表示刚从V1出发，k=7表示已回到起点V1

状态变量Xk=（i，Sk）：

已遍历k个结点，当前位于i结点，还未遍历的结点集合为Sk。

则X1=（1，{2,3,4,5,6}），X6=（i，Φ），X7=（1，Φ）

决策变量Uk=（i，j）：

已遍历k个结点，当前位于i结点，下一个结点选择j。

状态转移方程：

Xk+1=T（Xk，Uk）=（j，Sk-{j}）

第k阶段的指标函数Vk=D[i,j]。

最优指标函数Fk（Xk）=Fk（i，Sk）：

已遍历k个结点，当前从i结点出发，访问Sk中的结点一次且仅一次，最后返回起点V1的最短距离。

则Fk（i，Sk）=min{D[i,j]+Fk+1（j，Sk-{j}）}1≤k≤6

F7（X7）=F7（1，Φ）=0

2、分析：

（1）k=6时，F6（i，Φ）=min{D[i,1]+F7（X7）}=D[i,1]i=2,3,4,5,6

X6=（i，Φ）

U6=（i，j）

X7=（1，Φ）

V6=D[i,j]

F7（1，Φ）

V6+F7（X7）

（2，Φ）

（2，1）

（1，Φ）

12

0

12=F6（2,Φ）

（3，Φ）

（3，1）

（1，Φ）

23

0

23=F6（3,Φ）

（4，Φ）

（4，1）

（1，Φ）

34

0

34=F6（4,Φ）

（5，Φ）

（5，1）

（1，Φ）

45

0

45=F6（5,Φ）

（6，Φ）

（6，1）

（1，Φ）

56

0

56=F6（6,Φ）

即k=6时，对于每一种状态X6，都有唯一的决策U6。

（2）k=5时，F5（i，S5）=min{D[i,j]+F6（j，Φ）}i=2,3,4,5,6

X5=（i,S5）

U5=（i,j）

X6=（j,Φ）

V5=D[i,j]

F6（j,Φ）

V5+F6（X6）

（2,{6}}

（2,6）

（6，Φ）

21

56

77=F5（2,{6}）

（2,{5}}

（2,5）

（5，Φ）

25

45

70=F5（2,{5}）

（2,{4}}

（2,4）

（4，Φ）

30

34

64=F5（2,{4}）

（2,{3}}

（2,3）

（3，Φ）

18

23

41=F5（2,{3}）

（3,{6}）

（3,6）

（6，Φ）

15

56

71=F5（3,{6}）

（3,{5}）

（3,5）

（5，Φ）

10

45

55=F5（3,{5}）

（3,{4}）

（3,4）

（4，Φ）

5

34

39=F5（3,{4}）

（3,{2}）

（3,2）

（2，Φ）

19

12

31=F5（3,{2}）

（4,{6}）

（4,6）

（6，Φ）

16

56

72=F5（4,{6}）

（4,{5}）

（4,5）

（5，Φ）

8

45

53=F5（4,{5}）

（4,{3}）

（4,3）

（3，Φ）

4

23

27=F5（4,{3}）

（4,{2}）

（4,2）

（2，Φ）

32

12

44=F5（4,{2}）

（5,{6}）

（5,6）

（6，Φ）

18

56

74=F5（5,{6}）

（5,{4}）

（5,4）

（4，Φ）

10

34

44=F5（5,{4}）

（5,{3}）

（5,3）

（3，Φ）

11

23

34=F5（5,{3}）

（5,{2}）

（5,2）

（2，Φ）

27

12

39=F5（5,{2}）

（6,{5}）

（6,5）

（5，Φ）

12

45

57=F5（6,{5}）

（6,{4}）

（6,4）

（4，Φ）

20

34

54=F5（6,{4}）

（6,{3}）

（6,3）

（3，Φ）

16

23

39=F5（6,{3}）

（6,{2}）

（6,2）

（2，Φ）

22

12

34=F5（6,{2}）

即k=时，对于每一种状态X5，都有唯一决策U5。

（3）k=4时，F4（i,S4）=min（D[i,j]+F5（j,S5））i=2,3,4,5,6

X4=（i,S4）

U4=（i,j）

X5=（j,S5）

V4=D[i,j]

F5（j,S5）

V4+F5（j,S5）

（2,{3,4}）

（2,3）

（3,{4}）

18

39

57=F4（2,{3,4}）

（2,4）

（4,{3}）

30

27

57=F4（2,{3,4}）

（2,{4,5}）

（2,4）

（4,{5}）

30

53

83

（2,5）

（5,{4}）

25

44

69=F4（2,{4,5}）

（2,{5,6}）

（2,5）

（5,{6}）

25

74

99

（2,6）

（6,{5}）

21

57

78=F4（2,{5,6}）

（2,{3,5}）

（2,3）

（3,{5}）

18

55

73

（2,5）

（5,{3}）

25

34

59=F4（2,{3,5}）

（2,{3,6}）

（2,3）

（3,{6}）

18

71

89

（2,6）

（6,{3}）

21

39

60=F4（2,{3,6}）

（2,{4,6}）

（2,4）

（4,{6}）

30

72

102

（2,6）

（6,{4}）

21

54

75=F4（2,{4,6}）

（3,{2,4}）

（3,2）

（2,{4}）

19

64

83

（3,4）

（4,{2}）

5

44

49=F4（3,{2,4}）

（3,{2,5}）

（3,2）

（2,{5}）

19

70

89

（3,5）

（5,{2}）

10

39

49=F4（3,{2,5}）

（3,{2,6}）

（3,2）

（2,{6}）

19

77

96

（3,6）

（6,{2}）

15

34

49=F4（3,{2,6}）

（3,{4,5}）

（3,4）

（4,{5}）

5

53

58

（3,5）

（5,{4}）

10

44

54=F4（3,{4,5}）

（3,{4,6}）

（3,4）

（4,{6}）

5

72

77

（3,6）

（6,{4}）

15

54

69=F4（3,{4,6}）

（3,{5,6}）

（3,5）

（5,{6}）

10

74

84

（3,6）

（6,{5}）

15

57

72=F4（3,{5,6}）

（4,{2,3}）

（4,2）

（2,{3}）

32

41

73

（4,3）

（3,{2}）

4

31

34=F4（4,{2,3}）

（4,{2,5}）

（4,2）

（2,{5}）

32

70

102

（4,5）

（5,{2}）

8

39

47=F4（4,{2,5}）

（4,{2,6}）

（4,2）

（2,{6}）

32

77

109

（4,6）

（6,{2}）

16

34

50=F4（4,{2,6}）

（4,{3,5}）

（4,3）

（3,{5}）

4

55

59

（4,5）

（5,{3}）

8

34

42=F4（4,{3,5}）

（4,{3,6}）

（4,3）

（3,{6}）

4

71

75

（4,6）

（6,{3}）

16

39

55=F4（4,{3,6}）

（4,{5,6}）

（4,5）

（5,{6}）

8

74

82

（4,6）

（6,{5}）

16

57

73=F4（4,{5,6}）

（5,{2,3}）

（5,2）

（2,{3}）

27

41

68

（5,3）

（3,{2}）

11

31

42=F4（5,{2,3}）

（5,{2,4}）

（5,2）

（2,{4}）

27

64

91

（5,4）

（4,{2}）

10

44

54=F4（5,{2,4}）

（5,{2,6}）

（5,2）

（2,{6}）

27

77

104

（5,6）

（6,{2}）

18

34

52=F4（5,{2,6}）

（5,{3,4}）

（5,3）

（3,{4}）

11

39

50

（5,4）

（4,{3}）

10

27

37=F4（5,{3,4}）

（5,{3,6}）

（5,3）

（3,{6}）

11

71

82

（5,6）

（6,{3}）

18

39

57=F4（5,{3,6}）

（5,{4,6}）

（5,4）

（4,{6}）

10

72

82

（5,6）

（6,{4}）

18

54

72=F4（5,{4,6}）

（6,{2,3}）

（6,2）

（2,{3}）

22

41

63

（6,3）

（3,{2}）

16

31

47=F4（6,{2,3}）

（6,{2,4}）

（6,2）

（2,{4}）

22

64

86

（6,4）

（4,{2}）

20

44

64=F4（6,{2,4}）

（6,{2,5}）

（6,2）

（2,{5}）

22

70

92

（6,5）

（5,{2}）

12

39

51=F4（6,{2,5}）

（6,{3,4}）

（6,3）

（3,{4}）

16

39

55

（6,4）

（4,{3}）

20

27

47=F4（6,{3,4}）

（6,{3,5}）

（6,3）

（3,{5}）

16

55

71

（6,5）

（5,{3}）

12

34

46=F4（6,{3,5}）

（6,{4,5}）

（6,4）

（4,{5}）

20

53

73

（6,5）

（5,{4}）

12

44

56=F4（6,{4,5}）

（4）k=3时，F3（i,S3）=min{D[i,j]+F4（j,S4）}i=2,3,4,5,6

X3=（i,S3）

U3=（i,j）

X4=（j,S4）

V3=D[i,j]

F4（j,S4）

V3+F4（j,S4）

（2,{3,4,5}）

（2,3）

（3,{4,5}）

18

54

72

（2,4）

（4,{3,5}）

30

42

72

（2,5）

（5,{3,4}）

25

37

62=F3（2,{3,4,5}）

（2,{3,4,6}）

（2,3）

（3,{4,6}）

18

69

87

（2,4）

（4,{3,6}）

30

55

85

（2,6）

（6,{3,4}）

21

47

68=F3（2,{3,4,6}）

（2,{3,5,6}）

（2,3）

（3,{5,6}）

18

72

90

（2,5）

（5,{3,6}）

25

57

82

（2,6）

（6,{3,5}）

21

46

67=F3（2,{3,5,6}）

（2,{4,5,6}）

（2,4）

（4,{5,6}）

30

73

103

（2,5）

（5,{4,6}）

25

72

97

（2,6）

（6,{4,5}）

21

56

77=F3（2,{4,5,6}）

（3,{2,4,5}）

（3,2）

（2,{4,5}）

19

69

88

（3,4）

（4,{2,5}）

5

47

52=F3（3,{2,4,5}）

（3,5）

（5,{2,4}）

10

54

64

（3,{2,4,6}）

（3,2）

（2,{4,6}）

19

75

94

（3,4）

（4,{2,6}）

5

50

55=F3（3,{2,4,6}）

（3,6）

（6,{2,4}）

15

64

79

（3,{2,5,6}）

（3,2）

（2,{5,6}）

19

78

97

（3,5）

（5,{2,6}）

10

52

62=F3（3,{2,5,6}）

（3,6）

（6,{2,5}）

15

51

66

（3,{4,5,6}）

（3,4）

（4,{5,6}）

5

73

78

（3,5）

（5,{4,6}）

10

72

82

（3,6）

（6,{4,5}）

15

56

71=F3（3,{4,5,6}）

（4,{2,3,5}）

（4,2）

（2,{3,5}）

32

59

91

（4,3）

（3,{2,5}）

4

49

53

（4,5）

（5,{2,3}）

8

42

50=F3（4,{2,3,5}）

（4,{2,3,6}）

（4,2）

（2,{3,6}）

32

60

92

（4,3）

（3,{2,6}）

4

49

53=F3（4,{2,3,6}）

（4,6）

（6,{2,3}）

16

47

63

（4,{2,5,6}）

（4,2）

（2,{5,6}）

32

78

110

（4,5）

（5,{2,6}）

8

52

60=F3（4,{2,5,6}）

（4,6）

（6,{2,5}）

16

51

67

（4,{3,5,6}）

（4,3）

（3,{5,6}）

4

72

76

（4,5）

（5,{3,6}）

8

57

65

（4,6）

（6,{3,5}）

16

46

62=F3（4,{3,5,6}）

（5,{2,3,4}）

（5,2）

（2,{3,4}）

27

57

84

（5,3）

（3,{2,4}）

11

49

60

（5,4）

（4,{2,3}）

10

34

44=F3（5,{2,3,4}）

（5,{2,3,6}）

（5,2）

（2,{3,6}）

27

60

87

（5,3）

（3,{2,6}）

11

49

60=F3（5,{2,3,6}）

（5,6）

（6,{2,3}）

18

47

65

（5,{2,4,6}）

（5,2）

（2,{4,6}）

27

75

102

（5,4）

（4,{2,6}）

10

50

60=F3（5,{2,4,6}）

（5,6）

（6,{2,4}）

18

64

82

（5,{3,4,6}）

（5,3）

（3,{4,6}）

11

69

80

（5,4）

（4,{3,6}）

10

55

65=F3（5,{3,4,6}）

（5,6）

（6,{3,4}）

18

47

65=F3（5,{3,4,6}）

（6,{2,3,4}）

（6,2）

（2,{3,4}）

22

57

79

（6,3）

（3,{2,4}）

16

49

65

（6,4）

（4,{2,3}）

20

34

54=F3（6,{2,3,4}）

（6,{2,3,5}）

（6,2）

（2,{3,5}）

22

59

81

（6,3）

（3,{2,5}）

16

49

65

（6,5）

（5,{2,3}）

12

42

54=F3（6,{2,3,5}）

（6,{2,4,5}）

（6,2）

（2,{4,5}）

22

69

91

（6,4）

（4,{2,5}）

20

47

67

（6,5）

（5,{2,4}）

12

54

66=F3（6,{2,4,5}）

（6,{3,4,5}）

（6,3）

（3,{4,5}）

16

54

70

（6,4）

（4,{3,5}）

20

42

62

（6,5）

（5,{3,4}）

12

37

49=F3（6,{3,4,5}）

（5）k=2时，F2（i,S2）=min{D[i,j]+F3（j,S3）}i=2,3,4,5,6

X2=（i,S2）

U2=（i,j）

X3=（j,S3）

V2=D[i,j]

F3（j,S3）

V2+F3（j,S3）

（2,{3,4,5,6}）

（2,3）

（3,{4,5,6}）

18

71

89

（2,4）

（4,{3,5,6}）

30

62

92

（2,5）

（5,{3,4,6}）

25

65

90

（2,6）

（6,{3,4,5}）

21

49

70=F2（2,{3,4,5,6}）

（3,{2,4,5,6}）

（3,2）

（2,{4,5,6}）

19

77

96

（3,4）

（4,{2,5,6}）

5

60

65=F2（3,{2,4,5,6}）

（3,5）

（5,{2,4,6}）

10

60

70

（3,6）

（6,{2,4,5