八年级三角形习题及答案.docx
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八年级三角形习题及答案.docx
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八年级三角形习题及答案
八年级(上)三角形
1、雨伞的中截面如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=1/3AB,AF=1/3AC,当O沿AD滑动时,雨伞开闭,问雨伞开闭过程中,∠BAD与∠CAD有何关系?
说明理由.
2、如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,A,C,D三点在同一直线上,连接BD、AE,并延长AE交BD于点F
(1)求证:
△ACE≌△BCD;
(2)AE与BD互相垂直吗?
请说明你的结论。
3、已知:
如图,AB=AE,∠1=∠2,∠B等于∠E求证:
BC=ED。
4、如图,A、F、C、D四点在同一直线上,AF=CD,AB‖DE,且AB=DE,求证:
1.△ABC≌△DEF
2.∠CBF=∠FEC
5、在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90度,F为AB延长线上的一点,点E在BC上,且AE=CF
(1)求证R△ABE≌Rt△CBF,
(2)若∠CAE=30度,求∠ACF度数。
6、如图点A,E,B,D在同一直线上,AE=DB,AC=DF,AC∥DF,探索BC与EF的位置关系,说明理由
7、如图,AF=DC,BC∥EF,请只补充一个条件,使得△ABC≌△DEF,并说明理由。
8、如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.
(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;
(2)求证:
CF=EF.
9、在湖的两岸A、B间建一座观赏桥,由于条件限制,无法直接度量A、B两点间的距离.请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案.
(1)画出测量图案;
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示);
(3)计算AB的距离(写出求解或推理过程,结果用字母表示).
10、如图①,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F。
(1)求证:
CE=CF;
(2)将图①中的△ADE没AB向右平移到△A’D’E’的位置,使E’落在BC边上,其他条件不变,如图②所示,试猜:
BE’与CF有怎样的数量关系?
请证明你的结论
缺图:
53的P18的2题
11、如图,在△ABC中,中线AD、BE相交于点O,若△BOD的面积等于5,求△ABC的面积.
12、如下图,它是由6个面积为1的小正方形组成的矩形,点A,B,C,D,E,F,G是小正方形的顶点,以这七个点中的任意三个点为顶点,可组成多少个面积为1的三角形?
请写出所有这样的三角形。
13、已知D.E是△ABC内两点,试说明AB+AC与BD+DE+CE的大小关系
14、如图,P是△ABC内一点,延长BP交AC于点D,则:
(1)∠1,∠2,∠A的大小关系是怎样的?
(2)其∠ABD=25°,∠A=67°,∠ACP=40°,则∠1的度数是多少?
15、如图是某厂生产的一块模板,模板的边AB∥CF,CD∥AE.按规定AB,CD的延长线相交成80°角,因交点不在模板上,不便测量。
这时师傅告诉徒弟只需测一个角,便知道AB,CD的延长线的夹角是否合乎规定,你知道需测哪一个角吗?
说明理由。
16、如图所示,CD为三角形ABC中AB边上的中线,三角形BCD的周长比三角形ACD的周长多3cm,BC=8cm,求边AC的长
17、在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm的两部分,求△ABC各边的长.
18、已知△ABC,P为内角平分线AD,BE,CF的交点,过点P作PG⊥BC于点G,说明∠BPD、∠CPG的大小关系,并说明理由。
19、小明跟爸爸到陶瓷买地板砖,准备装修就居地面。
该市场有如下五种型号的正多边形地砖,它们的内角分别是60度,90度,108度,120度,150度,如果只选用一种,这些地砖哪些适用?
若选两种呢?
说说你的方案。
20、如图所示,△ABC与△DEF全等,问经过怎样的图形变换,可使这两个三角形重合?
21、已知△ABE≌△ACD,且AB=AC.
(1)△ABE经过怎样的变化后可与△ACD重合?
(2)∠BAD与∠CAE有何关系说明理由(3)BD与CE相等吗?
为什么?
22、如图所示,A,D,E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE。
试说明:
(1)BD=DE+CE;
(2)△ABD满足什么条件时,BD∥CE?
23、如图,点ABCD在一条直线上,△ABF全等于△DCE,你能得出那些结论?
(请写出三个以上的结论)
24、如图,AF=DC,BC∥EF,请只补充一个条件,使得△ABC≌△DEF,并说明理由.
25、如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.
(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;
(2)求证:
CF=EF.
26、在湖的两岸A、B间建一座观赏桥,由于条件限制,无法直接度量A、B两点间的距离.请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案.
(1)画出测量图案;
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示);
(3)计算AB的距离(写出求解或推理过程,结果用字母表示
27、一个等腰三角形的周长为18厘米
(1)已知腰长是底长的2倍,求各边长?
(2)已知其中一边的长为8厘米,求其他两边的长?
28、用一条长为20cn的细绳能围成一个一边为5cm的等腰三角形吗?
为什么?
29、如图,李佳和王芳住在同一小区(A点),每天一块儿去学校(B点)上学,一天李佳要先去文具店(C点)买圆规再去学校,王芳要先去书店(P点)买书再去学校,问:
这天两人从家到学校谁走的路远?
为什么?
A
BC
P
30、已知a、b、c、为三角形ABC的三条边长,b、c满足(b-2)²+|c-3|=0,且a为方程|a-4|=2的解,求△ABC的周长,并判断它的状
31、下图所示的是一块三角形的硬纸板,爱思考的海宝同学提出了以下两个问题:
(1)怎样才能把这块三角板分成面积相等的四块?
(2)海报同学家的后院也有一块如图所示的三角形菜地,他想把这块菜地的面积分成1:
3:
4大小的三块地,且B处是三块地的公共水源,这样能分吗?
32、小明准备用20cm,90cm,100cm的三根木条钉成三角形,由于不小心,将100cm的一根折断了怎么也钉不成三角形
(1)小明把最长的木条至少折去了多少
(2)如果最长的木条折去了40cm,你能通过截木条的办法,帮助小明钉成一个三角形架吗
33、如图,在△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,若∠A=42°,
(1)求∠BOC的度数。
2)把
(1)中∠A=42°这个条件去掉,试探索∠BOC与∠A之间有怎样的数量关系。
34、AB∥CD,∠BAE=∠DCE=45°,容易说明∠E=90°,试探究∠BAE和∠DCE有何关系时∠E=90°,并写出理由。
35、如图,D是BC延长线上的一点,∠ABC.∠ACD的平分线交于点E,求证:
∠E=1/2∠A
36、如图,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点∠A2,则∠A2与∠A有怎样的数量关系?
继续做∠A2BC的平分线与∠A2CD的平分线可得∠A3,如此下去可得∠A4……,∠An,那么猜想∠An与∠A又有怎样的数量关系?
并求出∠A=64度时,∠A4的度数。
37、如图是由9个等边三角形拼成的六边形.若已知中间的小等边三角形的边长为1cm,求六边形的周长。
38、一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角等于它的相邻内角的1/4,求这个多边形的边数及内角和.
39、如图的花环状图案中,ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正六边形.试说明∠1=∠2。
40、如图,已知△ABC≌△ADE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°,求∠DFB和∠DGB的度数。
41、如图所示,A,D,E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE。
试说明:
(1)BD=DE+CE;
(2)△ABD满足什么条件时,BD∥CE?
42、如图所示,AB=CD,BD=AC,AB∥CD,求证:
AB⊥BC
43、如图所示,有一块三角形的厚铁板,根据实际生产的需要,工人师傅把角MAN平分开,现在他手边只有一把尺子(没有刻度)和一根细绳,你能帮工人师傅想个办法吗?
并说明你的根据。
1、
2、
(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC=BCEC=CD又∵∠BCD=∠ACB=90°在△ACE与△BCD中,{AC=BC{EC=DC{∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD(SAS)
(2)直线AE与BD互相垂直就是证明∠AFD=90°所以延长AE叫BD与F(题目已有)又因为△ACE≌△BCD。
所以∠AEC=∠BDC又因为∠BEF=∠AEC(对顶角)所以∠BEF=∠BDC又因为∠B+∠BDC=90°所以∠BEF+∠B=90°所哟AF⊥BD所以直线AE与BD互相垂直
3、证∶∵∠1=∠2
∴∠1+∠3=∠2+∠3
∴∠ead=∠bac
在△ead和△bac中
∵∠b=∠e
ab=ae
∠ead=∠bac∴△ead≌△bac﹙ASA﹚∴BC=ED﹙全等三角形的对应边相等﹚
4、证明:
(1)AF=CD,∠A=∠D,AB=DE,由“边角边”知△ABC≌△DEF,
(2)△ABC≌△DEF故CE=BF,∠DCE=∠AFB∠ECF=∠BFCCF=CF由“边角边”知△CEF≌△FBC,∠CBF=∠FEC
5、∵AB=BC,且∠ABC=90°
∴∠ABC=∠ABC=45°
∵∠ABC=90°,且F在AB延长线上
∴∠CBF=90°=∠ABE
又∵AE=CF,AB=CB
∴△CBF≌△ABE(HL)
∴∠BCF=∠BAE=∠BAC-∠CAE=15°
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=60°
6、因为AE=BD,所以AE+BE=BD+BE即AB=DE,因为AC平行DF,所角A=角D又因为AC=DF,所以三角形ACB全等于三角形DFE(SAS)所以角FED=角ABC,所以EF平行BC
7、
(1)∠E=∠B理由:
∵AF=DC∴AF+FC=DC+FC∴AC=DF∵BC∥EF,∴∠BCA=∠EFD在△ABC和△DEF中∠E=∠B∠BCA=∠EFDAC=DF∴△ABC≌△DEF。
(2)∠A=∠DAF=CD推出AC=DF,EF平行BC推出∠EFD=∠BCA两角夹一边,两三角形全等
(3)BC=EF,因为AF=DC,所以AC=DF,因为EF//CB,所以角EFD=角BCF,又因为BC=EF,所以三角形EFD=三角形BCA。
8、
(1)解:
△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF;
(2)证法一:
连接CE,
∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AC=AE.
∴∠ACE=∠AEC(等边对等角).
又∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴∠ACB=∠AED.
∴∠ACE-∠ACB=∠AEC-∠AED.
即∠BCE=∠DEC.
∴CF=EF.
证法二:
∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AC=AE,AD=AB,∠CAB=∠EAD,
∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB.
即∠CAD=∠EAB.
∴△CAD≌△EAB,
∴CD=EB,∠ADC=∠ABE.
又∵∠ADE=∠ABC,
∴∠CDF=∠EBF.
又∵∠DFC=∠BFE,
∴△CDF≌△EBF(AAS).
∴CF=EF.
证法三:
连接AF,
∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AB=AD.
又∵AF=AF,
∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL).
∴BF=DF.
又∵BC=DE,
∴BC-BF=DE-DF.
即CF=EF.
9、
10、五三,18页的2题
11、因为O是两条中线的交点,因此它是重心,因此AO=2OD,所以SAOB=2SBOD=10,那么SABD=SAOB+SBOD=10+5=15,所以SABC=2SABD=30。
12、(AEFABEADEBDEBEFBFGABDAFGABFABGDCFECGBCFACG底为1高为2或底为2高为1)abdabeabfabgadeaefafgbdebefefgcbfcgacgecfd
13、证明:
延长DE、ED分别交AB、AC于F、G,
在△AFG中:
AF+AG>FG①,
在△BFD中:
FB+FD>BD②,
在△EGC中:
EG+GC>EC③,
∵FD+ED+EG=FG,
∴①+②+③得:
AF+FB+FD+EG+GC+AG>FG+BD+EC,
即:
AB+FD+EG+AC>FG+BD+EC,
AB+AC>FG-FD-EG+BD+EC,
∴AB+AC>BD+ED+EC.
或:
证明:
延长BD交AC于G,延长DE交AC于H则:
AB+AC=AB+AG+GC>BG+GC=BD+DG+GH+HC>BD+DH+HC=BD+DE+EH+HC>BD+DE+EC
或:
证明:
延长BP交AC于D,延长CE交BD于F,
在△ABD中,AB+AD>BD,①
在△FDC中,FD+DC>FC,②
在△PEF中,PF+FE>PE,③
①+②+③得AB+AD+FD+DC+PF+FE>BD+FC+PE,
即:
AB+AC+PF+FD+FE>BP+PF+FD+FE+EC+PE,
所以AB+AC>BP+PE+EC。
14、五三,第4页7题
15、解:
延长AB、CD相交于点G.∵AB‖CF,CD‖AE,∴∠C+∠G=180°,∠A+∠G=180°(两条直线平行,同旁内角互补),∵∠G=80°,∴∠C=100°,∠A=100°,∴测量∠C或∠A的度数均可,只需∠C=100°或∠A=100°即可
16、∵DA=DB,DC=DC,LΔBCD-LΔACD=3∴BC-AC=3∵BC=8∴AC=8-3=5
或∵CD为AB边上的中线∴BD=CD∵L△BCD=BD+CD+BC,L△ACD=AD+CD+AC,L△BCD-L△ACD=3∴BD+CD+BC-AD-CD-AC=3∴BC-AC=3∴AC=BC-3∵BC=8∴AC=8-3=5(cm)
17、设AB=2aAD=CD=a
当AB+AD=12
BC+CD=15
∴AB=BC-3
∴BC=2a+3
∴2a+3+a=15
∴a=4
AB=AC=8BC=11
当AB+AD=15
BC+CD=12
∴AB=BC+3
∴BC=2a-3
∴2a-3+a=12
∴a=5
AB=AC=10BC=7
或:
:
:
分析:
由在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分,可得|AB-BC|=15-12=3(cm),AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm,然后分别从AB>BC与AB<BC去分析求解即可求得答案.解答:
解:
如图,∵AB=AC,BD是AC边上的中线,
即AD=CD,
∴|(AB+AD+BD)-(BC+BD+CD)|=|AB-BC|=15-12=3(cm),AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm,
若AB>BC,则AB-BC=3cm,
又∵2AB+BC=27cm,
联立方程组并求解得:
AB=10cm,BC=7cm,
10cm、10cm、7cm三边能够组成三角形;
若AB<BC,则BC-AB=3cm,
又2AB+BC=27cm,
联立方程组并求解得:
AB=8cm,BC=11cm,
8cm、8cm、11cm三边能够组成三角形;
∴三角形的各边长为10cm、10cm、7cm或8cm、8cm、11cm.
故答案为:
10cm、10cm、7cm或8cm、8cm、11cm.
18、证明:
∵AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,CF平分∠ACB∴∠BAD=∠BAC/2,∠ABE=∠ABC/2,∠BCF=∠ACB/2∴∠BPD=∠BAD+∠ABE=(∠BAC+∠ABC)/2∵∠BAC+∠ABC=180-∠ACB∴∠BPD=(180-∠ACB)/2=90-∠ACB/2∵PG⊥BC∴∠PGC=90∴∠BCE+∠CPG=180-∠PGC=90∴∠CPG=90-∠BCE=90-∠ACB/2∴∠BPD=∠CPG
19、五三第10页24题答案
20、方法一:
将ΔABC绕BF的中点旋转180°;
方法二:
将ΔABC沿CE的垂直平分线翻折,再沿EF翻折。
翻折+旋转(五三第11页5题)
21、五三第12页12题
22、解
(1)∵△BAD≌△ACE,
∴BD=AE,AD=CE,
又∵AE=AD+DE,
∴BD=CE+DE;
(2)△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE,理由如下:
∵∠ADB=90°,
∴∠BDE=180°-90°=90°,
又∵△BAD≌△ACE,
∴∠CEA=∠ADB-90°,
∴∠CEA=∠BDE,
∴BD∥CE。
23、五三第13页2题
24、解:
补充条件:
EF=BC,可使得△ABC≌△DEF.理由如下:
∵AF=DC,
∴AF+FC=DC+FC,
即:
AC=DF,
∵BC∥EF,
∴∠EFD=∠BCA,
在△EFD和△BCA中,
,
∴△EFD≌△BCA(SAS).
条件:
∠A=∠D证明:
因为BC∥EF所以∠EFC=∠ACB因为AF=DC所以AC=DF三角形两角相等且有一领边相等即相似,所以△ABC≌△DEF
角B等于角E
25、
(1)解:
△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF;
(2)证法一:
连接CE,
∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AC=AE.
∴∠ACE=∠AEC(等边对等角).
又∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴∠ACB=∠AED.
∴∠ACE-∠ACB=∠AEC-∠AED.
即∠BCE=∠DEC.
∴CF=EF.
证法二:
∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AC=AE,AD=AB,∠CAB=∠EAD,
∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB.
即∠CAD=∠EAB.
∴△CAD≌△EAB,
∴CD=EB,∠ADC=∠ABE.
又∵∠ADE=∠ABC,
∴∠CDF=∠EBF.
又∵∠DFC=∠BFE,
∴△CDF≌△EBF(AAS).
∴CF=EF.
证法三:
连接AF,
∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AB=AD.
又∵AF=AF,
∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL).
∴BF=DF.
又∵BC=DE,
∴BC-BF=DE-DF.
即CF=EF.
26、五三第18页探究创新
27、
(1),腰长是底长的2倍,设底边长x,则周长为x+2x+2x=5x=18x=3.6腰长为7.2,底边长3.6
(2)假设腰长为8,那么底边长为18-2*8=2,即:
其它两边长为8,2;
假设底边长为8,那么腰长为(18-8)÷2=5,即:
其它两边长为5,5;
28、腰=5厘米;底=20-5-5=10厘米;底=腰+腰;不符合;底=5厘米,腰=(20-5)÷2=7.5厘米;所以符合;
29、精编第2页第10题
30、等腰三角形b、c满足(b-2)²+|c-3|=0,所以b=2,c=3a为方程|a-4|=2的解,所以a-4=±2,a=2或者a=6当a=6时,b+c<a,根据三角形两条边长的和大于第三边,可知a、b、c无法构成三角形因此,a=2=b≠c又有a^2+b^2≠c^2所以三角形不是直角三角形三角形ABC是以c边为底边、a、b为腰的等腰三角形
31、方法一:
把一边四等分,三个等分点与另一顶点连接而成的四个三角形面积相等。
方法二:
取各边的中间,将这三个点依次连接得到的四个三角形面积相等。
方法三:
取BC的中点D,取AD的中点E,连接BE、CE,得到的四个三角形面积相等
32、
(1)90-20=70 (2)精编6页7题 33、 (1)解: 先给你设两个角,方便你看, 设∠ABC=x,∠ACB=y则 ∵∠A=42° ∠ABC+∠ACB=x+y=180°-42°=138° ∴(x+y)/2=69° ∵要求的角∠BOC=180°-(x+y)/2=180°-69°=111° ∴∠BOC=111° (2)P8的9题 34、∠BAE+∠DCE=90°时,∠E=90° 过E点作EF平行AB ∵AB平行CD,AB平行EF ∴AB平行CD平行EF 所以∠AEF=∠BAE ∠ECD=∠FEC 因为∠BAE+∠DCE=90° ∴∠E=∠BAE+∠DCE=∠AEF+∠ECD=90 35、首先,过点A作∠BAC的角平分线交线段BC与点G。 因为∠ACE=∠ECD,所以∠ACD=2∠ECD又因为∠BAG=∠GAC,∠ABE=∠EBD,所以∠AGC=∠BAG+∠ABC=∠GAC+2∠EBD所以∠ACD=∠GAC+∠AGC=∠GAC+∠GAC+2∠EBD=2∠ECD所以∠ECD=∠GAC+∠EBD又由于∠ECD=∠E+∠EBD所以∠E=∠GAC=1/2∠BAC 或: : 因为D在BC的延长线上由三角形外角和定理得: 角ACD=角ABC+角A所以角A=角ACD-角ABC同理: 角ECD=角EBC+角E所以角E=角ECD-角EBC又BE、CE分别为角ABC、角ACD的角平分线所以角EBC=1/2角ABC角ECD=1/2角ACD代入则有: 角E=1/2角ACD-1/2角ABC=1/2(角ACD-角ABC)所以角E=1/2角A 36、精编P10第10题 37、设最大的等边三角形边长为x.则六边形的周长为x+2(x-1)+2(x-2)+2(x-3)=7x-12由图知: 2(x-3)=xx=6所以7X-12=30 38、精编P13第8题 39、 (1)证明: ∵多边形ABCDEF与A1B1C1D1E1F1都是正六边形, ∴∠1+∠A1AF=120°,∠2+∠A1AF=∠B1A1F1=120°, ∴∠1+∠A1AF=∠2+∠A1AF, 即∠1=∠2; 40、∠CAD=10°,∠EAB=120°,所以,∠EAD=∠CAB=55°,又,∠B=∠D=25°所以,∠E=∠ACB=100°∠AFB=∠FAC+∠CAB=65°所以∠DFB=∠FAB+∠B=90°∠DGB=∠DFB-∠D=65° 41、(解 (1)∵△BAD≌△ACE, ∴BD=AE,AD=CE, 又∵AE=AD+DE, ∴BD=CE+DE; (2)△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE,理由如下: ∵∠ADB=90°, ∴∠BDE=180°-90°=90°, 又∵△BAD≌△ACE, ∴∠CEA=∠ADB-90°, ∴∠CEA=∠BDE, ∴BD∥CE。 42、∵AB‖CD ∴∠1=∠D。 。 。 ①∠2=∠A。 。 。 。 ③ 又∵AB=CD。 。 。 。 ② ∴①②③=>ΔAOB≌ΔCOD ∴AO=COBO=DO 又∵AC=BD ∴AO=CO=BO=DO ∴在ΔABC中,BO=AC/2 ∴ΔABC是RtΔ ∴∠ABC=90 ∴AB垂直于BC 43、以A为圆心做圆,分别交AM、AN于C、D,分别以C、D为圆心,线段CD的长度做圆,两圆相交于E、F,连接AF,就是角MAN的平分线∵AC=AD,FC=FD,AF公用,∴三角形ACF全等于三角形ADF∴∠CAF=∠DAF
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