与圆有关的角的综合.docx
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与圆有关的角的综合
《与圆有关的角的综合 》教学设计
学习目标
1、熟练掌握弧、弦、圆心角、圆周角直接按的关系及圆心角、圆周角定理及相关推论;
2、理解并能灵活运用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系进行角的转换和计算。
一、导学探究
知识概述
一、圆心角:
1、 的角叫圆心角.
2、圆心角定理:
在 中,相等的圆心角所对的 相等,所对的 也相等;
3、圆心角定理推论:
在同圆或等圆中,两个 、两条 、两条 、两条弦的 中有一组量相等,其余各组量都相等。
二、圆周角
1、顶点在 ,两条边 的角叫做圆周角.
2、圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .
3、圆周角定理的推论:
推论1:
同弧或等弧所对的圆周角 ;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧 .
推论2:
(或 )所对的圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是 .
4、圆内接四边形的性质定理:
圆内接四边形的对角 .
推论:
圆内接四边形的任何一个外角等于它的 .
二、精讲多动
一、加深理解
1、对圆周角的理解
①如图,∠AOB与∠ACB是
对的圆心角与圆周角,故有:
∠ACB= ∠AOB,反之∠AOB= ∠ACB.
②定理的作用是勾通圆心角,圆周角之间的数量关系.
2、对圆周角定理的两个推论的理解
(1)推论1:
①是圆中证角相等最常用的方法之一.
②若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种可能,一般情况不相等(如图中的∠1与∠2).
③推论1中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”,离开这个前提条件,
结论不成立(如图中的
).
④联系圆心角定理推论可得:
在同圆或等圆中,
(2)推论2应用广泛,一般地,如果题目中有直径时,往往作出直径上的圆周角——直角;如果需要直角或证明垂直时,也往往作出直径即可解决问题,推论也是证明弦是直径常用的办法.
3、对圆的内接四边形定理的理解
(1)“内对角”是圆内接四边形的专用名词,是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角.
(2)定理的另一个含义是对角和相等(都为180°).
(3)定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据.
(4)使用定理时,要注意观察图形,不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置.
二、解题方法技巧点拨
1、圆心角和圆周角之间的换算
例1、已知:
如图,AB为⊙O的直径,弦CD交AB于P,且∠APD=60°,∠COB=30°,求∠ABD的度数.
例2、如图,△ABC中,AB=AC,∠A=80°,以AB为直径的半圆交AC于D,交BC于E.求
所对圆心角的度数.
点评:
(1)辅助线AE,构造了“直径上的圆周角是直角”的基本图形,因此在关于直径的问题中,常添辅助线使之构成直角三角形.即有直径,得直角.
(2)本题还有副产品BE=EC,你注意了吗?
该副产品有时很有用.
仿解:
如图,BC为半圆O的直径,点F是弧BC上一动点(点F不与B、C重合),A是弧BF上的中点,设∠FBC=α,∠ACB=β.
⑴当α=50°时,求β的度数。
⑵猜想α与β之间的关系,并给与证明。
2、圆内角、圆外角、圆周角之间的运算题
圆内角:
角的顶点在圆内的角叫做圆内角.
圆外角:
角的顶点在圆外,并且两边都和圆相交的角.
例3、如图,圆的弦AB、CD延长线交于P点,AD、BC交于Q点,∠P=28°,
∠AQC=92°,求∠ABC的度数.
分析:
圆内角和圆外角都是通过圆周角建立联系,故圆内角∠AQC与圆外角∠P可通过圆周角∠ABC(∠ADC)与∠A(∠C)建立起联系。
点评:
⑴圆内角与圆外角都通过圆周角建立联系.
⑵同弧对的圆内角、圆外角、圆周角之间的大小关系是:
圆内角>圆周角>圆外角.
⑶圆内角等于它所对弦对的圆周角与它对顶角所对的弧对的周角之和.(如图,
∠AQC=∠ABC+∠A).
⑷圆外角等于它所截两条弧所对的圆周角之差(如图,∠P=∠ABC-∠A).
3、与圆周角有关的证明
例4、如图,△ABC内接于⊙O,AE⊥BC于D,交⊙O于E,AF为⊙O的直径.
⑴求证:
∠BAF=∠CAE.
(2)求证:
AB·AC=AD·AF;
(3)若过O作ON⊥AB于N,则ON与CE之间有何数量关系?
例5、如图,AB是△ABC外接圆O的直径,D为⊙O上一点,且DE⊥CD交BC于E,
求证:
EB·CD=DE·AC.
例6、如图,△ABC是⊙O的内接三角形,⊙O的直径BD交AC于E,
AF⊥BD于F,延长AF交BC于G.求证:
AB2=BG·BC.
例7、已知:
⊙O1的圆心O1在⊙O2上,且两圆交于A、B两点,O1D为⊙O2的弦,交⊙O1于C,求证:
O1C2=O1E·O1D.
点评:
在圆中有弧中点时,常用以下三种辅助线.
①过弧中点作半径;②连等弧对的圆心角和圆周角;③连等弧对的弦.
4、与圆的内接四边形的有关计算问题
例8、如图,已知AB是半圆O的直径,∠BAC=40°,D是AC上任意一点,那么∠D的度数是________.
仿解:
如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,OD⊥BC于E,交弧BC于D.
(1)请写出四个不同类型的正确结论;
(2)若BC=8,ED=2,求⊙O的半径.
(3)连CD,设∠BDC=
,∠ABC=
,探究
与
之间的关系式,并给给予适当的说明。
例9、已知:
四边形ABCD内接于⊙O,且∠BOD=100°.求∠A的度数.(注意:
此题不止一种情形)
仿解:
已知⊙O中弦AB的长等于半径长,则弦AB所对的圆周角的度数为 .
5、与圆的内接四边形有关的证明问题
例10、如图,已知:
AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,G是
上任意一点,AG、DC的延长线交于F.求证:
∠FGC=∠AGD.
点评:
圆内接四边形的性质是沟通圆外角和圆内角的桥梁,此题的关键是添加辅助线,构造圆内接四边形.
变式:
①此题条件不变,问DG·CG是否与AG·FG相等.
②是否有AC2=AG·AF成立?
6、巧妙构造四点共圆解题.
例11、在等腰△ABC中,AC=BC,∠C=1000,点P在△ABC的外部,并且PC=BC,求∠APB的度数。
思路点拨:
由题中的条件AC=BC=PC,联想到圆的定义,画出以点C为圆心,AC为半径的圆,巧妙地构造出圆心角∠ACB=1000,圆周角∠APB=500问题,使此题得以突破与解决。
三、优选精练
★基础演练
窗体顶端
1、下列命题中,错误的是( )
A.90°的圆角所对的弦一定是直径; B.相等的圆周角所对的弦长也相等;
C.圆周角等于其所对弧的度数的一半; D.同弧所对的圆周角也相等
2、如图,已知直线BC切⊙O于点C,PD为⊙O的直径,BP的延长线与CD的延长线交于点A,∠A=28°,∠B=26°,则∠PDC= .
3、如图所示,P为等边三角形ABC外接圆上一点,则∠APB的度数是
4、如图,⊙O1和⊙O2相交于A、B,分别过A、B作两条直线与⊙O1交于C、E,与⊙O2交于E、F,如∠ADF=100°,那么∠ACE= .
第2题图 第3题图第4题图第5题图
5、如图,四边形OADC中,A、D、C三点在以O为圆心的圆周上,延长AO交⊙O于B点,已知∠BOC=20°,那么∠ADC
6、(2009肇庆)9.如图4,⊙O是正方形ABCD的外接圆,点P在⊙O上,则∠APB等于
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7、如图,AB是⊙O的直径,C是圆上一点,作弦CD⊥AB,当C在半圆上移动时,∠OCD的平分线交圆周于一点E,此点( )
A.是
的中点;B.是
的3等分点;C.距点B和C等远;D.距点A和C等远
8、如图,⊙O的内接四边形ABCD的对角线交于P,已知AB=BC,求证:
△ABD∽△DPC。
9、如图,半圆的半径为2cm,点C、D三等分半圆,求阴影部分面积.
★★能力提升
10、(07年重庆)已知,如图:
AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=
。
给出以下五个结论:
∠EBC=
;
BD=DC;
AE=2EC;劣弧
是劣弧
的2倍;⑤AE=BC。
其中正确结论的序号是。
11、如图,量角器外沿上有A、B两点,它们的读数分别是70°、40°,则∠1的度数为.
12、(2008年海南)如图8,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BAC=30°,点P在线段OB上运动.设∠ACP=x,则x的取值范围是.
13、(07年广西柳州、北海)如图所示,AB=AC,AB为⊙O的直径,AC、BC分别交⊙O于E、D,连结ED、BE.
(1)试判断DE与BD是否相等,并说明理由;
(2)如果BC=6,AB=5,求BE的长.
14、(2009南充市)如图8,半圆的直径AB=10,点C在半圆上,BC=6.
(1)求弦AC的长;
(2)若P为AB的中点,PE⊥AB交AC于点E,求PE的长.
15、(2009黄冈市)如图,已知AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,连结BC,AC,过点C作直线CD⊥AB于点D,点E是AB上一点,直线CE交⊙O于点F,连结BF,与直线CD交于点G.求证:
16、(2009年衢州)如图,AD是⊙O的直径.
(1) 如图①,垂直于AD的两条弦B1C1,B2C2把圆周4等分,则∠B1的度数是 ,∠B2的度数是 ;
(2) 如图②,垂直于AD的三条弦B1C1,B2C2,B3C3把圆周6等分,分别求∠B1,∠B2,∠B3的度数;
(3) 如图③,垂直于AD的n条弦B1C1,B2C2,B3C3,…,BnCn把圆周2n等分,请你用含n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案).
17、(2008陕西)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线.过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE.
(1)求证:
AC=AE;
(2)求△ACD外接圆的半径.
18、(2009成都)如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC=BC,∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连结CD,G是CD的中点,连结0G.
(1)判断0G与CD的位置关系,写出你的结论并证明;
(2)求证:
AE=BF;
(3)若
,求⊙O的面积。
19、(2010浙江金华)如图,AB是⊙O的直径,C是
的中点,CE⊥AB于E,BD交CE于点F.
(1)求证:
CF=BF;
(2)若CD=6,AC=8,求⊙O的半径与CE的长.
20、(2010湖北荆门)如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异C和动点P,已知BC:
CA=4:
3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合),过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.
(1)求证:
AC·CD=PC·BC;
(2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长;
(3)当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大?
并求出这个最大面积S。
★★★拓展延伸
21、如图,⊙O1与⊙O2交于A、B两点,点O1在⊙O2上,⊙O2的弦O1C交AB、⊙O1于D、E。
求证:
(1)
;
(2)E为△ABC的内心。
22、如图,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,AC⊥BD于E,OF⊥AB于F,求证:
CD=2OF.
23、如图,已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连结FB、FC。
(1)求证:
FB=FC;
(2)
;(3)若AB是△ABC的外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=6cm,求AD的长。
24、如图,直线AB经过⊙O的圆心,且与⊙O相交于A、B两点,点C在⊙O上,且
∠AOC=30°,点P是直线AB上一个动点(不与点O重合),直线OC与⊙O相交于点Q,问:
是否存在点P,使QP=QO?
如果存在,那么这样的点P共有几个?
并求出∠OCP的大小;如果不存在,请说明理由.
第24题图 第24题备用图1 第24题备用图2
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