实验一 插值方法实验.docx

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实验一插值方法实验

《计算方法》

实验报告

学院：

信息学院

专业：

计算机科学与技术

指导教师：

班级学号：

姓名：

计算机科学与工程系

实验一插值方法

一.实验目的

（1）熟悉数值插值方法的基本思想，解决某些实际插值问题，加深对数值插值方法的理解。

（2）熟悉Matlab编程环境，利用Matlab实现具体的插值算法，并进行可视化显示。

二.实验要求

用Matlab软件实现Lagrange插值、分段线性插值、三次Hermite插值、Aitken逐步插值算法，并用实例在计算机上计算和作图。

三.实验内容

1.实验题目

i

0

1

2

3

x

0.46

047

0.48

0.49

y

0.4846555

0.4937452

0.5027498

0.5116683

（1）已知概率积分

的数据表

构造适合该数据表的一次、二次和三次Lagrange插值公式，输出公式及其图形，并计算x=0.472时的积分值。

（2）将区间[-5,5]分为10等份，求作

的分段线性插值函数，输出函数表达式及其图形，并计算x=3.3152时的函数值。

（3）仿照附录C中“文件1.2逐步插值”程序（Neville算法，课本227页）编写相应的Aitken逐步插值算法的程序，根据下表所给数据分别利用上述两种算法求正弦积分

在x=0.462的值，并比较它们的结果。

x

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

y

0.29850

0.39646

0.49311

0.58813

0.68122

（4）运行C中“文件1.3分段三次Hermite插值”程序（课本228页），要求自行选择实验数据

2.设计思想

（1）Lagrange插值：

Lagrange具有累加的嵌套结构，容易编制其计算程序。

事实上，在逻辑上表现为二重循环，内循环（j循环）累乘求得系数，然后再通过外循环（i循环）累加得出插值结果y。

（2）分段线性插值：

分段插值是将被插值函数逐步多项式化。

分段插值的处理过程分两步，将区间分成几个子段，并在每个子段上构造插值多项式装配在一起，作为整个区间的插值函数。

在分化的每个节点给出数据，连接相邻节点得一折线，该折线函数可以视作插值问题的解。

（3）Neville插值：

Neville插值的基本思想和Aitken插值一样，不同的是Neville插值每次选取的两个插值节点都是上一步相邻节点插值后得到的，而不是新的插值节点，这样得到的插值函数和原函数更加接近。

Atiken逐步插值：

Aitken插值是对三步插值转化为两步插值的重复，先将前两个插值点插值生成新的数据，然后与第三个插值点进行新的两点插值，不断重复这个插值过程，每一步增加一个新的节点，直到遍历所有节点为止，最终获得与原函数更加接近的插值函数。

（4）Hermite插值：

Hermite插值是Lagrange插值的综合与推广，，为了保证插值函数能更好地密合原来的函数，要求“过点”，即两者在节点上有相同的函数值，而且要求“相切”，即在节点上还具有相同的导数值。

3.对应程序

（1）Lagrange插值

function[y0,N]=Lagrange_eval（X,Y,x0）

%X,Y是已知的差值点坐标点

%x0是插值点

%y0是Lagrange多项式在x0处的值

%N是Lagrange插值函数的权系数

m=length（X）;

N=zeros（m,1）;

y0=0;

fori=1:

m

N（i）=1;

forj=1:

m

ifj~=i

N（i）=N（i）*（x0-X（j））/（X（i）-X（j））;

end

end

y0=y0+Y（i）*N（i）;

end

（2）分段插值

symsfx;

f=1/（1+x^2）;

N=input（'请输入插值节点数N='）;

X=-5:

10/N:

5;

Y=zeros（1,length（X））;

fori=1:

（N+1）

x=X（i）;

Y（i）=eval（f）;

end

M=-5:

0.01:

5;

y=zeros（1,length（M））;

n=1;

fori=1:

N

forx=-5:

0.01:

5

ifx=X（i）

y（n）=Y（i）*（x-X（i+1））/（X（i）-X（i+1））+Y（i+1）*（x-X（i））/（X（i+1）-X（i））;

n=n+1;

end

end

end

ezplot（f,[-5,5]）

holdon

x=-5:

0.01:

5;

plot（x,y,'r'）;

（3）Neville逐步插值

functiony0=Neville_eval（X,Y,x0）

%X,Y是已知的插值点的坐标

%x0是插值点

%y0是多项式在x0处的值

m=length（X）;

P=zeros（m,1）;

P1=zeros（m,1）;

P=Y;

fori=1:

m

P1=P;

k=1;

forj=i+1:

m

k=k+1;

P（j）=P1（j-1）+（P1（j）-P1（j-1））*（x0-X（k-1））/（X（j）-X（k-1））;

end

ifabs（P（m）-P（m-1））<10^-6;

y0=P（m）;

return;

end

end

y0=P（m）;

Atiken逐步插值

functiony0=Aitken_eval（X,Y,x0）

%X,Y是已知的插值点的坐标

%x0是插值点

%y0是多项式在x0处的值

m=length（X）;

P=zeros（m,1）;

P1=zeros（m,1）;

P=Y;

fori=1:

m

P1=P;

k=1;

forj=i+1:

m

k=k+1;

P（j）=P1（j-1）+（P1（j）-P1

（1））*（x0-X（k-1））/（X（j）-X

（1））;

end

ifabs（P（m）-P（m-1））<10^-6;

y0=P（m）;

return;

end

end

y0=P（m）;

（4）Hermite插值

functiony0=Hermite_interp（X,Y,DY,x0）

%X,Y是已知插值点向量序列

%DY是插值点处的导数值

%x0是插值点横坐标

%y0是待求的分段三次Hemite插值多项式在x0处的值

%N表示向量长度

N=length（X）;

fori=1:

N

ifx0>=X（i）&x0<=X（i+1）

k=i;

break;

end

end

a1=x0-X（k+1）;

a2=x0-X（k）;

a3=X（k）-X（k+1）;

y0=（a1/a3）^2*（1-2*a2/a3）*Y（k）+（-a2/a3）^2*（1+2*a1/a3）*Y（k+1）+（a1/a3）^2*a2*DY（k）+（-a2/a3）^2*a1*DY（k+1）;

4.实验结果

列出相应的运行结果。

如果要求可视化，则同时需要给出相应的图形。

（1）Lagrange插值

一次Lagrange插值：

运行结果：

>>X=[0.46,0.47];

>>Y=[0.4846555,0.4937452];

>>x0=0.472;

>>[y0,N]=Lagrange_eval（X,Y,x0）

y0=

0.49556314000000

N=

-0.20000000000000

1.20000000000000

插值系数与作图：

>>x1=0;

>>[y1,N]=Lagrange_eval（X,Y,x1）;

>>x2=1;

>>[y2,N]=Lagrange_eval（X,Y,x2）;

>>k=（y2-y1）/（x2-x1）

k=

0.90897000000001

>>x=[x1,x2];

>>y=[y1,y2];

>>plot（x,y）

二次Lagrange插值

差值结果：

>>X=[0.46,0.47,0.48];

>>Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498];

>>x0=0.472;

>>[y0,N]=Lagrange_eval（X,Y,x0）

y0=

0.49555292800000

N=

-0.08000000000000

0.96000000000000

0.12000000000000

插值系数与作图：

>>x1=0;

>>[y1,N]=Lagrange_eval（X,Y,x1）;

>>x2=1;

>>[y2,N]=Lagrange_eval（X,Y,x2）;

>>k=（y2-y1）/（x2-x1）

k=

0.87918499999967

>>x=[x1,x2];

>>y=[y1,y2];

>>plot（x,y）

三次Lagrange插值

差值结果：

>>X=[0.46,0.47,0.48,0.49];

>>Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498,0.5116683]；

>>x0=0.472;

>>[y0,N]=Lagrange_1（X,Y,x0）

>>[y0,N]=Lagrange_eval（X,Y,x0）

y0=

0.49555296000000

N=

-0.04800000000000

0.86400000000000

0.21600000000000

-0.03200000000000

插值系数与作图

>>x1=0;

>>[y1,N]=Lagrange_eval（X,Y,x1）;

>>x2=1;

>>[y2,N]=Lagrange_eval（X,Y,x2）;

>>k=（y2-y1）/（x2-x1）

k=

0.83708499999011

>>x=[x1,x2];

>>y=[y1,y2];

>>plot（x,y）

（2）分段差值

差值结果：

>>Y=interp1（x,y,3.3152,'spline'）

Y=

.0834********

作图：

（原函数：

蓝色，插值函数：

红色）

>>fenduan_eval

请输入插值节点数N=6

（3）Neville逐步插值

>>X=[0.3,0.4,0.5,0.6,0.7];

>>Y=[0.29850,0.39646,0.49311,0.58813,0.68122];

>>x0=0.462;

>>y0=Neville_eval（X,Y,x0）

y0=

0.45655811276280

Aitken逐步插值

>>X=[0.3,0.4,0.5,0.6,0.7];

>>Y=[0.29850,0.39646,0.49311,0.58813,0.68122];

>>x0=0.462;

>>y0=Aitken_eval（X,Y,x0）

y0=

0.77480886915945

（4）分段三次Hermite插值

>>X=[0.3,0.4,0.5,0.6,0.7];

>>Y=log（X）;

>>DY=1./X;

>>x0=0.462;

>>y0=Hermite_interp（X,Y,DY,x0）

y0=

-0.7722

四.实验体会

通过本次课程设计，我初步掌握了MATLAB运用，了解了matlab的基本编程思想，学会了matlab的基本语法与常用操作命令，加深了对于Lagrange插值、分段线性插值、Neville逐步插值、Aitken逐步插值、Hermite插值的理解；培养了独立工作能力和创造力；更加精进了编程的能力；综合运用专业及基础知识，解决实际数学问题的能力；深入的了解和体会了计算方法—算法设计及其matlab实现的基本原理与学习思路；在本次课程设计中，在老师的精心指导下，收益匪浅。

同时对数学的研究有了更深入的认识，并对以往所掌握的数学及编程知识有了回顾及更深入的探索。

对于各种插值方法的精度分析也有了清晰的认识，并对各种插值算法有了深刻的的理解；Lagrange插值在高次插值时同原函数插值偏差大，拉格朗日插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法。

但是由于拉格朗日的插值多项式和每个节点都有关，当改变节点个数时，需要重新计算。

且当增大插值阶数时容易出现龙格现象。

分段线性插值是将整个区间分成许多小段，运用低次插值，从而提高精度。

分段线性插值算法简单，计算量小，但精度不高。

Neville插值的基本思想和Aitken插值一样，不同的是Neville插值每次选取的两个插值节点都是上一步相邻节点插值后得到的，而不是新的插值节点，这样得到的插值函数和原函数更加接近。

Aitken插值是对三步插值转化为两步插值的重复，先将前两个插值点插值生成新的数据，然后与第三个插值点进行新的两点插值，不断重复这个插值过程，每一步增加一个新的节点，直到遍历所有节点为止，最终获得与原函数更加接近的插值函数。

Hermite插值是Lagrange插值的综合与推广，，为了保证插值函数能更好地密合原来的函数，要求“过点”，即两者在节点上有相同的函数值，而且要求“相切”，即在节点上还具有相同的导数值。

这就保证了有较高的精度。