普通高等学校招生全国统一考试全国大纲卷数学试题 文科解析版.docx

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普通高等学校招生全国统一考试全国大纲卷数学试题文科解析版

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2011年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修+选修I）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

第Ⅰ卷

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在．试．题．卷．上．作．答．无．效．.

3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

一、选择题

（1）设集合U={1,2,3,4},M={1,2,3},N={2,3,4},则ð（U

MIN）=（）

（A）{1，2}

【答案】D

（B）{2，3}

（C）{2，4}

（D）{1，4}

【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.

【解析】Q

MIN={2,3},∴ðU（MIN）={1,4}

（2）函数y=2

x（x≥0）的反函数为（）

x2x2

（A）y=

（x∈R）

4

（B）

y=

（x≥0）

4

（C）y=4x2（x∈R）

【答案】B

（D）y=4x2（x≥0）

【命题意图】本题主要考查反函数的求法.

y2

【解析】由原函数反解得x=,又原函数的值域为y≥0,所以函数y=2

4

x（x≥0）的反函数为

2

y=x（x≥0）.

4

rr1

（3）设向量a,b满足|a|=|b|=1,a⋅b=-

2

则a+2b=（）

（A）

【答案】B

（B）

（C）5（D）

【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.

rrr

22

rrur21rr

【解析】|a+2b|

=|a|

+4a⋅b+4|b|

=1+4⨯（-

）+4=3,所以a+2b=

2

⎪

⎧x+y≤6

（4）若变量x，y满足约束条件⎨x-3y≤-2，则z=2x+3y的最小值为（）

⎩

⎪x≥1

（A）17（B）14（C）5（D）3

【答案】C

【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.

【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线z=2x+3y过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.

（5）下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是（）

（A）a＞b+1

【答案】A

（B）

a＞b-1

（C）

a2＞b2

（D）

a3＞b3

【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.

【解析】即寻找命题P,使P⇒a>b,且a>b推不出P,逐项验证知可选A.

（6）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2-Sk=24，则k=

（A）8（B）7（C）6（D）5

【答案】D

【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.

【解析】解法一S

得k=5.

k+2

-

Sk

=[（k+2）⨯1+（k+2）（k+1）⨯2]-[k⨯1+k（k-1）⨯2]=4k+4=24，解

22

解法二:

Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=[1+（k+1）⨯2]+（1+k⨯2）=4k+4=24，解得k=5.

（7）设函数f（x）=cosωx（ω>0），将y=f（x）的图像向右平移图像重合，则ω的最小值等于

1

π

个单位长度后，所得的图像与原

3

（A）

3

（B）3（C）6（D）9

【答案】C

【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.

ππ

【解析】由题意将y=f（x）的图像向右平移

个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了

33

是此函数周期的整数倍,得2π⨯k=π（k∈Z）,解得ω=6k,又ω>0,令k=1,得ω=6.

ω3min

（8）已知直二面角α-l-β,点A∈α，AC⊥l,C为垂足,B∈β，BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1，则CD=（）

（A）2（B）

【答案】C

（C）

（D）1

【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.

【解析】因为α-l-β是直二面角,AC⊥l,∴AC⊥平面

β,∴AC⊥BC

∴BC=,又BD⊥l,∴CD=

（9）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）（A）12种（B）24种（C）30种（D）36种

【答案】B

【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.

4

【解析】第一步选出2人选修课程甲有C2=6种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有2⨯2种选法，根据分步计数原理，有6⨯4=24种选法.

（10）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1-x）,则f（-5）=（）

2

1

（A）-

2

【答案】A

（B）-（C）1

44

1

（D）

2

【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法.关键是把通过周期性和奇

偶性把自变量-转化到区间[0,1]上进行求值.

2

【解析】由f（x）是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:

f（-5）=f（-5+2）=f（-1）=-f

（1）=-2⨯1⨯（1-1）=-1

2222222

（11）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离C1C2=

（A）4（B）4

【答案】C

（C）8（D）8

【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.

【解析】由题意知圆心在直线y=x上并且在第一象限,设圆心坐标为（a,a）（a>0）,则

a=,即a2-10a+17=0,所以由两点间的距离公式可求出

C1C2=

==8.

（12）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成600二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为

（A）7π（B）9π（C）11π（D）13π

【答案】D

【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.

【解析】如图所示,由圆M的面积为4π知球心O到圆M的距离

OM=23,在Rt∆OMN中,∠OMN=30︒,∴

ON=1OM=,故圆N的半径r=

2

的面积为S=πr2=13π.

=,∴圆N

第Ⅱ卷

注意事项：

1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。

2第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在．试．题．卷．上．作．答．无．效．。

3第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.

（注意：

在．试．卷．上．作．答．无．效．）

（13）（1-x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为.

【答案】0

【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.

【解析】由T=Cr（-x）r=（-1）rCrxr得x的系数为-10,x9的系数为-C9

=-10,所以x的系数

r+1101010

与x9的系数之差为0.

3π

（14）已知α∈（π,）,tanα=2,则cosα=.

2

【答案】-5

5

【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系式.要注意角的范围，进而确定值的符号.

3π

【解析】α∈（π,）,tanα=2,则cosα=-.

25

（15）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.

2

【答案】

3

【命题意图】本题主要考查正方体中异面直线AE与BC所成的角.

【解析】取A1B1的中点M连接EM，AM，AE，则∠AEM就是异面直线AE与BC所成的角。

在∆AEM

22+32-52

中，cos∠AEM==.

2⨯2⨯33

（16）已知F1、F2分别为双曲线C:

x2y2

-

=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），

927

AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2|=.

【答案】6

【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理，双曲线的第一定义和性质.

【解析】QAM为∠FAF的平分线，∴|AF2|=|MF2|=4=1∴|AF|=2|AF|

|AF1||MF1|82

又点A∈C，由双曲线的第一定义得|AF1|-|AF2|=2|AF2|-|AF2|=|AF2|=2a=6.

三．解答题：

本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分l0分）（注意：

在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）

设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.

【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可。

【解析】设{an}的公比为q,由题设得

⎧

⎨6a

a1q=6

+aq=30

…………………………………3分

⎩11

⎧a1=3⎧a1=2

解得⎨q=2或⎨q=3，…………………………………6分

nn

当a1

⎩⎩

nn

=3,q=2时，a=3⨯2n-1,S=3⨯（2n-1）；

当a1

=2,q=3时，a

=2⨯3n-1,S

=3n-1

……………………………10分

（18）（本小题满分12分）（注意：

在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知asinA+csinC-

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若A=750,b=2,求a，c.

2asinC=bsinB.

【思路点拨】第（I）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。

（II）在（I）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解.

【解析】（I）由正弦定理得a2+c2-2ac=b2…………………………3分

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.

故cosB=

2，因此B=45.…………………………………6分

2

（II）sinA=sin（30+45）

=sin30cos45+cos30sin45

=2+6

4

…………………………………8分

sinA2+6

故a=b⨯==1+

sinB

sinC

2

sin60

c=b⨯=2⨯=

.…………………………………12分

sinBsin45

（19）（本小题满分l2分）（注意：

在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）

（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（II）求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及次独立重复试验发生k次的概率，考查考生分析问题、解决问题的能力.

【解析】记A表示事件：

该地的1位车主购买甲种保险：

B表示事件：

该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。

C表示事件：

该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D表示事件：

该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

E表示事件：

该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买.

（I）P（A）=0.5,

P（B）=0.3,C=A+B

……………………………3分

P（C）=P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8

……………………………6分

（II）D=C,P（D）=1-P（C）=1-0.8=0.2,……………………………9分

3

P（E）=C2⨯0.2⨯0.82=0.384.……………………………12分

（20）（本小题满分l2分）（注意：

在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）

如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD,BC⊥CD，侧面

SAB为等边三角形.AB=BC=2,CD=SD=1.（Ⅰ）证明：

SD⊥平面SABS

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的大小。

【分析】第（I）问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这

个条件，找出AB的中点E，连结SE，DE，就做出了解决这个C

问题的关键辅助线。

（II）本题直接找线面角不易找出，要找到与AB平行的其它线

B

进行转移求解。

A

【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的

计算，注重与平面几何的综合.

解法一：

（Ⅰ）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，连结SE，则

SE⊥AB，SE=.

又SD=1,故ED2=SE2+SD2,

所以∠DSE为直角.………………3分

由AB⊥DE,AB⊥SE,DEISE=E,得AB⊥平面

SDE,所以AB⊥SD.

SD与两条相交直线AB、SE都垂直.所以SD⊥平面

S

SAB.………………6分

另解:

由已知易求得SD=1,AD=5,SA=2,于是

C

SA2+SD2=AD2.可知SD⊥SA,同理可得SD⊥SB,又SAISB=S.所以SD⊥平面SAB.………………6分（Ⅱ）由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE.

作SF⊥DE,垂足为F,则SF⊥平面

SD⨯SEAEB

ABCD,SF==.

DE2

作FG⊥BC,垂足为G,则FG=DC=1.连结SG.则SG⊥BC.

又BC⊥FG,SGIFG=G,故BC⊥平面SFG,平面SBC⊥平面SFG.……9分

作FH⊥SG,H为垂足,则FH⊥平面SBC.

SF⨯FG

FH==,即F到平面SBC的距离为.

SG7

由于ED//BC,所以ED//平面SBC,E到平面SBC的距离d也为.

7

设AB与平面SBC所成的角为α,则sinα=d=

EB

α=arcsin

7

21

.……12分

7

解法二：

以C为原点,射线CD为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设D（1,0,0）,则A（2,2,0）、B（0,2,0）.

又设S（x,y,z）,则x>0,y>0,z>0.

（Ⅰ）AS=（x-2,y-2,z）,BS=（x,y-2,z）,DS=（x-1,y,z）,由|AS|=|BS|得

=,

故x=1.

由|DS|=1得y2+z2=1,

又由|BS|=2得x2+（y-2）2+z2=4,

即y2+z2-4y+1=0,故y=1,z=3.………………3分

22

1uur

33uur

33uur13

于是S（1,,）,AS=（-1,-,）,BS=（1,-,）,DS=（0,,）,

22222222

DS⋅AS=0,DS⋅BS=0.

故DS⊥AS,DS⊥BS,又ASIBS=S,

所以SD⊥平面SAB.………………6分

（Ⅱ）设平面SBC的法向量a=（m,n,p）,则a⊥BS,a⊥CB,a⋅BS=0,a⋅CB=0.

uur

又BS=（1,-

3uur

）,CB=（0,2,0）,

22

⎧m-3n+3p=0,

故⎨22

………………9分

⎪⎩2n=0

取p=2得a=（-

uurr

3,0,2）,又AB=（-2,0,0）,

uurr

AB⋅a

cos=uurr=.

|AB|⋅|a|7

故AB与平面SBC所成的角为arcsin

21

.………………12分

7

（21）（本小题满分l2分）（注意：

在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）

已知函数f（x）=x3+3ax2+（3-6a）x+12a-4（a∈R）

（Ⅰ）证明：

曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）

（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得最小值，x0∈（1，3）求a的取值范围.

【分析】第（I）问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出切线方程.（II）第（II）问是含参问题，关键是抓住方程f'（x）=0的判别式进行分类讨论.

解：

（I）f'（x）=3x2+6ax+3-6a

.………………2分

由f（0）=12a-4,f'（0）=3-6a得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为

y=（3-6a）x+12a-4

由此知曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）.………………6分

（II）由f'（x）=0得x2+2ax-1-2a=0.

（i）当--1≤a≤2-1时，f（x）没有极小值；.………………8分

（ii）当a>-1或a<--1时，由f'（x）=0得

x=-a-a2+2a-1,x=-a+

12

故x0=x2.由题设知1<-a+

当a>-1时，不等式1<-a+

当a<--1时，解不等式1<-a+

<3，

<3无解；

a2+2a-1<3得-5

2

2-1

综合（i）（ii）得a的取值范围是（-5,--1）

2

..………………12分

（22）（本小题满分l2分）（注意：

在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）

2y2

已知O为坐标原点，F为椭圆C：

x+=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-的

2

直线l与C交与A、B两点，点P满足OA+OB+OP=0.

（I）证明：

点P在C上；

（II）设点P关于点O的对称点为Q，证明：

A、P、B、Q四点在同一圆上.

【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。

【分析】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把

OA+OB+OP=0.用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来.从而求出点P的坐标代入椭圆方

程验证即可证明点P在C上;（II）此问题证明有两种思路：

思路一：

关键是证明∠APB,∠AQB互补.

通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用到角公式.

思路二：

根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.

2y2

【解析】（I）F（0,1）,l的方程为y=-

2x+1,代入x+=1并化简得

2

4x2-22x-1=0.…………………………2分设A（x1,y1）,B（x2,y2）,P（x3,y3）,

则x1=

2-6,x=

4

2+6,

4

x+x=2,y+y=-

2（x+x）+2=1,

1221212

2

由题意得x3=-（x1+x2）=-

2,y3=-（y1+y2）=-1,

所以点P的坐标为（-

2,-1）.

2

2

2y2

经验证点P的坐标（-

-1）满足