高中数学必修三全册知识点总结.docx
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高中数学必修三全册知识点总结
第1讲算法初步
一.算法的概念
1.算法的概念
1、算法定义:
在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.
2.算法的特点:
(1)有穷性:
一个算法在执行有限个步骤之后,必须结束.
(2)确定性:
算法的每一个步骤和次序应该是确定的.
(3)可行性:
原则上算法能够精确地元算,而且人们用笔和纸做有限次即可完成.
(4)不唯一性:
求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法.
(5)输出:
一个算法有0个或多个输入,以刻画运算对象的初始条件.所谓0个输入是指算法本身已经给出了初始条件.
(6)输出:
一个算法有1个或多个输出,以反映对输入数据加工后的结果,没有输出的算法是毫无意义的.
3.算法的描述:
自然语言、程序框图、程序语言。
例1、写出1×2×3×4×5×6的一个算法.
解:
按照逐一相乘的程序进行
第一步:
计算1×2,得到2;
第二步:
将第一步的运算结果2与3相乘,得到6;
第三步:
将第二步的运算结果6与4相乘,得到24;
第四步:
将第三步的运算结果24与5相乘,得到120;
第五步:
将第四的运算结果120与6相乘,得到720;
第六步:
输出结果.
例2、写出按从小到大的顺序重新排列
三个数值的算法.
解:
(1).输入
三个数值;
(2).从三个数值中挑出最小者并换到
中;
(3).从
中挑出最小者并换到
中;
(4).输出排序的结果.
二.程序框图
1、程序框图基本概念:
(一)程序构图的概念:
程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分:
表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。
(二)构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不可少的。
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法中任何需要输入、输出的位置。
处理框
赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断框
判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”。
学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下:
1、使用标准的图形符号。
2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
3、除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。
判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。
5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
(三)、算法的三种基本逻辑结构:
顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构:
2、条件结构:
3、循环结构:
注意:
1循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。
因此,循环结构中一定包含条件结构,但不允许“死循环”。
2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。
计数变量用于记录循环次数,累加变量用于输出结果。
计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一次。
例、设计一个计算1+2+3+……+100的值得算法,并画出程序框图。
三.输入、输出语句和赋值语句
1、输入语句
2、输出语句
3、赋值语句
四.条件语句
1、条件语句的一般格式有两种:
(1)IF—THEN—ELSE语句;
(2)IF—THEN语句。
2、IF—THEN—ELSE语句IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1,对应的程序框图为图2。
IF条件THEN
语句1
ELSE
语句2
ENDIF
图1图2
3、IF—THEN语句IF—THEN语句的一般格式为图3,对应的程序框图为图4。
五.循环语句
循环结构是由循环语句来实现的。
对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计语言中也有当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)两种语句结构。
即WHILE语句和UNTIL语句。
WHILE条件
循环体
WEND
1、WHILE语句
WHILE语句的一般格式是对应的程序框图是
DO
循环体
LOOPUNTIL条件
2、UNTIL语句
UNTIL语句的一般格式是对应的程序框图是
六.算法案例
1、辗转相除法与更相减损术
(1)、辗转相除法。
也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:
(1):
给定两个正整数m,n;
(2):
计算m除以n所得的余数r;
(3):
m=n,n=r;
(4)若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步。
(2)、更相减损术
我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。
在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤:
可半者半之,不可半者,副置分母•子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。
翻译为:
(1):
任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。
若是,用2约简;若不是,执行第二步。
(2):
以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。
继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。
2、秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念:
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值问题
把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0改写成如下形式:
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0
=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0
=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0
=......
=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即v1=anx+an-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0
这样,把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
例2、
例3、
3、进位制
概念:
进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。
可使用数字符号的个数称为基数,基数为n,即可称n进位制,简称n进制。
现在最常用的是十进制,通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。
对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示。
比如:
十进数57,可以用二进制表示为111001,也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39,它们所代表的数值都是一样的。
一般地,若k是一个大于一的整数,那么以k为基数的k进制可以表示为:
,
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001
(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数
把十进制转化为别的进制
把别的进制转化为十进制
把别的进制转化为别的进制
第2讲统计
一、三种抽样方法
1、统计的的基本思想是:
用样本的某个量去估计总体的某个量
总体:
在统计中,所有考察对象的全体。
个体:
总体中的每一个考察对象。
样本:
从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。
样本容量:
样本中个体的数目。
2、抽样方法:
要求:
总体中每个个体被抽取的机会相等
(1)简单随机抽样:
抽签法和随机数表法
简单随机抽样的特点是:
不放回、等可能.
抽签法步骤
(1)先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可从1到N)
(2)把号码写在形状、大小相同的号签上,号签可用小球、卡片、纸条等制作
(3)将这些号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌(4)抽签时,每次从中抽出一个号签,连续抽取n次
(5)抽出样本
随机数表法步骤
(1)将总体中的个体编号(编号时位数要统一);
(2)选定开始的数字;(3)按照一定的规则读取号码;(4)取出样本
(2)系统抽样
系统抽样特点:
容量大、等距、等可能.
步骤:
1.编号,随机剔除多余个体,重新编号
2.分组(段数等于样本容量),确定间隔长度k=N/n
3.抽取第一个个体编号为i
4.依预定的规则抽取余下的个体编号为i+k,i+2k,…
(3)分层抽样
分层抽样特点:
总体差异明显、按所占比例抽取、等可能.
步骤:
1.将总体按一定标准分层;
2.计算各层的个体数与总体的个体数的比;
3.按比例确定各层应抽取的样本数目
4.在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)
二、用样本估计总体
1、用样本的频率分布估计总体的分布
作样本频率分布直方图的步骤:
(1)求极差;
(2)决定组距与组数;(组数=极差/组距)
(3)将数据分组;
(4)列频率分布表(分组,频数,频率);
(5)画频率分布直方图。
根据频率分布表做频率分布直方图应注意两点:
⑴纵轴的意义:
⑵横轴的意义:
样本内容(每个矩形下面是组距).
例1、为了了解中学生的身高情况,对育才中学同龄的50名男学生的身高进行了测量,结果如下:
(单位:
cm)
175168180176167 181162173171177
171171174173174 175177166163160
166166163169174 165175165170158
174172166172167 172175161173167
170172165157172 173166177169181
列出样本的频率分布表,画出频率分布直方图.
解:
在这个样本中,最大值为181,最小值为157,它们的差是24,可以取组距为4,分成7组,根据题意列出样本的频率分布表如下:
分组
频数
频率
156.5~160.5
3
0.06
160.5~164.5
4
0.08
164.5~168.5
12
0.24
168.5~172.5
12
0.24
172.5~176.5
13
0.26
176.5~180.5
4
0.08
180.5~184.5
2
0.04
合计
50
1.00
频率分布直方图(略)
茎叶图作图步骤:
1.将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分.
2.将最小茎和最大茎之间的数按大小顺序排成一列,写在左(右)侧;
3.将各个数据的叶按大小次序写在其右(左)侧.
例、某中学高二
(2)班甲、乙两名同学自高中以来每场数学考试成绩如下:
甲的得分:
95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107;
乙的得分:
83,86,93,99,88,130,98,114,98,79,101.
画出两人数学成绩茎叶图,请根据茎叶图对两人的成绩进行比较.
解:
甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下图:
甲乙
56
56179
89618638
41593988
71031
0114
从这个茎叶图上可看出,乙同学的得分情况是大致对称的,中位数是99;甲同学的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,中位数是89.因此乙同学发挥比较稳定,总体得分情况比甲同学好.
2、用样本的数据特征估计总体的数据特征
(1)、在频率直方图中计算众数、平均数、中位数
众数:
在样本数据的频率分布直方图中,就是最高矩形的中点的横坐标。
中位数:
在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等
平均数:
频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
(2)、标准差和方差:
描述了数据的波动范围,离散程度
标准差
方差
扩展:
3.两变量之间的关系
(1)相关关系——非确定性关系
(2)函数关系——确定性关系
4.回归直线方程:
例如:
5.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
其基本步骤是:
画出两个变量的散点图;
求回归直线方程;
并用回归直线方程进行预报。
第3讲概率
一.随机事件的概率
1、基本概念:
(1)必然事件:
在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件;
(2)不可能事件:
在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件;
(3)确定事件:
必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;
(4)随机事件:
在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件;
(5)事件:
确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母A,B,C……表示。
2、概率与频数、频率:
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;称事件A出现的比例fn(A)=
为事件A出现的概率:
对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率。
频率与概率的区别与联系:
随机事件的频率,指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值
,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。
二.概率的基本性质
1、各种事件的关系:
(1)并(和)事件
(2)交(积)事件
(3)互斥事件
(4)对立事件
2、概率的基本性质:
(1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;
(2)P(E)=1(E为必然事件);
(3)P(F)=0(F为必然事件);
(4)当事件A与B互斥时,满足加法公式:
P(A∪B)=P(A)+P(B);
(5)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B);
三.古典概型
(1)古典概型的使用条件:
试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
(2)古典概型的解题步骤;①求出总的基本事件数;
②求出事件A所包含的基本事件数,然后利用公式
(3)用随机模拟法估计概率的步骤:
建立概率模型;
进行模拟实验,可用计算机或计算器模拟实验;
统计试验结果,估计出概率
扩展知识:
(4)基本事件的研究方法
列举法
树状图法
表格法
(5)用公式求出事件的概率,但列举时应按某种规律(选定基元,按从大到小或者从小到大列出)一一列举,做到不重不漏,且要注意是“有序”问题还是“无序”问题,抽取是“放回抽样”还是“不放回抽样”
四.几何概型
基本概念:
(1)几何概率模型:
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度
(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;
(2)几何概型的概率公式:
(3)几何概型的特点:
1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;
2)每个基本事件出现的可能性相等.
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