通用版202x高考数学一轮复习 21 函数及其表示讲义 理.docx

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通用版202x高考数学一轮复习21函数及其表示讲义理

第一节函数及其表示

1．函数与映射

函数

映射

两集合A，B

设A，B是非空的数集

设A，B是非空的集合

对应关系f：

A→B

如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

名称

称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数

称对应f：

A→B为从集合A到集合B的一个映射

记法

y＝f（x），x∈A

对应f：

A→B是一个映射

2．函数的有关概念

（1）函数的定义域、值域：

在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域❶；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域❷.显然，值域是集合B的子集．

（2）函数的三要素：

定义域、值域和对应关系．

（3）相等函数：

如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

（4）函数的表示法：

解析法、图象法、列表法．

3．分段函数❸

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．,

（1）确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．

（2）如果函数y＝f（x）用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．

（3）如果函数y＝f（x）用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.

值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．

（1）分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

（3）各段函数的定义域不可以相交.

[熟记常用结论]

（1）若f（x）为整式，则函数的定义域为R；

（2）若f（x）为分式，则要求分母不为0；

（3）若f（x）为对数式，则要求真数大于0；

（4）若f（x）为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；

（5）若f（x）描述实际问题，则要求使实际问题有意义．

如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式（组）．

[小题查验基础]

一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）对于函数f：

A→B，其值域是集合B.（　　）

（2）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．（　　）

（3）函数是一种特殊的映射．（　　）

（4）若A＝R，B＝（0，＋∞），f：

x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射．（　　）

（5）分段函数是由两个或几个函数组成的．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×　（5）×

二、选填题

1．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是（　　）

解析：

选C　A选项，函数定义域为M，但值域不是N，B选项，函数定义域不是M，值域为N，D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系．故选C.

2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是（　　）

A．y＝（

）2　　　　　B．y＝

＋1

C．y＝

＋1D．y＝

＋1

解析：

选B　对于A，函数y＝（

）2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝

＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.

3．函数f（x）＝

＋

的定义域为________．

解析：

由题意得

解得x≥0且x≠2.

答案：

[0,2）∪（2，＋∞）

4．若函数f（x）＝

则f（f

（2））＝________.

解析：

由题意知，f

（2）＝5－4＝1，f

（1）＝e0＝1，

所以f（f

（2））＝1.

答案：

1

5．已知函数f（x）＝ax3－2x的图象过点（－1,4），则f

（2）＝________.

解析：

∵函数f（x）＝ax3－2x的图象过点（－1,4）

∴4＝－a＋2，∴a＝－2，即f（x）＝－2x3－2x，

∴f

（2）＝－2×23－2×2＝－20.

答案：

－20

[典例精析]

（1）已知f

＝lgx，求f（x）的解析式．

（2）已知f（x）是二次函数，且f（0）＝0，f（x＋1）＝f（x）＋x＋1，求f（x）的解析式．

（3）已知函数f（x）满足f（－x）＋2f（x）＝2x，求f（x）的解析式．

[解]　

（1）（换元法）令

＋1＝t，得x＝

，

代入得f（t）＝lg

，又x>0，所以t>1，

故f（x）的解析式是f（x）＝lg

，x∈（1，＋∞）．

（2）（待定系数法）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），

由f（0）＝0，知c＝0，f（x）＝ax2＋bx，

又由f（x＋1）＝f（x）＋x＋1，

得a（x＋1）2＋b（x＋1）＝ax2＋bx＋x＋1，

即ax2＋（2a＋b）x＋a＋b＝ax2＋（b＋1）x＋1，

所以

解得a＝b＝

.

所以f（x）＝

x2＋

x，x∈R.

（3）（解方程组法）由f（－x）＋2f（x）＝2x，①

得f（x）＋2f（－x）＝2－x，②

①×2－②，得3f（x）＝2x＋1－2－x.

即f（x）＝

.

故f（x）的解析式是f（x）＝

，x∈R.

[解题技法]

求函数解析式的3种方法及口诀记忆

待定系数法

当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式

换元法

如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式

解方程组法

如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式

口诀记忆

解析式，如何定，待定换元解方程；

已知函数有特征，待定系数来确定；

复合函数问根源，内函数，先换元；

两个函数有关系，方程组中破玄机.

[过关训练]

1．[口诀第3句]已知函数f（x－1）＝

，则函数f（x）的解析式为（　　）

A．f（x）＝

　　　　　　B．f（x）＝

C．f（x）＝

D．f（x）＝

解析：

选A　令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f（t）＝

，

即f（x）＝

.故选A.

2．[口诀第2句]若二次函数g（x）满足g

（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，则g（x）＝________.

解析：

设g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），

∵g

（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，

∴

解得

∴g（x）＝3x2－2x.

答案：

3x2－2x

3．[口诀第4句]已知f（x）满足2f（x）＋f

＝3x，则f（x）＝________.

解析：

∵2f（x）＋f

＝3x，①

把①中的x换成

，得2f

＋f（x）＝

.②

联立①②可得

解此方程组可得f（x）＝2x－

（x≠0）．

答案：

2x－

（x≠0）

[考法全析]

考法

（一）　已知函数解析式求定义域

[例1]　求下列函数的定义域：

（1）f（x）＝

；

（2）f（x）＝

.

[解]　

（1）要使函数f（x）有意义，则

解不等式组得x≥3.

因此函数f（x）的定义域为[3，＋∞）．

（2）要使函数f（x）有意义，则

即

解不等式组得－1＜x＜1.

因此函数f（x）的定义域为（－1,1）．

考法

（二）　求抽象函数的定义域

[例2]　已知函数f（x）的定义域为（－1,1），则函数g（x）＝f

＋f（x－1）的定义域为（　　）

A．（－2,0）　　　　　　B．（－2,2）

C．（0,2）D.

[解析]　由题意得

∴

∴0＜x＜2，∴函数g（x）＝f

＋f（x－1）的定义域为（0,2），故选C.

[答案]　C

考法（三）　已知函数的定义域求参数的值（范围）

[例3]　

（1）若函数y＝

的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　）

A.

B.

C.

D.

（2）若函数f（x）＝

的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．

[解析]　

（1）∵函数y＝

的定义域为R，

∴mx2＋4mx＋3≠0，

∴m＝0或

即m＝0或0＜m＜

，

∴实数m的取值范围是

.

（2）∵函数f（x）＝

的定义域为{x|1≤x≤2}，

∴

解得

∴a＋b＝－

.

[答案]　

（1）D　

（2）－

[规律探求]

看个性

考法

（一）是根据具体的函数解析式求定义域，已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式（组），得出不等式（组）的解集即可．

考法

（二）是求抽象函数的定义域，有如下解法：

（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；

（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]上的值域．

考法（三）是考法

（一）的逆运用，通常是转化为含参数的不等式求解

找共性

1.谨记函数定义域的有关口诀

定义域，是何意，自变量，有意义；

分式分母不为零，对数真数只取正；

偶次根式要非负，三者结合生万物；

和差积商定义域，不等式组求交集.

2.函数定义域问题注意事项

（1）函数f（g（x））的定义域指的是x的取值范围，而不是g（x）的取值范围；

（2）求函数的定义域时，对函数解析式先不要化简；

（3）求出函数的定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式；

（4）函数f（x）±g（x）的定义域是函数f（x），g（x）的定义域的交集

[过关训练]

1．[口诀第1、2、3、4句]y＝

－log2（4－x2）的定义域是（　　）

A．（－2,0）∪（1,2）　　　B．（－2,0]∪（1,2）

C．（－2,0）∪[1,2）D．[－2,0]∪[1,2]

解析：

选C　要使函数有意义，则

解得x∈（－2,0）∪[1,2），

即函数的定义域是（－2,0）∪[1,2）．

2．[口诀第1句]已知函数y＝f（x2－1）的定义域为[－

，

]，则函数y＝f（x）的定义域为________．

解析：

因为y＝f（x2－1）的定义域为[－

，

]，所以x∈[－

，

]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f（x）的定义域为[－1，2]．

答案：

[－1,2]

3．[口诀第1、3句]若函数f（x）＝

的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________________．

解析：

若函数f（x）＝

的定义域为实数集R，

则x2＋ax＋1≥0恒成立，即Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，

即实数a的取值范围是[－2,2]．

答案：

[－2,2]

[全析考法过关]

[考法全析]

考法

（一）　分段函数求值

[例1]　

（1）（2019·石家庄模拟）已知f（x）＝

则f

＝________.

（2）已知f（x）＝

则f（7）＝__________________________________.

[解析]　

（1）∵f

＝log3

＝－2，

∴f

＝f（－2）＝

－2＝9.

（2）∵7＜9，

∴f（7）＝f（f（7＋4））＝f（f（11））＝f（11－3）＝f（8）．

又∵8＜9，

∴f（8）＝f（f（12））＝f（9）＝9－3＝6.

即f（7）＝6.

[答案]　

（1）9　

（2）6

考法

（二）　求参数或自变量的值（范围）

[例2]　

（1）（2018·全国卷Ⅰ）设函数f（x）＝

则满足f（x＋1）＜f（2x）的x的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1]　　　　　　B．（0，＋∞）

C．（－1,0）D．（－∞，0）

（2）（2019·长春模拟）已知函数f（x）＝

若f（a）＋f

（1）＝0，则实数a＝________.

[解析]　

（1）∵f（x）＝

∴函数f（x）的图象如图所示．

结合图象知，要使f（x＋1）＜f（2x），

则需

或

∴x＜0，故选D.

（2）当a>0时，由f（a）＋f

（1）＝0得2a＋2＝0，无实数解；当a≤0时，由f（a）＋f

（1）＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件．

[答案]　

（1）D　

（2）－3

[规律探求]

看个性

考法

（一）是求分段函数的函数值．在求分段函数的函数值时，一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集，再代入相应的关系式．若涉及复合函数求值，则从内到外逐层计算，当自变量的值不确定时，要分类讨论．

考法

（二）是在考法

（一）的基础上迁移考查分段函数中，已知函数值或不等关系求参数或自变量的值或范围．解与分段函数有关的方程或不等式，从而求得自变量或参数的取值（范围）时，应根据每一段的解析式分别求解．解得值（范围）后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围

找共性

（1）无论考法

（一）还是考法

（二）都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件；

（2）解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题

[过关训练]

1．已知函数f（x）＝

则f（1＋log25）＝________.

解析：

因为2＜log25＜3，所以3＜1＋log25＜4，则4＜2＋log25＜5，则f（1＋log25）＝f（1＋1＋log25）＝f（2＋log25）＝

＝

×

＝

.

答案：

2．（2018·衡阳模拟）已知函数f（x）＝

（a∈R），若f（f（－1））＝1，则a＝________.

解析：

∵f（－1）＝2－（－1）＝2，∴f（f（－1））＝f

（2）＝4a＝1，解得a＝

.

答案：

一、题点全面练

1．（2019·重庆调研）函数y＝log2（2x－4）＋

的定义域是（　　）

A．（2,3）　　　　　　　B．（2，＋∞）

C．（3，＋∞）D．（2,3）∪（3，＋∞）

解析：

选D　由题意，得

解得x>2且x≠3，所以函数y＝log2（2x－4）＋

的定义域为（2,3）∪（3，＋∞），故选D.

2．（2018·合肥质量检测）已知函数f（x）＝

则f（f

（1））＝（　　）

A．－

B．2

C．4D．11

解析：

选C　∵f

（1）＝12＋2＝3，∴f（f

（1））＝f（3）＝3＋

＝4.故选C.

3．已知函数f（x）＝5|x|，g（x）＝ax2－x（a∈R）．若f（g

（1））＝1，则a＝（　　）

A．1B．2

C．3D．－1

解析：

选A　由已知条件可知f（g

（1））＝f（a－1）＝5|a－1|＝1，∴|a－1|＝0，得a＝1.故选A.

4．（2018·荆州联考）若函数f（x）的定义域是[1,2019]，则函数g（x）＝

的定义域是（　　）

A．[0,2018]B．[0,1）∪（1,2018]

C．（1,2019]D．[－1,1）∪（1,2018]

解析：

选B　由题知，1≤x＋1≤2019，解得0≤x≤2018，又x≠1，所以函数g（x）＝

的定义域是[0,1）∪（1，2018]．

5．已知f

＝2x－5，且f（a）＝6，则a等于（　　）

A.

B．－

C.

D．－

解析：

选A　令t＝

x－1，则x＝2t＋2，f（t）＝2（2t＋2）－5＝4t－1，故f（x）＝4x－1，则f（a）＝4a－1＝6，解得a＝

.

6．（2019·石家庄模拟）已知f（x）＝

（0＜a＜1），且f（－2）＝5，f（－1）＝3，则f（f（－3））＝（　　）

A．－2B．2

C．3D．－3

解析：

选B　由题意得，f（－2）＝a－2＋b＝5，①

f（－1）＝a－1＋b＝3，②

联立①②，结合0＜a＜1，得a＝

，b＝1，

所以f（x）＝

则f（－3）＝

－3＋1＝9，f（f（－3））＝f（9）＝log39＝2.

7．（2018·福州二模）已知函数f（x）＝

若f（a）＝3，则f（a－2）＝（　　）

A．－

B．3

C．－

或3D．－

或3

解析：

选A　当a>0时，若f（a）＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2（满足a>0）；当a≤0时，若f（a）＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，舍去．于是，可得a＝2.故f（a－2）＝f（0）＝4－2－1＝－

.故选A.

8．（2019·合肥质检）已知函数f（x）满足f（2x）＝2f（x），且当1≤x＜2时，f（x）＝x2，则f（3）＝（　　）

A.

B.

C.

D．9

解析：

选C　∵f（2x）＝2f（x），且当1≤x＜2时，f（x）＝x2，∴f（3）＝2f

＝2×

2＝

.

9．（2019·合肥模拟）已知f（x）的定义域为{x|x≠0}，且3f（x）＋5f

＝

＋1，则函数f（x）的解析式为________________________．

解析：

用

代替3f（x）＋5f

＝

＋1中的x，得3f

＋5f（x）＝3x＋1，

∴

①×3－②×5得f（x）＝

x－

＋

（x≠0）．

答案：

f（x）＝

x－

＋

（x≠0）

10．设函数f（x）＝

若f（m）>f（－m），则实数m的取值范围是________．

解析：

函数f（x）＝

当m>0时，f（m）>f（－m），即－lnm>lnm，即lnm＜0，解得0＜m＜1；

当m＜0时，f（m）>f（－m），即ln（－m）>－ln（－m），

即ln（－m）>0，解得m＜－1.

综上可得，m＜－1或0＜m＜1.

答案：

（－∞，－1）∪（0,1）

二、专项培优练

（一）易错专练——不丢怨枉分

1．若函数y＝f（x＋1）的值域为[－1,1]，则函数y＝f（3x＋2）的值域为（　　）

A．[－1,1]B．[－1,0]

C．[0,1]D．[2,8]

解析：

选A　函数y＝f（x＋1）的值域为[－1,1]，由于函数中的自变量取定义域内的任意数时，函数的值域都为[－1,1]，故函数y＝f（3x＋2）的值域为[－1,1]．故选A.

2．（2018·山西名校联考）设函数f（x）＝lg（1－x），则函数f[f（x）]的定义域为（　　）

A．（－9，＋∞）B．（－9,1）

C．[－9，＋∞）D．[－9,1）

解析：

选B　f[f（x）]＝f[lg（1－x）]＝lg[1－lg（1－x）]，其定义域为

的解集，解得－9＜x

＜1，所以f[f（x）]的定义域为（－9,1）．故选B.

3．（2018·安阳三校联考）若函数f（x）＝

的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是（　　）

A．[0,4）B．（0,4）

C．[4，＋∞）D．[0,4]

解析：

选D　由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．

当m＝0时，1≥0恒成立；

当m≠0时，则

解得0＜m≤4.

综上可得，0≤m≤4.

4．（2019·珠海质检）已知函数f（x）＝

的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1]B.

C.

D.

解析：

选C　由题意知y＝lnx（x≥1）的值域为[0，＋∞），故要使f（x）的值域为R，则必有y＝（1－2a）x＋3a为增函数，且1－2a＋3a≥0，所以1－2a>0，且a≥－1，解得－1≤a＜

.

5．（2018·合肥质检）已知函数f（x）＝

的值域是[0，＋∞），则实数m的取值范围是________．

解析：

当m＝0时，函数f（x）＝

的值域是[0，＋∞），显然成立；当m>0时，Δ＝（m－3）2－4m≥0，解得0＜m≤1或m≥9.显然m＜0时不合题意．综上可知，实数m的取值范围是[0,1]∪[9，＋∞）．

答案：

[0,1]∪[9，＋∞）

（二）技法专练——活用快得分

6．[排除法]设x∈R，定义符号函数sgnx＝

则（　　）

A．|x|＝x|sgnx|B．|x|＝xsgn|x|

C．|x|＝|x|sgnxD．|x|＝xsgnx

解析：

选D　当x＜0时，|x|＝－x，x|sgnx|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgnx＝（－x）·（－1）＝x，排除A、B、C，故选D.

7．[特殊值法]函数y＝

（a>0，a≠1）的定义域和值域都是[0,1]，则loga

＋loga

＝（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选C　当x＝1时，y＝0，则函数y＝

在[0,1]上为减函数，故a>1.∴当x＝0时，y＝1，则

＝1，∴a＝2.∴log2

＋log2

＝log2

＝log28＝3.

8．[数形结合法]设函数f（x）＝

则满足f（x）＋f（x－1）>1的x的取值范围是________．

解析：

画出函数f（x）的大致图象如图，易知函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增．又因为x>x－1，且x－（x－1）＝1，f（0）＝1，所以要使f（x）＋f（x－1）>1成立，则结合函数f（x）的图象知只需x－1>－1，解得x>0.故所求x的取值范围是（0，＋∞）．

答案：

（0，＋∞）

（三）素养专练——学会更学通

9．[逻辑推理]具有性质f

＝－f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：

①f（x）＝x－

；②f（x）＝x＋

；③f（x）＝

其中满足“倒负”变换的函数是（　　）

A．①③B．②③

C．①②③D．①②

解析：

选A　对于①，f

＝

－x＝－f（x），满足题意；对于②，f

＝

＋x＝f（x），不满足题意；对于③，f

＝

即f

＝

故f

＝－f（x），满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选A.

10．[数学运算]已知函数f（x）＝

g（x）＝2x－1，则f（g

（2））＝__________，f（g（x））的值域为________．

解析：

g

（2）＝22－1＝3，∴f（g

（2））＝f（3）＝2.易得g（x）的值域为（－1，＋∞），∴若－1＜g（x）≤0，f（g（x））＝[g（x）]2－1∈[－1,0）；若g（x）>0，f（g（x））＝g（x）－1∈（－1，＋∞），∴f（g（x））的值域是[－1，＋∞）．

答案：

2　[－1，＋∞）

11．[数学抽象]设函数f：

R→R，满足f（0）＝1，且对任意x，y∈R都有f（xy＋1）＝

f（x）f（y）－f（y）－x＋2，则f（2018）＝________.

解析：

令x＝y＝0，则f

（1）＝f（0）·f（0）－f（0）－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2.令y＝0，则f

（1）＝f（x）f（0）－f（0）－x＋2，将f（0）＝1，f

（1）＝2代入，可得f（x）＝1＋x，所以f（2018）＝2019.

答案：

2019

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