运筹学试题及答案.docx
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运筹学试题及答案
一、填空题:
(每空格2分,共16分)
1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种。
2、在求运费最少的调度运输问题中,如果某一非基变量的检验数为4,则说明如果在该空格中增加一个运量运费将增加4。
3、“如果线性规划的原问题存在可行解,则其对偶问题一定存在可行解”,这句话对还是错错
4、如果某一整数规划:
MaxZ=X1+X2
X1+9/14X2≤51/14
-2X1+X2≤1/3
X1,X2≥0且均为整数
所对应的线性规划(松弛问题)的最优解为X1=3/2,X2=10/3,MaxZ=6/29,我们现在要对X1进行分枝,应该分为X1≤1和X1≥2。
5、在用逆向解法求动态规划时,fk(sk)的含义是:
从第k个阶段到第n个阶段的最优解。
6.假设某线性规划的可行解的集合为D,而其所对应的整数规划的可行解集合为B,那么D和B的关系为D包含B
7.已知下表是制订生产计划问题的一张LP最优单纯形表(极大化问题,约束条件均为“≤”型不等式)其中X3,X4,X5为松驰变量。
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
X4
3
0
0
-2
1
3
X1
4/3
1
0
-1/3
0
2/3
X2
1
0
1
0
0
-1
Cj-Zj
0
0
-5
0
-23
问:
(1)写出B-1=
(2)对偶问题的最优解:
Y=(5,0,23,0,0)T
8.线性规划问题如果有无穷多最优解,则单纯形计算表的终表中必然有___某一个非基变量的检验数为0______;
9.极大化的线性规划问题为无界解时,则对偶问题_无解_________;
10.若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求,假设Xi=bi不符合整数要求,INT(bi)是不超过bi的最大整数,则构造两个约束条件:
Xi≥INT(bi)+1和Xi≤INT(bi),分别将其并入上述松驰问题中,形成两个分支,即两个后继问题。
11.知下表是制订生产计划问题的一张LP最优单纯形表(极大化问题,约束条件均为“≤”型不等式)其中X4,X5,X6为松驰变量。
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X1
2
1
1
0
2
0
1
X3
2/3
0
0
1
1
0
4
X5
1
0
-2
0
1
1
6
Cj-Zj
0
0
0
-4
0
-9
问:
(1)对偶问题的最优解:
Y=(4,0,9,0,0,0)T
(2)写出B-1=
二、计算题(60分)
1、已知线性规划(20分)
MaxZ=3X1+4X2
X1+X2≤5
2X1+4X2≤12
3X1+2X2≤8
X1,X2≥0
其最优解为:
基变量
X1
X2
X3
X4
X5
X3
3/2
0
0
1
-1/8
-1/4
X2
5/2
0
1
0
3/8
-1/4
X1
1
1
0
0
-1/4
1/2
σj
0
0
0
-3/4
-1/2
1)写出该线性规划的对偶问题。
2)若C2从4变成5,最优解是否会发生改变,为什么
3)若b2的量从12上升到15,最优解是否会发生变化,为什么
4)如果增加一种产品X6,其P6=(2,3,1)T,C6=4该产品是否应该投产为什么
解:
1)对偶问题为
Minw=5y1+12y2+8y3
y1+2y2+3y3≥3
y1+4y2+2y3≥4
y1,y2≥0
2)当C2从4变成5时,
σ4=-9/8
σ5=-1/4
由于非基变量的检验数仍然都是小于0的,所以最优解不变。
3)当若b2的量从12上升到15
X=9/8
29/8
1/4
由于基变量的值仍然都是大于0的,所以最优解的基变量不会发生变化。
4)如果增加一种新的产品,则
P6’=(11/8,7/8,-1/4)T
σ6=3/8>0
所以对最优解有影响,该种产品应该生产
2、已知运输问题的调运和运价表如下,求最优调运方案和最小总费用。
(共15分)。
销地
产地
B1
B2
B3
产量
A1
5
9
2
15
A2
3
1
7
11
A3
6
2
8
20
销量
18
12
16
解:
初始解为
B1
B2
B3
产量/t
A1
15
15
A2
11
11
A3
18
1
1
20
销量/t
18
12
16
计算检验数
B1
B2
B3
产量/t
A1
5
13
0
15
A2
-2
0
0
11
A3
0
0
0
20
销量/t
18
12
16
由于存在非基变量的检验数小于0,所以不是最优解,需调整
调整为:
B1
B2
B3
产量/t
A1
15
15
A2
11
11
A3
7
12
1
20
销量/t
18
12
16
重新计算检验数
B1
B2
B3
产量/t
A1
5
13
0
15
A2
0
2
2
11
A3
0
0
0
20
销量/t
18
12
16
所有的检验数都大于等于0,所以得到最优解
3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者,规定每个承包商只能且必须承包一个项目,试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者,总费用为多少各承包商对工程的报价如表2所示:
(15分)
项目
投标者
A
B
C
D
甲
15
18
21
24
乙
19
23
22
18
丙
26
17
16
19
丁
19
21
23
17
答最优解为:
X=0100
1000
0010
0001
总费用为50
4.考虑如下线性规划问题(24分)
Maxz=-5x1+5x2+13x3
.-x1+x2+3x3≤20
12x1+4x2+10x3≤90
x1,x2,x3≥0
回答以下问题:
1)求最优解
2)求对偶问题的最优解
3)当b1由20变为45,最优解是否发生变化。
4)求新解增加一个变量x6,c6=10,a16=3,a26=5,对最优解是否有影响
5)c2有5变为6,是否影响最优解。
答:
最优解为
1)
Cj
-5
5
13
0
0
θ
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
0
X4
20
-1
1
3
1
0
20/3
0
X5
90
12
4
10
0
1
9
Cj-Zj
-5
5
13
0
0
13
X3
20/3
-1/3
1/3
1
1/3
0
20
0
X5
70/3
46/3
22/3
0
-10/3
1
70/22
Cj-Zj
-2/3
2/3
0
-13/3
0
13
X3
185/33
-34/33
0
1
2/11
-1/22
5
X2
35/11
23/11
1
0
-5/11
3/22
-68/33
0
0
-1/11
-1/11
最优解为X1=185/33,X3=35/11
2)对偶问题最优解为
Y=(1/22,1/11,68/33,0,0)T
3)
当b1=45时
X=45/11
-11/90
由于X2的值小于0,所以最优解将发生变化
4)P6’=(3/11,-3/4)T
σ6=217/20>0
所以对最优解有影响。
5)当C2=6
σ1=-137/33
σ4=4/11
σ5=-17/22
由于σ4大于0所以对最优解有影响
5.求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集),每弧旁的数字是(cij,fij)。
(15分)
V1
(5,0)(3,3)
(3,3)
VS(4,1)V2
(4,0)
(9,3)(8,4)
V3
Vt
(6,0)
最大流为:
14
V1
(5,3)(3,3)
(3,0)
V2
Vs(4,4)
(4,1)
(9,7)(8,8)
Vt
V3(6,6)
6.考虑如下线性规划问题(20分)
Maxz=3x1+x2+4x3
.6x1+3x2+5x3≤9
3x1+4x2+5x3≤8
x1,x2,x3≥0
回答以下问题:
1)求最优解;
2)直接写出上述问题的对偶问题及其最优解;
3)若问题中x2列的系数变为(3,2)T,问最优解是否有变化;
4)c2由1变为2,是否影响最优解,如有影响,将新的解求出。
Cj
3
1
4
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
0
X4
9
6
3
5
1
0
0
X5
8
3
4
5
0
1
Cj-Zj
3
1
4
0
0
0
X4
1
3
-1
0
1
-1
4
X3
8/5
3/5
4/5
1
0
1/5
Cj-Zj
3/5
-11/5
0
0
-4/5
3
X1
1/3
1
-1/3
0
1/3
-1/3
4
X3
7/5
0
1
1
-1/5
2/5
Cj-Zj
0
-2
0
-1/5
-3/5
最优解为X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5
2)对偶问题为
Minw=9y1+8y2
6y1+3y2≥3
3y1+4y2≥1
5y1+5y2≥4
y1,y2≥0
对偶问题最优解为y1=1/5,y2=3/5
3)若问题中x2列的系数变为(3,2)T
则P2’=(1/3,1/5)T
σ2=-4/5<0
所以对最优解没有影响
4)c2由1变为2
σ2=-1<0
所以对最优解没有影响
7.求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集),每弧旁的数字是(cij,fij)。
(10分)
V1(4,4)V3
(9,5)(6,3)
VS(3,1)(3,0)(4,1)Vt
(5,3)(7,5)
V2(5,4)V4
解:
V1(4,4)V3
(9,7)(6,4)
(3,2)(4,0)
VsVt
(5,4)(7,7)
V2(5,5)V4
最大流=11
8.某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过A、B、C三种设备加工。
已知生产单位各种产品所需的设备台时,设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表:
ⅠⅡⅢ
设备能力(台.h)
A
B
C
111
1045
226
100
600
300
单位产品利润(元)
1064
1)建立线性规划模型,求获利最大的产品生产计划。
(15分)
2)产品Ⅲ每件的利润到多大时才值得安排生产如产品Ⅲ每件利润增加到50/6元,求最优计划的变化。
(4分)
3)产品Ⅰ的利润在多大范围内变化时,原最优计划保持不变。
(2分)
4)设备A的能力在什么范围内变化时,最优基变量不变。
(3分)
5)如有一种新产品,加工一件需设备A、B、C的台时各为1、4、3h,预期每件为8元,是否值得生产。
(3分)
6)如合同规定该厂至少生产10件产品Ⅲ,试确定最优计划的变化。
(3分)
解:
1)建立线性规划模型为:
MaxZ=10x1+6x2+4x3
x1+x2+x3≤100
10x1+4x2+5x3≤600
2x1+2x2+6x3≤300
xj≥0,j=1,2,3
获利最大的产品生产计划为:
X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(100/3,200/3,0,0,0,100)’Z*=2200/3
2)产品Ⅲ每件利润到20/3才值得生产。
如果产品Ⅲ每件利润增加到50/6元,最优计划的变化为:
X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(175/6,275/6,25,0,0,0)’Z*=775
3)产品Ⅰ的利润在[6,15]变化时,原最优计划保持不变。
4)设备A的能力在[60,150]变化时,最优基变量不变。
5)新产品值得生产。
6)最优计划的变化为:
X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(190/6,350/6,10,0,0,60)’Z*=
9.给出成性规划问题:
(15分)
Minz=2x1+3x2+6x3
x1+2x2+x3≥2
-2x1+x2+3x3≤-3
xj≥0j=1,…,4
要求:
(1)写出其对偶问题。
(5分)
(2)利用图解法求解对偶问题。
(5分)
(3)利用
(2)的结果,根据对偶问题性质写出原问题最优解。
(5分)
解:
1)该问题的LD为:
MaxW=2y1-3y2
y1-2y2≤2
2y1+y2≤3
y1+3y2≤6
y1≥0,y2≤0
2)用图解法求得LD的最优解为:
Y*=(y1,y2)’=(8/5,-1/5)’W*=19/5
3)由互补松弛定理:
原问题的最优解为:
X*=(x1,x2,x3)’=(8/5,1/5,0)’
10.
某部门有3个生产同类产品的工厂(产地),生产的产品由4个销售点(销地)出售,各工厂的生产量,各销售点的销售量(单位.t)以及各工厂到各销售点的单位运价(元/t)示于下表中,要求研究产品如何调运才能使总运量最小(10分)
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
4
11
32
A2
2
10
3
9
20
A3
8
5
11
6
44
销量
16
28
28
24
96╲96
解:
最优调运方案为:
A1-B3和B428t和4t
A2-B1和B416t和4t
A3-B2和B428t和16t
最小总运费为:
460元
11.求解下列0-1规划问题
maxz=3x1+2x2-5x3-2x4+3x5
x1+x2+x3+2x4+x5≤4
7x1+3x3-4x4+3x5≤8
11x1-6x2+3x4-3x5≥3
xj=0或1(j=1,…,5)
解:
最优解为:
x1=x2=1,其他为0,最优目标函数值为5
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