高中数学苏教版必修四教学案第3章 31 两角和与差的三角函数 含答案.docx
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高中数学苏教版必修四教学案第3章31两角和与差的三角函数含答案
第3章三角恒等变换
第1课时 两角和与差的余弦
如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox轴为始边作角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点.
问题1:
求A,B两点的坐标.
提示:
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)
问题2:
求
·
的值.
提示:
·
=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)
=cosαcosβ+sinα·sinβ.
问题3:
若
与
的夹角为θ,求cosθ.
提示:
cosθ=
=cosαcosβ+sinαsinβ.
问题4:
θ与α、β之间有什么关系?
能否用α、β的正、余弦值表示cos(α-β)?
提示:
θ=α-β;cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
两角和与差的余弦公式
(1)cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β;
(2)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β.
1.公式中的角α、β是任意角,特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数,cos(α-β)、cos(α+β)是一个整体.
2.公式特点:
公式右端的两部分为同名三角函数积,连接符号与左边角的连接符号相反,可用口诀“余余、正正、号相反”记忆公式.
[例1] 求下列各式的值:
(1)cos40°cos70°+cos20°cos50°;
(2)
.
[思路点拨]
(1)逆用公式可得角;
(2)7°=15°-8°,可用两角差的余弦公式解决.
[精解详析]
(1)原式=cos40°cos70°+sin70°sin40°
=cos(70°-40°)
=cos30°=
.
(2)原式=
=
=cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°+sin60°sin45°=
.
[一点通] 对非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分求值;要善于逆用或变用公式.
1.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=________.
解析:
原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)
=cos60°=
.
答案:
2.cos105°=________.
解析:
cos105°=cos(60°+45°)
=cos60°cos45°-sin60°sin45°
=
×
-
×
=
.
答案:
3.求
的值.
解:
原式=
=
=
=
.
[例2] 已知α,β∈
,sin(α+β)=-
,sin
=
,求cos
.
[思路点拨] 由α+β,β-
的正弦值已知,可用同角三角函数的基本关系式,结合α,β的范围求其余弦值,所以可利用角变换,α+
=(α+β)-
来求值.
[精解详析] ∵α,β∈
,∴(α+β)∈
.
∴cos(α+β)=
=
.
又
∈
,
∴cos
=-
.
∴cos
=cos
=cos(α+β)cos
+sin(α+β)sin
=
×
+
×
=-
.
[一点通]
(1)解决条件求值问题的关键是:
找出已知条件与待求式之间的角、运算及函数的差异,一般可适当变换已知条件,求得另外函数式的值,以备应用;同时也要注意变换待求式,便于将已知条件及求得的函数值代入,从而达到解题的目的.
(2)在将所求角分解成某两角的和差时,应注意如下变换:
α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β),
2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α)等.
4.已知sinα=
,α∈
,cosβ=-
,β是第三象限角,则cos(α-β)的值为________.
解析:
由sinα=
,α∈(
,π),
得cosα=-
=-
.
又cosβ=-
,β是第三象限角,所以sinβ=-
,
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=
×
+
×
=-
.
答案:
-
5.若α∈(0,π),且cos
=
,则cosα=________.
解析:
∵α∈(0,π),∴α+
∈
,
又∵cos
=
>0,∴α+
∈
.
∴sin
=
.
∴cosα=cos
=cos
cos
+sin
sin
=
×
+
×
=
.
答案:
[例3] 已知α,β为锐角,cosα=
,cos(α+β)=-
,求β的值.
[思路点拨] β=(α+β)-α,然后求得β的某一三角函数值即可求得结论.
[精解详析] ∵α为锐角,且cosα=
,
∴sinα=
=
.
又∵α,β均为锐角,∴0<α+β<π.
又cos(α+β)=-
,
∴sin(α+β)=
=
.
则cosβ=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=
×
+
×
=
,∴β=
.
[一点通] 解决给值求角型题目,一般分三个步骤:
(1)求角的某一三角函数值;
(2)确定角所在的范围;
(3)根据角的范围写出所求的角.
6.已知α、β均为锐角,且sinα=
,cosβ=
,则α-β的值为________.
解析:
∵α、β均为锐角,sinα=
,cosβ=
,
∴cosα=
,sinβ=
.
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=
×
+
×
=
.又sinα ∴0<α<β< ,从而- <α-β<0.故α-β=- . 答案: - 7.已知sinα= ,sinβ= ,且α和β均为钝角,求α+β的值. 解: ∵α和β均为钝角, ∴cosα=- =- , cosβ=- =- . ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ =- × - × = . 由α和β均为钝角,得π<α+β<2π,∴α+β= . 1.求解给角求值问题的方法 (1)给角求值,一般所给出的角都是非特殊角,要仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系,结合三角公式转化为特殊角求解. (2)在解答过程中常会利用诱导公式实现角的前后统一,有时还会用到一些特殊角的三角函数值,如sin =cos = ,sin =cos = ,sin =cos = 等. 2.解决给值(或)求值问题的方法 对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数的值,关键在于“变角”,使“所求角”变为“已知角”.一般地 (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式; (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”; (3)角的拆分方法不唯一,可根据题目合理选择拆分方式. 3.解决给值求角问题的方法 先求出所求角的一个三角函数值,再根据所求的范围确定所求角的具体值. 课下能力提升(二十三)一、填空题 1.cos(x+27°)cos(x-18°)+sin(x+27°)sin(x-18°)=________. 解析: 原式=cos[(x+27°)-(x-18°)]=cos45°= . 答案: 2.若sinα= ,α∈ ,则cos 的值为________. 解析: ∵sinα= 且α∈ , ∴cosα=- , ∴cos =cos cosα+sin sinα=- . 答案: - 3.已知 <β<α< ,sin(α+β)=- ,cos(α-β)= ,则cos2α的值为________. 解析: ∵ <β<α< ,∴- <-β<- . ∴0<α-β< ,π<α+β< . ∴sin(α-β)= = = , cos(α+β)=- =- =- . 于是cos2α=cos[(α+β)+(α-β)] =cos(α+β)·cos(α-β)-sin(α+β)·sin(α-β) = · - · =- . 答案: - 4. sin - cos =________. 解析: 原式=sin sin -cos cos =-cos =-cos =- . 答案: - 5.已知cosα-cosβ= ,sinα-sinβ=- ,则cos(α-β)=________. 解析: 将两条件等式平方后相加得 (cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2 =2-2cos(α-β)= + = ,∴cos(α-β)= . 答案: 二、解答题 6.(广东高考)已知函数f(x)= cos ,x∈R. (1)求f 的值; (2)若cosθ= ,θ∈ ,求f . 解: (1)f = cos = cos =1. (2)∵cosθ= ,θ∈ , ∴sinθ=- =- , ∴f = cos = =- . 7.在△ABC中,已知cosA= ,sinB= ,求cosC. 解: ∵△ABC中,0<A<π,0<B<π, 由cosA= 知sinA= . 又0< < ,∴A> .又sinB= ,且 < < , 若B为锐角,则 <B< ,此时cosB= . 若B为钝角,则 <B< .由于A> ,故B不可能为钝角. ∴cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B) =-cosAcosB+sinAsinB =- × + × = . 8.已知函数f(x)=2cos (其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值; (2)设α,β∈ ,f =- ,f = ,求cos(α+β)的值. 解: (1)∵f(x)=2cos ,ω>0的最小正周期T=10π= ,∴ω= . (2)由 (1)知f(x)=2cos , 而α,β∈ ,f =- ,f = , ∴2cos =- , 2cos = , 即cos =- ,cosβ= , 于是sinα= ,cosα= ,sinβ= , ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= × - × =- .第2课时 两角和与差的正弦 问题1: 诱导公式cos =sinα,sin =cosα,其公式作用是什么? 提示: 正弦、余弦的互化. 问题2: 你能把sin(α+β),sin(α-β)表示为余弦的形式吗? 提示: 能.sin(α+β)=cos sin(α-β)=cos . 问题3: 你能推导一下两角和与差的正弦公式吗? 提示: sin(α+β)=cos =cos =cos cosβ+sin sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=cos =sinαcosβ-cosαsinβ 两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α+β) sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β α,β
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