基础大题题目及答案 北京高考数学 各区一模试题汇编.docx
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基础大题题目及答案 北京高考数学 各区一模试题汇编.docx
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基础大题题目及答案北京高考数学各区一模试题汇编
2015北京高考数学各区一模试题汇编
--解析几何--
Alwaysanewstart
项目及名称
页码
长度与韦达定理的
弦长与面积问题
42
多出一两条直线的
中点与垂直问题
45
考察图像与方程的
单动点消元问题
50
利用斜率与向量的
定点与定值问题
53
以上四类常规问题的
答案
58
弦长与面积问题
2015朝阳一模理科19题
19.(本小题满分14分)
已知椭圆
的一个焦点为
,离心率为
.过焦点
的直线
与椭圆
交于
两点,线段
中点为
,
为坐标原点,过
,
的直线
交椭圆于
两点.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)求四边形
面积的最大值.
2015西城一模理科19题
19.(本小题满分14分)
设
,
分别为椭圆
的左、右焦点,点
在椭圆
上,且点
和
关于点
对称.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)过右焦点
的直线
与椭圆相交于
,
两点,过点
且平行于
的直线与椭圆交于另一点
,问是否存在直线
,使得四边形
的对角线互相平分?
若存在,求出
的方程;若不存在,说明理由.
2015顺义一模理科19题
19.(本小题满分14分)
已知椭圆
(I)求椭圆
的离心率;
(II)设椭圆
上在第二象限的点
的横坐标为
,过点
的直线
与椭圆
的另一交点分别为
.且
的斜率互为相反数,
两点关于坐标原点
的对称点分别为
求四边形
的面积的最大值.
中点与垂直问题
2015朝阳一模文科19题
(19)(本小题满分14分)
已知椭圆
的两个焦点分别为
,离心率为
.过焦点
的直线
(斜率不为0)与椭圆
交于
两点,线段
的中点为
,
为坐标原点,直线
交椭圆于
两点.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)当四边形
为矩形时,求直线
的方程.
2015丰台一模理科19题
19.(本小题共14分)
已知椭圆
:
的离心率为
,右顶点
是抛物线
的焦点.直线
:
与椭圆
相交于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)如果
,点
关于直线
的对称点
在
轴上,求
的值.
2015海淀一模理科19题
(19)(本小题满分13分)
已知椭圆
过点
,且离心率
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)是否存在菱形
,同时满足下列三个条件:
①点
在直线
上;
②点
,
,
在椭圆
上;
③直线
的斜率等于
.
如果存在,求出
点坐标;如果不存在,说明理由.
2015西城一模理科19题
19.(本小题满分14分)
设
,
分别为椭圆
的左、右焦点,点
在椭圆
上,且点
和
关于点
对称.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)过右焦点
的直线
与椭圆相交于
,
两点,过点
且平行于
的直线与椭圆交于另一点
,问是否存在直线
,使得四边形
的对角线互相平分?
若存在,求出
的方程;若不存在,说明理由.
2015顺义一模理科19题
19.(本小题满分14分)
已知椭圆
.
(I)求椭圆
的离心率;
(II)设椭圆
与
轴下半轴的交点为
如果直线
交椭圆
于不同的两点
且
构成以
为底边,
为顶点的等腰三角形,判断直线
与圆
的位置关系.
单动点消元问题
2015东城一模文科19题
(19)(本小题共13分)
已知椭圆
:
的左、右焦点分别为
,
,离心率为
,
为椭圆上任意一点且△
的周长等于
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)以
为圆心,
为半径作圆
,当圆
与直线
有公共点时,求△
面积的最大值.
2015石景山一模理科19题
19.(本小题满分14分)
已知椭圆C:
离心率
,短轴长为
.
(Ⅰ)求椭圆
的标准方程;
(Ⅱ)如图,椭圆左顶点为A,过原点O的直线(与坐标
轴不重合)与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别
与y轴交于M,N两点.试问以MN为直径的圆是否经过
定点(与直线PQ的斜率无关)?
请证明你的结论.
2015东城一模理科19题
(19)(本小题共13分)
在平面直角坐标系中
中,动点
到定点
的距离与它到直线
的距离相等.
(Ⅰ)求动点
的轨迹
的方程;
(Ⅱ)设动直线
与曲线
相切于点
,与直线
相交于点
.
证明:
以
为直径的圆恒过
轴上某定点.
定点与定值问题
2015房山一模文科20题
20.(本小题共14分)
已知椭圆
:
的离心率为
,
是椭圆上的任意一点,且点
到椭圆左右焦点
,
的距离和为
.
(Ⅰ)求椭圆
的标准方程;
(Ⅱ)经过点
且互相垂直的直线
、
分别与椭圆交于
、
和
、
两点(
、
、
、
都不与椭圆的顶点重合),
、
分别是线段
、
的中点,
为坐标原点,若
、
分别是直线
、
的斜率,求证:
为定值.
2015丰台一模理科19题
19.(本小题共14分)
动点
到定点
的距离与它到定直线
的距离之比为
.
(Ⅰ)求动点
的轨迹
的方程;
(Ⅱ)已知定点
,
,动点
在直线
上,作直线
与轨迹
的另一个交点为
作直线
与轨迹
的另一个交点为
,证明:
三点共线.
2015海淀一模文科19题
(19)(本小题满分13分)
已知椭圆
过点
,且离心率
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)若椭圆
上存在点
关于直线
对称,求
的所有取值构成的集合
,并证明对于
,
的中点恒在一条定直线上.
2015石景山一模文科19题
19.(本小题满分14分)
x
y
.
.
M
O
N
B
P
Q
如图,已知椭圆C:
的离心率
,短轴的右端点为B,M(1,0)为线段OB的中点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点M任意作一条直线与椭圆C相交于两点P,Q
试问在x轴上是否存在定点N,使得∠PNM=∠QNM?
若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.
2015西城一模文科19题【计算量大】
19.(本小题满分14分)
设点
为椭圆
的右焦点,点
在椭圆
上,已知椭圆
的离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)设过右焦点
的直线
与椭圆相交于
,
两点,记
三条边所在直线的斜率的乘积为
,求
的最大值.
2015北京高考数学各区一模试题汇编
--解析几何答案--
弦长与面积问题
2015朝阳一模理科19题
19.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)由题意可得
解得
,
,
故椭圆的方程为
.…….4分
(Ⅱ)当直线
斜率不存在时
的坐标分别为
,
,
,
四边形
面积为
.
当直线
斜率存在时,设其方程为
,点
,
,
,
,点
到直线
的距离分别为
,则四边形
面积为
.
由
得
,
则
,
,
所以
.
因为
,
所以
中点
.
当
时,直线
方程为
,
由
解得
.
所以
.
当
时,四边形
面积的最大值
.
综上四边形
面积的最大值为
.…………………………14分
2015西城一模理科19题
19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:
由点
和
关于点
对称,得
,…………1分
所以椭圆E的焦点为
,
,………………2分
由椭圆定义,得
.
所以
,
.………………4分
故椭圆E的方程为
.………………5分
(II)解:
结论:
存在直线
,使得四边形
的对角线互相平分.………6分
理由如下:
由题可知直线
,直线PQ的斜率存在,
设直线
的方程为
,直线PQ的方程为
.………7分
由
消去
,
得
,………………8分
由题意,可知
,设
,
,
则
,
,………………9分
由
消去
得
,
由
,可知
,设
,又
,
则
,
.………………10分
若四边形
的对角线互相平分,则
与
的中点重合,
所以
,即
,………………11分
故
.………………12分
所以
.
解得
.
所以直线
为
时,四边形
的对角线互相平分.……14分
(注:
利用四边形
为平行四边形,则有
,也可解决问题)
2015顺义一模理科19题
19.解:
(I)由题意,椭圆
的标准方程为
所以
从而
因此,
故椭圆
的离心率
................................................4分
(II)由题意可知,点
的坐标为
设
的方程为
则
的方程为
........................................5分
由
得
由于
是此方程的一个解.
所以此方程的另一解
同理
..........................................................7分
故直线
的斜率为
......................................................9分
设直线
的方程为
由
得
所以
又原点
到直线
的距离为
所以
的面积
当且仅当
,即
时.
的面积达到最大.且最大值为
...........................................................13分
由题意可知,四边形
为平行四边形,
所以,四边形
的面积
故四边形
面积的最大值为
...........................................................14分
中点与垂直问题
2015朝阳一模文科19题
(19)(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)由题意可得
解得
,
.
故椭圆的方程为
.………5分
(Ⅱ)由题意可知直线
斜率存在,设其方程为
,点
,
,
,
,
由
得
,
所以
.
因为
,
所以
中点
.
因此直线
方程为
.
由
解得
,
.
因为四边形
为矩形,所以
,
即
.
所以
.
所以
.
解得
.故直线
的方程为
.………14分
2015丰台一模理科19题
19.(本小题共14分)
解:
(Ⅰ)抛物线
,
所以焦点坐标为
,即
,
所以
.
又因为
,所以
.
所以
,
所以椭圆
的方程为
.……………………4分
(Ⅱ)设
,
,因为
,
,
所以
,
,
所以
,
所以
.
由
,得
(判别式
),
得
,
,
即
.
设
,则
中点坐标为
,
因为
,
关于直线
对称,
所以
的中点在直线
上,
所以
,解得
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