函数的数值逼近插值.docx

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函数的数值逼近插值

课程名称计算方法

实验项目名称函数的数值逼近－插值

实验成绩指导老师（签名）日期2011-9-16

一.实验目的和要求

1．掌握用Matlab计算Lagrange、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。

2．通过实例学习如何用插值方法解决实际问题。

二.实验内容和原理

1）编程题2-1要求写出Matlab源程序（m文件），并对每一行语句加上适当的注释语句；

2）分析应用题2-2，2-3，2-4，2-5要求将问题的分析过程、Matlab源程序、运行结果和结果的解释、算法的分析等写在实验报告上。

2-1分析应用题

用

在

产生5个节点

。

用以下五种不同的节点构造Lagrange插值公式来计算

处的插值，与精确值比较并进行分析。

functiony=lagr（x0,y0,x）

n=length（x0）;

m=length（x）;

L=zeros（1,n）;

y=zeros（1,m）;

fork=1:

m

s=0;

fori=1:

n

L（i）=1;

forj=1:

n

ifj~=i

L（i）=L（i）*（x（k）-x0（j））/（x0（i）-x0（j））;

end

end

s=s+y0（i）*L（i）;

end

y（k）=s;

end

1）用

构造；

>>x0=[4,9];

>>y0=[2,3];

>>lagr（x0,y0,5）

ans=

2.2000

2）用

构造；

>>x0=[1,4,9];

>>y0=[1,2,3];

>>lagr（x0,y0,5）

ans=

2.2667

3）用

构造；

>>x0=[1,4,9,16];

>>y0=[1,2,3,4];

>>lagr（x0,y0,5）

ans=

2.2540

4）用

构造；

>>x0=[0,1,9,16];

>>y0=[0,1,3,4];

>>lagr（x0,y0,5）

ans=

2.9524

5）用全部插值节点

构造。

>>x0=[0,1,4,9,16];

>>y0=[0,1,2,3,4];

>>lagr（x0,y0,5）

ans=

2.0794

从结果看出，用

构造时误差最小，而用

构造时并没有更精确，误差还更大，所以不是用的构造点越多越准确。

2-2分析应用题

意大利柑橘的产量变化如下表。

使用3次样条插值来估计1962年、1977年和1992年的产量。

将这些结果与相对应的实际值进行比较，并说明计算的精度。

实际值分别为12380，27403和32059（

kg）。

再利用Lagrange插值多项式重新计算。

年份

1965

1970

1980

1985

1990

1991

产量（

kg）

17769

24001

25961

34336

29036

33417

>>x0=[1965,1970,1980,1985,1990,1991];

>>y0=[17769,24001,25961,34336,29036,33417];

>>y1=spline（x0,y0,1962）

y1=

5.1461e+003

>>y2=spline（x0,y0,1977）

y2=

2.2642e+004

>>y3=spline（x0,y0,1992）

y3=

4.1894e+004

利用Lagrange插值多项式计算：

>>x0=[1965,1970,1980,1985,1990,1991];

>>y0=[17769,24001,25961,34336,29036,33417];

>>y1=lagr（x0,y0,1962）

y1=

-7.7765e+004

>>y2=lagr（x0,y0,1977）

y2=

1.5405e+004

>>y3=lagr（x0,y0,1992）

y3=

4.3127e+004

2-3分析应用题

在区间[-1,1]上，在21个平均分布的节点上对函数

进行估计。

计算Lagrange插值多项式和3次样条，并在给定的区间上将两个函数的曲线与

进行比较。

使用干扰数据

来重复计算。

注意观察，对于小扰动，Lagrange插值多项式与3次样条相比，分析哪个更敏感。

>>x=linspace（-1,1,21）;

>>y=sin（2*pi*x）

y=

Columns1through10

0.00000.58780.95110.95110.5878-0.0000-0.5878-0.9511-0.9511-0.5878

Columns11through20

00.58780.95110.95110.58780.0000-0.5878-0.9511-0.9511-0.5878

Column21

-0.0000

>>x0=linspace（-1,1,11）;

>>y0=sin（2*pi*x0）;

>>y1=lagr（x0,y0,x）

y1=

Columns1through10

0.00000.63290.95110.94330.58780.0024-0.5878-0.9522-0.9511-0.5869

Columns11through20

00.58690.95110.95220.5878-0.0024-0.5878-0.9433-0.9511-0.6329

Column21

-0.0000

>>y2=interp1（x0,y0,x,'spline'）

y2=

Columns1through10

0.00000.64940.95110.92410.58780.0048-0.5878-0.9434-0.9511-0.5818

Columns11through20

00.58180.95110.94340.5878-0.0048-0.5878-0.9241-0.9511-0.6494

Column21

-0.0000

可以看出3次样条更敏感。

2-4分析应用题

已知函数表如下：

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

1.7

0.6442

0.7833

0.8912

0.9636

0.9975

0.9917

计算

的近似值。

2-5分析应用题

利用Matlab相关函数分析用下列三种不同的插值逼近著名的Runge函数

1）Lagrange插值；

2）分段线性插值；

3）三次样条插值。

其中取插值节点为区间

上的10等分点，同时列出100等分点上的三种插值结果，比较分析，同时对这三种插值在100等分点上进行作图比较。

>>x=linspace（-1,1,101）;

>>y=1./（1+25*x.^2）;

>>x0=linspace（-1,1,11）;

>>y0=1./（1+25*x0.^2）;

>>y1=lagr（x0,y0,x）;

>>y2=interp1（x0,y0,x）;

>>y3=interp1（x0,y0,x,'spline'）;

>>plot（x,y,'k',x,y1,'g',x,y2,'b',x,y3,'m'）

2-6

分析应用题

运行程序

figure

set（gcf,'menubar','none'）

axes（'position',[0011]）

[x,y]=ginput

然后将你的手直接放在弹出窗口中，用鼠

标点击选取需要的插值点，最后回车得到所有插值点的坐标。

用三次样条插值函数对手的形状进行插值，并作图。

提示：

可用构造“参数曲线”的方法，即在参数区间

上选取

个插值点，然后用三次样条插值构造逼近函数在

个点上的值：

，最后以这

个点

作出图形。

>>m=length（x）;

>>s=（1:

m）;

>>n=（1:

0.05:

m）;

>>u=spline（s,x,n）;

>>v=spline（s,y,n）;

>>plot（x,y,u,v）

2-7分析应用题

美国的人口普查每10年举行一次，下表列出了从1940年到1990年的人口（按千人计）

年

1940年

1950年

1960年

1970年

1980年

1990年

人口

（千）

132165

151326

179323

203302

226542

249633

1）选择一种插值求在1930年、1965年和2010年人口的近似值。

>>x=[1940,1950,1960,1970,1980,1990];

>>y=[132165,151326,179323,203302,226542,249633];

>>spline（x,y,1930）

ans=

1.3918e+005

>>spline（x,y,1965）

ans=

1.9178e+005

>>spline（x,y,2010）

ans=

2.9056e+005

2）1930年的人口大约是123203千。

你认为你得到的1965年和2010年的人口数字精确度如何？

精确度不高。

2-8分析应用题

测得平板表面3*5网格点处的温度分别为：

（二维插值应用）

82

81

80

82

84

79

63

61

65

81

84

84

82

85

86

试作出平板表面的温度分布曲面z=f（x,y）的图形，然后对平面进一步光滑化。

>>x=1:

5;

>>y=1:

3;

>>temps=[8281808284;7963616581;8484828586];

>>mesh（x,y,temps）;

>>pause

>>xi=1:

0.2:

5;

>>yi=1:

0.2:

3;

>>zi=interp2（x,y,temps,xi',yi,'cubic'）;

>>figure

（2）

>>mesh（xi,yi,zi）

优化后：

【MATLAB相关函数】

⏹分段线性插值y=interp1（x0,y0,x）

输入值：

个插值节点对应数组

，以及

个待求点对应的数组

；

输出值：

个待求点对应的数组

。

⏹三次样条插值y=interp1（x0,y0,x,’spline’）或y=spline（x0,y0,x）

输入值：

个插值节点对应数组

，以及

个待求点对应的数组

；

输出值：

个待求点对应的数组

。

三.操作方法与实验步骤（包括实验数据记录和处理）

四.实验结果与分析