高考文数题型秘籍28数列的概念与简单表示法解析版.docx
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高考文数题型秘籍28数列的概念与简单表示法解析版
专题二十八数列的概念与简单表示法
【高频考点解读】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.
【热点题型】
题型一数列的通项公式与递推公式
例1、已知数列{an}的前4项分别为2,0,2,0,…,则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是( )
A.an=1+(-1)n+1 B.an=2sin
C.an=1-cosnπD.an=
【提分秘籍】
数列的通项公式不唯一,如数列-1,1,-1,1,…的通项公式可以为an=(-1)n,或an=
,有的数列没有通项公式.
【举一反三】
在数列{an}中,a1=1,an=1+
(n≥2),则a5=( )
A.
B.
C.
D.
【热点题型】
题型二数列前n项和与通项的关系
例2、下列可作为数列{an}:
1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是( )
A.an=1 B.an=
C.an=2-
D.an=
【提分秘籍】
1.根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,可使用添项、还原、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.
2.注意由前几项写数列的通项,通项公式不唯一.
3.很多数列试题是以an=
.为出发点设计的,求解时要考虑两个方面,一个是根据Sn-Sn-1=an把数列中的和转化为数列通项之间的关系;一个是根据an=Sn-Sn-1把数列中的通项转化为和的关系,先求Sn再求an.
【举一反三】
数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=( )
A.3×44B.3×44+1
C.45D.45+1
【热点题型】
题型三由递推关系求通项公式
例3、已知a1=2,an+1-an=2n+1(n∈N*),则an=________.
(2)在数列{an}中,a1=5,an+1=
an,则an=________.
【答案】
(1)n2+1
(2)5n
【提分秘籍】
由a1和递推关系求通项公式时注意下列方法
(1)累加法:
形如an+1-an=f(n)型
(2)累乘法:
形如
=f(n)型
【举一反三】
已知数列{an}满足a1=33,
=2,则
的最小值为( )
A.9.5 B.10.6 C.10.5 D.9.6
【热点题型】
题型四利用an与Sn关系求通项公式
例4、若数列{an}的前n项和Sn=
an+
,则{an}的通项公式是an=________.
【提分秘籍】
已知{an}的前n项和Sn,求an时应注意以下二点
(1)应重视分类讨论的应用,分n=1和n≥2两种情况讨论;
特别注意an=Sn-Sn-1中需n≥2.
(2)由Sn-Sn-1=an推得的an,当n=1时,a1也适合“an式”,则需统一“合写”.
【举一反三】
若数列{an}满足a1a2a3…an=n2+3n+2,则数列{an}的通项公式为________.
【热点题型】
题型五考查求数列通项
例5、已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求an.
【提分秘籍】构造法求数列通项问题
递推数列是高考考查的热点,由递推公式求通项时,一般先对递推公式变形然后转化为常见的等差、等比数列求其通项,构造新数列求通项是命题热点,常见的类型有:
(1)形如an+1=pan+q或an+1=pan+qn.
(其中p、q均为常数)或an+1=pan+an+b可构造等比数列求解.
(2)形如an+1=
(其中p、q、r≠0)可构造等差数列求解.
【举一反三】
已知数列{an}中,a1=
,an+1=
an+
n+1,求an.
【高考风向标】
1.(2014·江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn=
,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:
对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.
2.(2014·江西卷)已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2)
,其中a<0.
(1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.
3.(2014·新课标全国卷Ⅱ]数列{an}满足an+1=
,a8=2,则a1=________.
4.(2013·湖南卷)对于E={a1,a2,…,a100}的子集X={ai1,ai2,…,aik},定义X的“特征数列”为x1,x2,…,x100,其中xi1=xi2=…=xik=1,其余项均为0.例如:
子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0,…,0.
(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于________;
(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为________.
5.(2013·辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:
数列{an}是递增数列;p2:
数列{nan}是递增数列;p3:
数列
是递增数列;p4:
数列{an+3nd}是递增数列.
其中的真命题为( )
A.p1,p2B.p3,p4
C.p2,p3D.p1,p4
【随堂巩固】
1.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=( )
A.15 B.12 C.-12 D.-15
2.数列{an}的通项an=
,则数列{an}中的最大值是( )
A.3
B.19
C.
D.
3.设数列{an}满足:
a1=2,an+1=1-
,记数列{an}的前n项之积为Tn,则T2013的值为( )
A.-
B.-1
C.
D.2
4.已知每项均大于零的数列{an}中,首项a1=1且前n项和Sn满足Sn
-Sn-1
=2
(n∈N*且n≥2),则a81=( )
A.638B.639
C.640D.641
5.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y),若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*),则an为( )
A.2n-1B.n
C.2n-1D.
n-1
6.已知数列{an}满足:
a1=1,an+1=
(n∈N*).若bn+1=(n-λ)
,b1=-λ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数λ的取值范围为( )
A.λ>2B.λ>3
C.λ<2D.λ<3
7.已知数列an:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,…,依它的前10项的规律,则a99+a100的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.数列{an}满足:
a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=________.
9.根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律,猜测第n个图中有________个点.
10.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)
n,则当an取得最大值时,n等于________.
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,求{an}的通项公式.
(1)Sn=2n2-3n;
(2)Sn=4n+b.
12.已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+3n-2(n≥2).
(1)求a2,a3;
(2)求数列{an}的通项公式.
13.已知数列{an}满足:
a1=1,2n-1an=an-1(n∈N,n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于
?
14.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}满足b3=3,b5=9.
(1)分别求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=
(n∈N*),求证:
cn+1 .
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