word完整版自己整理圆锥曲线常考题型总结 配有大题及练习推荐文档.docx
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题型一:
题型二:
题型三:
题型四:
题型五:
题型六:
题型七:
题型八:
题型九:
题型十:
圆锥曲线大综合
第一部分圆锥曲线常考题型和热点问题
数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系弦的垂直平分线问题
动弦过定点问题
过已知曲线上定点的弦的问题
共线向量问题
面积问题
弦或弦长为定值的问题
角度问题
四点共线问题
范围为题(本质是函数问题)
第二部分知识储备
1.
.与直线相关的知识
直线方程的五种形式:
点斜式,斜截式,截距式,两点式,一般式
y
三.圆锥曲线的重要知识
考纲要求:
对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质,文理要求有所不同。
文科:
掌握椭圆,了解双曲线;理科:
掌握椭圆及抛物线,了解双曲线
圆锥曲线的定义及几何图形:
椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。
圆锥曲线的标准方程:
四.常结合其他知识进行综合考查
圆的相关知识:
两种方程,特别是直线与圆,两圆的位置关系导数的相关知识:
求导公式及运算法则,特别是与切线方程相关的知识向量的相关知识:
向量的数量积的定义及坐标运算,两向量的平行与垂直的判断条件等三角函数的相关知识:
各类公式及图像与性质
5.不等式的相关知识:
不等式的基本性质,不等式的证明方法,均值定理等
五.不同类型的大题
(1)圆锥曲线与圆
例1.(本小题共14分)
(I)求双曲线C的方程;
运算能力.
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、
(I)由题意,得C
c
,解得a
1,c73,
•••b2
c2a2
C的方程为X2
(n)点PXo,yoXoYo
0在圆X2
2上,
圆在点PXo,yo
处的切线方程为
yo
渔X
yo
Xo
化简得
XoX
yoy2.
XoX
2
y
2
YoV2
F2
及Xo
2
yo
3x24
4XoX
2
82xo0,
•••切线I与双曲线C交于不同的两点
AB,且O
2c
Xo2,
2
•••3xo40,且
222
16xo43xo482xo
设AB两点的坐标分别为
X1,%,X2,y2,
则X1X2c?
0,X1X2
3xo4
82X
3xo4,
•••COSAOB
UUU
OA
OB
yiy2xiX2
ULULUUOAOB
,且
ULU
OA
UUU
OBx1x2
XoXi2X0X2,
【解法2】(I)同解法1.
X1X2
XI4
2X0Xi
X2
2
XoXiX2
82xo
3xo4
82xo
3x24
8x2aXT
82xo
3x2
0.
AOB的大小为90.
(n)点PXo,yo
2
XoVo0在圆X
2上,
程为y
Xo
Yo—X
Yo
Xo,化简得
XoX
yoy
3xo
X24x0x
82x2
3x14
8yoX8
2xoo
•••切线I与双曲线C交于不同的两点
Xo82x2
3xo
圆在点P
X2
XoX
A、B,且o
•-3x140,设A、B两点的坐标分别为X-1,y1
82x2则X1X23xr7
CM
Xo,yo处的切线方
2
y_
2
YoV2
1及Xoy02
X22,
X2,y2,
2
yo
UUUUUU
•••OAOBX1X2yiy2
0,•AOB的大小为90.
2且Xoyo
2,0yo2,从而当3x140时,方程①和
方程②的判别式均大于零)
22
练习1:
已知点A是椭圆C冷牛1t0的左顶点,直线l:
xmy1(mR)与椭
*1A
0时,△AEF的面积为一.
3
(2)圆锥曲线与图形形状问题
因为四边形OABC^菱形,所以AC与OB相互垂直平分.
所以可设A(1,m,代入椭圆方程得丄+m=1,即m=—.
42
所以菱形OABC勺面积是丄|OB-iC=-X2Xm=73.
22
(2)假设四边形OABC为菱形.
因为点B不是W勺顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+刑心0,m^0).
X24y24
由’消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4nn—4=0.
ykxm
设A(X1,y1),0x2,y2),
x1X24km
214k2,
m
2•2
14k14k
所以
所以当点B不是W勺顶点时,四边形OAB(不可能是菱形.
1
因为
k-——工―1,所以AC与OB不垂直.
4k
OAB(不是菱形,与假设矛盾.
22
练习1:
已知椭圆C.冷爲I(ab0)过点(J5,1),且以椭圆短轴的两个端点和
ab
一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形(I)求椭圆的标准方程;(n)设M(X,y)是椭圆c上的动点,P(p,0)是X轴上的定点,求MP的最小值及取最
小值时点M的坐标.
(3)圆锥曲线与直线问题
22
例3.1已知椭圆C:
X2y4,
(1)求椭圆C的离心率.
22
解析:
⑴椭圆的标准方程为:
—1,
42
b近则c近,离心率e-—
a2
法一:
2
当X0t时,y—,代入椭圆C的方程,得
2
故直线AB的方程为X血.圆心O到直线AB的距离d
此时直线ab与圆
22c
Xy2相切.
当X0t时,直线
AB的方程为y
2Xt,
X0t
即y02XX0
ty2x0
ty0
圆心O到直线AB的距离
]2x0tyol
22
2X0t
又X22y24,t
2y2
X0
24y24/
y0苛4Jr?
2xo
4X2
X
4_2._
X08x016
72.
此时直线
AB与圆X2y22相切.
法二:
由题意知,
直线OA的斜率存在,设为k,则直线OA的方程为ykX,
OA丄OB,
①当k0时,A20,易知B02,此时直线AB的方程为X
原点到直线AB的距离为迈,此时直线AB与圆X2
2相切;
②当
k0时,直线OB的方程为y-X,
k
联立
2
:
y24得点A的坐标C
2k
7l2k2
2
7l2k2
2k
Jl2k2
联立
1
—X
k得点B的坐标
2
由点A的坐标的对称性知,无妨取点A
2
Jl2k2
—2kTi
—进行计算,
2k2
于是直线AB的方程为:
亠2c&2k
y2—2X
1_亏2kdl2k
2k
kJl2k2
1kTT2k2X2k,
kjl2k2y2k220
2k22
原点到直线AB的距离
訥2k2
72
2.2
1kj12k2
此时直线AB与圆
X2y2
2相切。
综上知,直线AB一定与圆
2相切.
法三:
①当k0时,A20,易知
此时|oa|2|ob|2,
lAB2血,原点到直线
AB的距离d
|OA|OB|22
AB
2^2
此时直线AB与圆X2y22相切;
②当
0时,直线OB的方程为
Xi
x2y2
,则QA
Ex1|,|OB|
2jlk2,
联立
kx
2y2
得点A的坐标
4
2k
J12k2J12k2
2k
J12k2
于是QA
OB2jlk2,
22迈1k2
41k
求椭圆C的标准方程;
若直线AB垂直于x轴,判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由;若点O在以线段AB为直径的圆内,求直线AB的斜率k的取值范围.
圆锥曲线定值与证明问题
例4.1已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为——,且椭圆C上的点到
2
两个焦点的距离之和为4•
(I)求椭圆C的方程;
(n)设A为椭圆C的左顶点,过点A的直线I与椭圆交于点M,与y轴交于点N,过
原点与I平行的直线与椭圆交于点
P•证明:
|AM||AN|2|OP|2.
x2
解:
(I)设椭圆C的标准方程为—
a
1(a
b0),
c
由题意知一
a
2a
b2
昼
2
4,
解得a
所以椭圆C的标准方程为
(n)设直线AM的方程为:
y
k(x
2),则N(0,2k).
由y2:
(:
x4y
2)'得(1+4k2)x2
4,
16k2x16k240(*).
设A(2,0),
M(xi,yi),则2,xi是方程(*)的两个根,
所以m(2#心)-
|AN|d44k22J1k2.
|AM||AN|
8(1k2)
4k2
2
所以|AM||AN|2|OP|.
1(a>b>0)的离心率为逅,A(a,0),B(0,b),O(0,
2
0),△OAB的面积为1.
PA与丫轴交于点M直线PB与x轴交于点N。
(I)求椭圆C的方程;(II)设P的椭圆C上一点,
求证:
AN?
BM为定值。
L9.门)lUl阳再.e=-=
府-
y...Ou=^ab=1..僖,|们吐川=+岸…③,En【U②
©解滸护him圖片程为y+h-1.
tini殳ton上点P的坐标为(Z/a岔列嗣见己謝A[2,0].R[0J)t则11线PA的方社为
sin&
y-——-—-O-2)
令“就可以删mM标为电鵠
同样nJ以再到N的坐林为(仝%小.
1一£出
焦点构成的三角形的面积为
(I)求椭圆C的方程;
(n)已知动直线yk(x1)与椭圆C相交于A、B两点.①若线段AB中点的横坐标
MIB为定值.
17uuur
_,求斜率k的值;②若点M(3,0),求证:
MA
于x轴)过点F且抛物线C交于A,B两点,直线CA与OB勺斜率之积为—P.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若M为线段AB的中点,射线OM交抛物线C于点D,求证:
翳>2
1练习3:
动点P(X,y)到定点F(1,0)的距离与它到定直线l:
X4的距离之比为一.
2
(I)求动点P的轨迹C的方程;
(n)已知定点A(2,0),B(2,0),动点Q(4,t)在直线I上,作直线AQ与轨迹C的
另一个交点为M,作直线BQ与轨迹C的另一个交点为N,证明:
M,N,F三点共线.
|ab|
(n)
求椭圆C的方程;
设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴的右侧.直线PA,PB与直线x4分
别相交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点E,F,求点P横坐标的
取值范围及|EFI的最大值.
解:
(I)由题意可得,
解a24,
椭圆C的标准方程为
y21.
(n)设P(X0,y0)(O
X0
2),A(0,1),B(0,1),
y。
1
所以kpA,直线PA的方程为
Xq
Xo
同理:
直线PB的方程为y
Xo
直线PA与直线X
4的交点为
4(y01)
M(4,—-1),
Xq
直线PB与直线X
4的交点为
N(4,
4(y。
1)
1),
Xo
线段MN的中点
(4,坞,
Xq
所以圆的方程为(X4)2(y
4yo)2
Xo
(1与,
Xo
0,则(X4)2
16y2
X2
(1
却2,
10分
因为
2
Xq
4
2
y。
1,所以
G1
2
Xo
11分
所以
(X
4)2
旦5
Xq
因为这个圆与
X轴相交,该方程有两个不同的实数解,
8
所以5—
Xo
8
0,解得Xo(—,2].
5
12
设交点坐标(X1,0),(X2,0),则|X1X2|2/58(8Xo
VXo5
所以该圆被X轴截得的弦长为最大值为
2.
14
2
X
练习1:
已知椭圆C:
a
2
b21a
b的一个焦点为F(2,0),离心率为星。
过焦
3
点F的直线I与椭圆C交于圆于MN两点。
A,B两点,
线段ABK点为D,C为坐标原点,过OD勺直线交椭
(1)
(2)
求椭圆C的方程;
求四边形AMBN面积的最大值。
练习
2:
已知椭圆C:
mx23my21(m0)的长轴长为2j6,O为坐标原点.
(I)求椭圆C的方程和离心率;
(n)设点A(3,0),动点B在y轴上,动点P在椭圆C上,且P在y轴的右侧,若
|BA||BP|,求四边形OPAB面积的最小值.
(6)圆锥曲线存在性问题
22
Xy
例6.已知椭圆C:
p与1ab0的离心率为a2b2
都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.
(I)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用mn表示);
(n)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:
y轴上是否存在点Q,使得解析:
OQM
(I)由题意得
1,
吃
2
b2
故椭圆C的方程为
因为m0,所以
直线PA的方程为
所以Xm
返,点PO,1和点Am,nm02
ONQ?
若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.
解得
a22,
y21.
n1.
n1
x,
m
M(^,O).
1n
因为点B与点A关于x轴对称,
所以Bm,n.
设N(Xn,0),则Xn—
1n
“存在点Q(O,yQ)使得OQM
ONQ”等价于“存在点Q(O,yQ)使得
OM
OQ
OQ
ON
即yQ满足yQ
XmXn.
因为
Xm
m
,Xn
m2
T
1.
所以
yQ
故在
y轴上存在点Q,使得
OQM
ONQ,
点Q的坐标为(0,J2)或(0,
3
1ab的左、右焦点,点P(1,—)在椭
2
圆E上,且点P和Fi关于点C(0,
对称。
(1)
A,B两点,过点P且平行于AB的直线与椭圆交于l的方
求椭圆E的方程;
(2)过右焦点F2的直线I与椭圆相交于
另一点Q,问是否存在直线l,使得四边形PAB的对角线互相平分?
若存在,求出程;若不存在,说明理由。
22
x2=4>/2y的焦点重合,F1、
――xy
练习2:
设椭圆C:
a2+b2=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线:
F2分别是椭圆的左、右焦点,
离心率e=¥3,过椭圆右焦点
F2的直线I与椭圆C交于M
N两点.
(1)求椭圆C的方程;
屮ur
(2)是否存在直线I,使得OM
UULT
On=—1,若存在,求出直线
l的方程;若不存在,说明
理由
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