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第九章重积分

唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。

而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。

“教授”和“助教”均原为学官称谓。

前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。

“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。

唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。

至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。

至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。

内容概要

死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。

其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。

相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。

名称

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。

我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观察过程中指导。

我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：

乌云像大海的波浪。

有的孩子说“乌云跑得飞快。

”我加以肯定说“这是乌云滚滚。

”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：

“这就是雷声隆隆。

”一会儿下起了大雨，我问：

“雨下得怎样?

”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。

雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：

“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。

”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。

我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。

如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。

通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。

主要内容

二重积分

定义

性质

①②

③

④⑤⑥

⑦⑧

计算法

利用直角坐标计算

把D写成X型区域

把D写成Y型区域

利用极坐标计算

三重积分

利用直角坐标计算

投影法（针刺法、先一后二法）

截面法（切片法、先二后一法）

利用柱面坐标计算

利用球面坐标计算

应用

求立体的体积、求曲面的面积、求质量、重心、转动惯量等

课后习题全解

习题9-1

★1.设有一平面薄板（不计其厚度），占有面上的闭区域，薄板上分布着面密度为的电荷，且在上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷.

解：

将任意分割成个小区域，在第个小区域上任取一点，由于在上连续和很小，所以用作为上各点函数值的近似值，则上的电荷

从而该板上的全部电荷

其中是各中的最大直径。

★★2.利用二重积分定义证明：

（1）（为区域的面积）；

（2）（其中为常数）；

（3），

其中,为两个无公共内点的闭区域。

证明：

（1）这里，被积函数，由二重积分的定义，对任意分割和取点法，

∴，其中是各中的最大直径。

（2）

（3）将任意分割成个小区域，是其各小区域的最大直径，将任意分割成个小区域，有类似的意义。

记，，于是对应区域就分成了个区域，当时，有且，因为,无公共内点，将以上分割反过来处理：

先将分割为个区域，此分割在上的部分为，个小区域。

于是当在上可积时，便可如下推出在上可积（或反过来也一样），且有

★★3.判断积分的符号

解：

由于，所以，且当时，，

于是

★★4.判断下列积分值的大小：

，，

，其中由，，，围成，则之间的大小顺序为（）

A.B.C.D.

解：

因为被比较积分的积分区域相同，故可从被积函数来判断，在区域上，，当时，，从而当时，

，其中的只有在边界处才可能取到

所以，故应选C.

★★★5.估计下列二重积分的值：

（1）,其中是矩形闭区域，；

（2）,其中是圆形闭区域；

解：

（1），，，

（2）圆形闭区域的面积为，在中，

即，，

即

★★★6.试用二重积分性质证明不等式

，其中：

，.

证明：

当时，，由重积分的性质即得

，证毕。

★★★★7.计算，其中由中心在原点，半径为的圆所围成。

解：

在上连续，由二重积分的中值定理知，在内至少存在一点，使得，于是有

＝＝＝1

习题9-2

★1.计算下列二重积分：

（1），其中：

，;

（2），其中闭区域由坐标轴与所围成;

（3），其中：

，;

（4），其中：

，.

解：

（1）==

而＝＝＝，所求＝

（2）积分区域：

，

所求＝＝＝＝

（3）===

==1

（4）===

其中====

所求＝

★★2.画出积分区域，并计算下列二重积分：

（1），其中:

（2），其中是由，，所围成的区域

（3），其中是以，，为顶点的三角形闭区域

（4），其中是由，，所围成的区域

解：

（1）所求==

（2）所求＝===

（3）所求＝===

（4）所求＝＝＝

＝（和书上答案不一样）

★★3.改变下列二次积分的积分次序：

（1）;

（2）;

（3）;

（4）;

（5）

解：

（1）原式＝＝

（2）由二次积分的积分限有，，改变积分次序后积分限为，所以，原式＝

（3）积分区域D：

，，可改写为，

所以，原式＝

（4）由二次积分的积分限，画出积分区域可改写为

所以，原式＝

（5）由二次积分的积分限画出积分区域知原式＝

★★4.设是由不等式所确定的有界闭区域，求二重积分

解：

由对称性＝0

所以＝

★★5.求证＝

证明：

画出积分区域知左边＝＝＝

★★6.如果二重积分的被积函数是两个函数和的乘积，即＝，积分区域，证明＝

证明：

＝

★★7.设平面薄片所占的闭区域由直线，和轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量。

解：

设该薄片的质量为,则质量元素

★★8.求曲线所围成的平面图形的面积。

该曲线所围成的区域为:

，故所求面积

令，，则，

0

0

★★9.用二重积分表示由曲面，，所围成的立体的体积。

解：

将所围立体视为以平面为顶，以面上的圆为底的曲顶柱体，根据二重积分的几何意义，所求的体积为

★★★10.求由曲面，，，所围成的立体的体积。

解：

由于所围立体的底部为区域:

，，顶部是旋转抛物面，所以所求体积＝＝＝

★★11.求由曲面和所围成的立体的体积。

解：

该立体的上顶面为，下顶面为两曲面的交线为，故交线所围平面区域为平面上的圆域

＝，令，，则，

0

0

习题9-3

★1.化二重积分为极坐标形式的二次积分，其中积分区域为

（1）

（2）（3）

解：

（1）积分区域为圆域，故＝

（2）积分区域为环域，故＝

（3）积分区域为圆心在，半径为1的圆域，故

★★2.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分

（1）

（2）（3）

解：

（1）画出积分区域草图知

（2）＝

（3）＝

★★3.利用极坐标计算下列二重积分：

（1），其中是由所围成的闭区域。

（2），其中是由与轴所围成的上半部分闭区域。

（3），其中是由圆周与坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。

（4），其中是由，，，所围成的在第一象限内的闭区域。

解：

（1）＝＝＝

（2）画出积分区域的草图知：

，，上半圆的极坐标方程为，所以

所求＝＝＝＝

（3）所求＝＝＝

（4）经极坐标变换，边界曲线方程为，，，，故

所求＝＝＝

★★★4.选用适当的坐标计算下列各题：

（1），其中是由与所围成的闭区域。

（2），其中是由圆周，及所围成的闭区域。

（3），其中：

，

（4），其中是由圆周与坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。

（5），其中：

，

解：

（1）利用极坐标计算。

抛物线的极坐标方程为即，所求＝＝＝＝＝

（2）本题用直角坐标计算比较简单。

积分区域可表示为，，故

所求＝＝＝＝＝

（3）画出积分区域的草图，采用极坐标计算，可表示为，，故所求＝＝

（4）画出积分区域的草图，采用极坐标计算，可表示为，

故所求＝＝令，则，

0

1

0

1

所求＝＝＝＝

（5）画出积分区域的草图，采用极坐标计算，

所求＝＝＝＝

★★5.求区域的体积,其中由，，所围成。

解：

注意到曲面在第一、三象限时位于面的上方，在第二、四象限时位于面的下方。

曲面在面上的投影区域为：

，故所求体积为

★★★6.求球体与所围公共部分的体积。

解：

因为两球面的交线为，所以两球体公共部分在面上的投影区域为：

，故

★★7.设均匀薄片所占的闭区域由，，所围成，求此薄片的重心。

解：

不妨设该薄片的面密度为1，则该薄片的质量

静矩=＝＝＝

重心坐标＝，＝＝即重心在点

★★8.设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离，求此半圆的重心坐标及关于轴（直径边）的转动惯量。

解：

依题意，面密度。

由对称性知，重心必在轴，即，故只需计算。

=＝＝

所以＝＝即重心坐标为

对于轴的转动惯量为=＝＝

★★9.设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域由抛物线与直线所围成，求和

解：

=＝＝＝

★★★10.设有一由，及所围成的均匀薄片（密度为1），问此薄片绕哪一条垂直于轴的直线旋转时转动惯量最小？

解：

＝＝＝＝

令＝＝0，得

由于＝所以当时最小。

★★★11.计算，其中为椭圆形闭区域：

解：

作广义极坐标变换，，则被积函数。

区域：

化为，即:

，，而

=＝＝＝所以，原式＝

★★★12.计算

解：

由对称性知＝,

所以，原式＝作变换则＝1

由对称性知＝＝＝

所以，所求＝＝

★★★13.计算重积分，其中是由直线，和所围成。

解：

作变换，，则被积函数。

区域化为：

，，而

=＝＝＝所以，原式＝

★★★14.进行适当的变量代换，化二重积分为单积分，其中为由曲线，，，所围成的闭区域。

解：

作变换，，则，，化为：

，而

=＝＝＝所以，所求＝

★★★15.作适当的变换，证明等式＝，其中闭区域:

解：

画出积分区域的草图，并结合被积函数的形式，作变换，，即，，区域化为：

，，而

=＝＝，所以＝

所求＝＝＝

习题9-4

★★1.化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是：

（1）由，，所围成的闭区域；

（2）由六个平面，，，，，所围成的闭区域；

（3）由曲面及所围成的闭区域。

解：

（1）想像的形状，可把表示为，，

所以，＝

（2）画出积分区域的草图，可知区域介于平面与之间，且，在面上的投影区域为：

，，所以

（3）不难求得两曲面的交线在面上的投影为，在面上的投影区域为：

，所以

★★2.设有一物体，占有空间闭区域：

，，，在点处的密度为，计算该物体的质量。

解：

该物体的质量

＝＝＝＝＝18

★★3.设积分区域：

，，，证明：

＝

证明：

左边＝＝＝

＝＝右边

★★4.计算，其中是由曲面，，，所围成的区域。

解：

根据题意，积分区域可表示为：

，，，所以

★★★5.计算，其中是由，，和所围成的四面体。

解