黑工程数学系111 1432 刘洋数学建模.docx
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黑工程数学系1111432刘洋数学建模
SY-011
实习报告
实习名称:
数学建模实验
院系名称:
数学系
专业班级:
信息与计算科学11-1
学生姓名:
刘洋
学号:
20111432
指导教师:
赵爽
黑龙江工程学院教务处制
2013年6月
实习名称
数学建模实验
实习时间
2013年6月17日至2013年6月28日共2周
实习单位
或实习地点
实验楼718室
实习单位评语:
(分散实习填)
签字:
公章:
年月日
指导教师评语:
成绩
指导教师签字:
年月日
注:
1、在此页后附实习总结。
其内容应包括:
实习目的、实习内容及实习结果等项目。
2、此页为封皮,用A4幅面纸正反面打印。
3、实习总结使用A4幅面纸张书写或打印,并附此页后在左侧一同装订。
一、实习目的
《数学建模》是信息与计算机科学本科专业选修课程。
本课程的实验内容要求学生有一定量的实践才能切实掌握数学建模的各个环节。
培养学生掌握数学建模基本方法在实际生活中的应用,使学生具备能够利用数学软件编程解数学模型问题的能力,把抽象的数学公式转换成解决实际问题的能力。
二、课程实习环境
安装有Windows2000/2003/XP操作系统、MATLAB5.0以上版本软件、Lindo/Lingo软件的计算机。
三、实习内容
一.数学模型的建立
(一)目的和要求
1、掌握数学模型建立的基本方法。
2、能用MATLAB软件/Lingo/Lindo求解数学建模问题。
3、具体步骤应包括:
摘要、问题重述、符号说明、模型假设、模型建立、模型求解、结果及其分析(注:
可根据情况适当调整步骤;整个建模过程应在题目之后另起一页开始写)。
(二)内容:
1.某厂出售三种不同品种的商品,每个品种含有原料甲、乙、丙、丁,但每个品种所含有的这四种原料的比例不同。
由于市场的供需要求,每周商店从供应商处能够得到的每类果仁的最大数量和售价(如下表1所示),为了维护厂家的质量信誉,每个品种中所含有的原料最大、最小比例是必须满足的(如下表2所示)
表1
原料
售价(元/千克)
每周最大供应量(千克)
甲
0.45
2000
乙
0.55
4000
丙
0.70
5000
丁
0.50
3000
表2
品种
含量需求
售价(元/千克)
A
丙不超过20%
0.89
丁不低于40%
乙不超过25%
甲没有限制
B
丙不超过35%
1.10
甲不低于40%
乙、丁没有限制
C
丙含量位于30%~50%之间
1.80
甲不低于30%
乙、丁没有限制
现该厂希望确定每周购进甲、乙、丙、丁的数量,使周利润最大,建立数学模型,帮助该厂管理人员解决原料混合的问题。
2.某家食品厂需要工作人员调配一定浓度的盐水腌制某种产品,现某U型容器内有100公升盐水,含有10公斤的盐,若以每分钟9升速度从A管注入每升含有0.01公斤盐的盐水,同时又以每分钟6升的速度将盐水从B管中抽出。
问题:
(1)假设你是工作人员,试描述该容器内盐量变化情况并做图;
(2)40分钟后,容器内还剩多少盐。
3.某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资,可供购进的证券及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定,市政证券的收益可以免税,其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制:
●政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元
●所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小,信用程度越高)
●所购证券的平均到期年限不超过5年
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益/%
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
(1)若该经理有1000万元资金,应如何投资?
(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金,该经理应如何操作?
(3)在1000万元资金情况下,若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变?
若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应否改变?
4.一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务。
根据估计下一年的需求是:
春季6000人日,夏季7500人日,秋季5500人日,冬季9000人日。
公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗。
每个保姆每季度工作(新保姆包括培训时间)65天。
保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬,每人每月工资800元。
春季开始时公司拥有120名保姆,在每个季度结束时,将有15%的保姆自动离职
(1)如果公司不允许解雇保姆,请你为公司制定下一年的招聘计划?
(2)如果公司在每个季度结束后允许解雇保姆,请你为公司制定下一年的招聘计划。
二.MATLAB程序设计
(一)目的和要求
认识MATLAB的操作界面,初步掌握MATLAB的使用方法。
掌握MATLAB的数值运算,常用的绘图方法,M文件的创建及调用。
(二)内容
1、向量运算:
已知向量
,
,求
(1)
(2)
(3)
(4)
的模
2、矩阵运算:
(1)输入矩阵:
(2)乘法运算:
,
,求
(3)矩阵的转置:
,求
(4)矩阵的逆:
,求
3、图形绘制
(1)画曲线y=2cos3x,x∈[-2π,2π](plot(x,y))
(2)在同一图中绘制y=sinx,z=tanxx∈[-π,π](plot(x1,y,x2,z))
(3)用不同颜色和线型画出函数
,
,
,
的2×2的多子图(subplot、fplot)
(4)画空间曲线
(用命令plot3(x,y,z))
(5)绘制空间曲面之旋转抛物面
。
(r=(3*x.^2+y.^2);z=sin(r)./r用命令[x,y]=meshgrid(x,y))
4、用函数diff(f,x),求下列函数一阶导数
(1)
(2)
5、用函数int(f,v),求不定积分
6、用函数int(f,v,a,b),求定积分
7、用函数dsolve(),求解微分方程
8、用函数diff(z,x,n),求下列函数的偏导数:
设
,求
,
,
。
产品原料混合与产量的分配
摘要
该问题经过分析采用线性规划规划问题建立模型更为恰当。
问题经过Lingo求解即可全部得到。
每周购进原料甲2000kg、原料乙4000kg、原料丙3121.2kg、原料丁3000kg,生产A产品5454.5kg、B产品为0kg、C产品666.7kg,可获利润10069.7元。
且生产1kgA产品需要原料甲0kg、原料乙0.25kg、原料丙0.2kg、原料丁0.55kg,生产1kgC产品需要原料甲0.3kg、原料乙0.4kg、原料丙0.3kg、原料丁0kg。
关键字:
线性规划、lingo
1、问题重述
某厂出售三种不同品种的商品,每个品种含有原料甲、乙、丙、丁,但每个品种所含有的这四种原料的比例不同。
由于市场的供需要求,每周商店从供应商处能够得到的每类果仁的最大数量和售价(如下表1所示),为了维护厂家的质量信誉,每个品种中所含有的原料最大、最小比例是必须满足的(如下表2所示)
现该厂希望确定每周购进甲、乙、丙、丁的数量,使周利润最大,建立数学模型,帮助该厂管理人员解决原料混合的问题。
2、问题假设
1.假设题目所给数据真实可靠。
2.假设生产过程中原料没有损耗。
3.假设市场对三种产品的需求没有关联。
三、符号说明
代表第i种产品需要j种原料的量。
代表生产第i种产品的数量。
a、b、c、d分别代表每周购进甲、乙、丙、丁的数量。
四、模型建立
对于该题分析所知,题目为简单的线性规划模型。
所以:
根据问题和约束条件可以得到如下模型:
五、模型求解
运用Lingo软件进行求解,程序代码为:
max=0.89*y1+1.1*y2+1.8*y3-0.45*(y1*x11+y2*x21+y3*x31)-0.55*(x12*y1+x22*y2+x32*y3)-0.70*(x13*y1+x23*y2+x33*y3)-0.50*(x14*y1+x24*y2+x34*y3);
x11*y1+x21*y2+x31*y3<=2000;
x12*y1+x22*y2+x32*y3<=4000;
x13*y1+x23*y2+x33*y3<=5000;
x14*y1+x24*y2+x34*y3<=3000;
x11>=0;
x12<=0.25;
x13<=0.2;
x14>=0.4;
x21>=0.4;
x22>=0;
x23<=0.35;
x24>=0;
x31>=0.3;
X32>=0;
x33>=0.3;
x33<=0.5;
x34>=0;
x11+x12+x13+x14=1;
x21+x22+x23+x24=1;
x31+x32+x33+x34=1;
运行结果为:
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
10069.70
Infeasibilities:
0.1565468E-06
Totalsolveriterations:
12
VariableValueReducedCost
Y15454.5450.000000
Y20.0000001.066667
Y36666.6670.000000
X110.00000018115.70
X210.40000000.000000
X310.30000000.000000
X120.25000000.000000
X220.25000000.000000
X320.39545450.000000
X130.20000000.000000
X230.35000000.000000
X330.30454550.000000
X140.55000000.000000
X240.0000000.000000
X340.0000002303.030
A2000.0000.000000
B4000.0000.000000
C3121.2120.000000
D3000.0000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
110069.701.000000
20.0000003.916667
3-0.1565468E-060.1500000
41878.7880.000000
50.1565463E-060.5454545
60.0000000.000000
70.0000001884.298
80.0000001884.298
90.15000000.000000
100.0000000.000000
110.25000000.000000
120.0000000.000000
130.0000000.000000
140.000000-24444.44
150.39545450.000000
160.4545455E-020.000000
170.19545450.000000
180.0000000.000000
190.000000-5702.479
200.0000000.000000
210.000000-4666.667
220.0000000.000000
23-0.1565468E-060.000000
240.0000000.000000
25-0.1565463E-060.000000
6、结论及其分析
根据lingo运行结果可知:
每周购进原料甲2000kg、原料乙4000kg、原料丙3121.2kg、原料丁3000kg,生产A产品5454.5kg、B产品为0kg、C产品666.7kg,可获利润10069.7元。
且生产1kgA产品需要原料甲0kg、原料乙0.25kg、原料丙0.2kg、原料丁0.55kg,生产1kgC产品需要原料甲0.3kg、原料乙0.4kg、原料丙0.3kg、原料丁0kg。
由线性规划模型可知按照以上进行购进原料和生产配料可获利最大。
7、参考文献
书籍:
【1】胡运权,运筹学基础与运用,北京,高等教育出版社,2008.6第五版
【2】姜启源谢金星叶俊,数学建模,北京,高等教育出版社,2011.1第四版
网络资源:
【3】作者(未知),Lingo教程(基础操作)ppt,XX文库,2013.6.14
盐水混合问题
摘要
此题目为简单的微分方程模型,构建完模型后问题1和问题2都可以用Matlab软件进行求解。
该容器内盐量变化情况符合函数:
x=(3*t)./100+90000./(3*t+100).^2+1,且随着时间逐渐增大,容器内的盐量逐渐减小趋于0.01公斤/升。
40分钟之后,盐量剩余4.0595公斤。
关键字:
微分方程、Matlab。
1、问题重述
某家食品厂需要工作人员调配一定浓度的盐水腌制某种产品,现某U型容器内有100公斤盐水,含有10公斤的盐,若以每分钟9升速度从A管注入每升含有0.01公斤盐的盐水,同时又以每分钟6升的速度将盐水从B管中抽出。
问题:
(1)假设你是工作人员,试描述该容器内盐量变化情况并做图;
(2)40分钟后,容器内还剩多少盐。
2、问题假设
1.假设盐水溶液可以瞬间混合均匀,即:
任意时刻B管抽出溶液浓度与该时刻溶液浓度相同。
3、符号说明
为溶液中含有的盐量、
为时间、
为
的微小增量、
为时间的微小增量。
四、模型建立
经过分析该题目可知,此题为简单的微分方程模型,所以运用微元分析法可以得到模型为:
5、模型求解
对于问题1,运用Matlab应用软件进行求解,代码为:
x=dsolve('Dx+(6*x)/(100+3*t)=0.09','x(0)=10','t')
ezplot(x)
结果为:
x=
90000/(100+3*t)^2+1+3/100*t
即
画图代码为:
t=0:
5:
50
x=(3*t)./100+90000./(3*t+100).^2+1
plot(t,x)
结果为:
t=
05101520253035404550
x=
Columns1through7
10.00007.95536.62545.73065.11564.68884.3931
Columns8through11
4.19164.05953.97973.9400
对于问题2,我们只需在问题1的结果之后运用matlab输入代码:
t=40
x=(3*t)/100+90000/(3*t+100)^2+1即可得到:
x=4.0595(公斤)。
六、结论及其分析
该容器内盐量变化情况符合函数:
x=(3*t)./100+90000./(3*t+100).^2+1,且随着时间逐渐增大,容器内的盐量逐渐减小趋于0.01公斤/升。
40分钟之后,盐量剩余4.0595公斤。
七、参考文献
书籍:
【1】胡运权,运筹学基础与运用,北京,高等教育出版社,2008.6第五版
【2】姜启源谢金星叶俊,数学建模,北京,高等教育出版社,2011.1第四版
网络资源:
【3】作者(未知),matlab教程(基础操作)ppt,XX文库,2013.6.18
【4】黑工程,《数学实验》实验指导书,2013.6.18
证券投资
摘要
该证券投资问题与题目1相似都为线性规划问题,所以可以根据线性规划建立模型,运用lingo求解即可得到关于3个问题的最优解。
1、问题重述
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资,可供购进的证券及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定,市政证券的收益可以免税,其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制:
●政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元
●所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小,信用程度越高)
●所购证券的平均到期年限不超过5年
问题:
(1)若该经理有1000万元资金,应如何投资?
(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金,该经理应如何操作?
(3)在1000万元资金情况下,若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变?
若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应否改变?
2、问题假设
1.假设题目所给数据真实可靠。
2.假设在投资证券过程中不存在突发风险
三、符号说明
代表A、B、C、D、E四种证券投资的额度。
i=1、2、3、4、5
四、模型建立
经过对本题目的分析可知:
可以建立线性规划问题模型运用lingo进行求解。
由问题和约束条件可以建立模型:
5、模型求解
对于问题
(1)运用lingo对目标函数求解,代码为:
max=0.043*x1+0.5*(0.054*x2+0.05*x3+0.044*x4)+0.045*x5;
x1+x2+x3+x4+x5<=1000;
x2+x3+x4>=400;
2*x1+2*x2+x3+x4+5*x5<=1.4*(x1+x2+x3+x4+x5);
9*x1+15*x2+4*x3+3*x4+2*x5<=5*(x1+x2+x3+x4+x5);
?
?
?
?
?
:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
29.83636
Totalsolveriterations:
4
VariableValueReducedCost
X1218.18180.000000
X20.0000000.3018182E-01
X3736.36360.000000
X40.0000000.6363636E-03
X545.454550.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
129.836361.000000
20.0000000.2983636E-01
3336.36360.000000
40.0000000.6181818E-02
50.0000000.2363636E-02
?
?
?
?
(2)?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000万证券,税后收益是否大于借贷利率即可确定是否可以借贷投资。
?
?
(3)?
?
?
?
?
?
?
?
(1)?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
结果为:
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X10.4300000E-010.3500000E-020.1300000E-01
X20.2700000E-010.3018182E-01INFINITY
X30.2500000E-010.1733333E-010.5600000E-03
X40.2200000E-010.6363636E-03INFINITY
X50.4500000E-010.5200000E-010.1400000E-01
RighthandSideRanges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncreaseDecrease
21000.000INFINITY456.7901
3400.0000336.3636INFINITY
40.01057.143200.0000
50.01000.0001200.000
6、结论及其分析
对于问题
(1)我们有以上结果可知:
银行经理的1000万可以投资市政证券A:
218.2万元、投资代办机构证券B:
0万元投资政府证券C:
736.4万元、投资政府证券D:
0万元、投资市政证券E:
45.4万元。
到期税后收益为:
29.8万元。
对于问题
(2)我们根据以上结果可知:
投资1000万元获益29.8万元,税后收益率为2.98%,所以可以以2.75%的利率借到不超过100万元资金投资,而且再无其他约束的条件下为得到最大收益,可以投资A和E两种市政证券,但是,如果要求资金必须与1000万同步收回,那只好投资B、C、D三种证券。
对于问题(3)我们根据以上结果对其进行灵敏度分析即可得到答案:
由灵敏度分析知,只要A证券的税前利率浮动在(4.17%--4.65%)之间,B证券的税前利率浮动在(0%--8.4%)之间,C证券的税前利率浮动在(4.94%--6.73%)之间,D证券的税前利率浮动在(0%--4.46%)之间,E证券的税前利率浮动在(3.4%--9.7%)之间时投资不需更改。
由问题(3)知:
A收益增至4.5%时波动在可行范围之内,所以不需更改。
但是当C收益减少为4.8%时不在可行波动范围内,所以需要更改投资计划。
七、参考文献
书籍:
【1】胡运权,运筹学基础与运用,北京,高等教育出版社,2008.6第五版
【2】姜启源谢金星叶俊,数学建模,北京,高等教育出版社,2011.1第四版
网络资源:
【3】作者(未知),lingo教程(基础操作)ppt,XX文库,2013.6.18
保姆招聘计划
摘要
此题目为简单的线性规划问题,我们可以根据题目所给的约束条件建立模型,运用lingo进行求解即可.对于问题1,lingo求解的结果为总人数为478.5取整为479人。
第1季度新招聘0人,第2季度新招聘15人,第3季度招聘0人,第4季度招聘59人。
对于问题2,lingo求解的总人数为:
465.1,取整为466人。
在公司解雇保姆的情况下,第1季度应该聘请0人,第2季度应该聘请15人,第3季度应该聘请保姆0人,第4季度应该聘请73人。
1、问题重述
一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务。
根据估计下一年的需求是:
春季6000人日,夏季7500人日,秋季5500人日,冬季9000人日。
公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗。
每个保姆每季度工作(新保姆包括培训时间)65天。
保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬,每人每月工资800元。
春季开始时公司拥有120名保姆,在每个季度结束时,将有15%的保姆自动离职
(1)如果公司不允许解雇保姆,请你为公司制定下一年的招聘计划?
(2)如果公司在每个季度结束后允许解雇保姆,请你为公司制定下一年的招聘计划。
2、问题假设
1.假设题目所给数据真实可靠。
2.假设公司实际按照计划招聘运行。
三、符号说明
四、模型建立
经过对本题目的分析可知:
可以建立线性规划问题模型运
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