版高考物理一轮复习新课改省份专用讲义第二章第3节力的合成与分解.docx

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版高考物理一轮复习新课改省份专用讲义第二章第3节力的合成与分解

第3节　力的合成与分解

一、力的合成与分解

1．合力与分力

（1）定义：

如果一个力产生的效果跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫做那几个力的合力，原来那几个力叫做分力。

（2）关系：

合力和分力是等效替代的关系。

[注1]

2．共点力

作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。

如下图所示均是共点力。

3．力的合成

（1）定义：

求几个力的合力的过程。

（2）运算法则[注2]

①平行四边形定则：

求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。

如图甲所示。

②三角形定则：

把两个矢量首尾相连，从而求出合矢量的方法。

如图乙所示。

[注3]

4．力的分解

（1）定义：

求一个已知力的分力的过程。

（2）运算法则：

平行四边形定则或三角形定则。

（3）分解方法：

①按力产生的效果分解；②正交分解。

二、矢量和标量

1．矢量：

既有大小又有方向的量，运算时遵从平行四边形定则。

2．标量：

只有大小没有方向的量，运算时按代数法则相加减。

[注4]

【注解释疑】

[注1]合力不一定大于分力，二者是等效替代的关系。

[注2]平行四边形定则（或三角形定则）是所有矢量的运算法则。

[注3]首尾相连的三个力构成封闭三角形，则合力为零。

[注4]有大小和方向的物理量不一定是矢量，还要看运算法则，如电流。

[深化理解]

1．求几个力的合力时，可以先将各力进行正交分解，求出互相垂直方向的合力后合成，分解的目的是为了将矢量运算转化为代数运算，便于求合力。

2．力的分解的四种情况：

（1）已知合力和两个分力的方向求两个分力的大小，有唯一解。

（2）已知合力和一个分力（大小、方向）求另一个分力（大小、方向），有唯一解。

（3）已知合力和两分力的大小求两分力的方向：

①F>F1＋F2，无解；

②F＝F1＋F2，有唯一解，F1和F2跟F同向；

③F＝F1－F2，有唯一解，F1与F同向，F2与F反向；

④F1－F2

（4）已知合力F和F1的大小、F2的方向（F2与合力的夹角为θ）：

①F1

②F1＝Fsinθ，有唯一解；

③Fsinθ

④F1≥F，有唯一解。

[基础自测]

一、判断题

（1）合力与它的分力的作用对象为同一个物体。

（√）

（2）合力及其分力可以同时作用在物体上。

（×）

（3）几个力的共同作用效果可以用一个力来代替。

（√）

（4）在进行力的合成与分解时，都要应用平行四边形定则或三角形定则。

（√）

（5）两个力的合力一定比其分力大。

（×）

（6）互成角度（非0°或180°）的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。

（√）

（7）既有大小又有方向的物理量一定是矢量。

（×）

二、选择题

1．[人教版必修1P64T4]（多选）两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F。

以下说法正确的是（　　）

A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越大

B．合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大

C．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大

D．合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果是相同的

解析：

选AD　若F1和F2大小不变，θ越小，合力F越大，故A正确；当F1与F2等大反向时，其合力为零，小于任一分力，故B错误；由合力与分力的定义可知，D正确；当θ为大钝角时，如果θ不变，F1大小不变，只增大F2时，合力F可能减小，也可能增大，故C错误。

2．如图所示，一条鱼在水中正沿直线水平向左加速游动。

在这个过程中，关于水对鱼的作用力的方向，图中合理的是（　　）

解析：

选A　鱼在水中受浮力作用保持竖直方向合力为零，水平方向向左加速游动，必受水对鱼向左的推动力，故水对鱼的作用力是浮力和水平向左的推动力的合力，应沿斜向左上方，选项A正确。

3．（教科版必修1P103T6改编）如图所示，用相同的弹簧秤将同一个重物m，分别按甲、乙、丙三种方式悬挂起来，读数分别是F1、F2、F3、F4，已知θ＝30°，则有（　　）

A．F4最大　　　　　　　　B．F3＝F2

C．F2最大D．F1比其他各读数都小

解析：

选C　由平衡条件可得，F2cosθ＝mg，F2sinθ＝F1,2F3cosθ＝mg，F4＝mg，可进一步求得：

F1＝

mg，F2＝

mg，F3＝

mg，F4＝mg，可知F1＝F3，F2最大，选项C正确。

高考对本节内容的考查，主要集中在应用平行四边形定则或三角形定则进行力的合成与分解，常与物体的平衡条件、牛顿第二定律相结合进行综合考查，主要以选择题的形式呈现，难度中等。

考点一　力的合成问题[基础自修类]

[题点全练]

1．[合力的大小范围确定]

如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图像（0≤θ≤2π），下列说法中正确的是（　　）

A．合力大小的变化范围是0≤F≤14N

B．合力大小的变化范围是2N≤F≤10N

C．这两个分力的大小分别为6N和8N

D．这两个分力的大小分别为2N和8N

解析：

选C　由题图可知：

当两力夹角为180°时，两力的合力为2N，而当两力夹角为90°时，两力的合力为10N。

则这两个力的大小分别为6N、8N，故C正确，D错误。

当两个力方向相同时，合力大小等于两个力之和14N；当两个力方向相反时，合力大小等于两个力之差2N，由此可见：

合力大小的变化范围是2N≤F≤14N，故A、B错误。

2．[力的三角形定则的应用]

我国海军在南海某空域举行实兵对抗演练，某一直升机在匀速水平飞行过程中遇到突发情况，立即改为沿虚线方向斜向下减速飞行，则空气对其作用力可能是（　　）

A．F1　　　　　　　　　B．F2

C．F3D．F4

解析：

选A　因为直升机沿虚线方向斜向下减速飞行，故合力沿虚线向上，直升机受到竖直向下的重力以及空气作用力两个力，要想合力沿虚线向上，则根据矢量三角形可得空气对其作用力可能为F1，如图所示。

故A正确。

3．[合力大小的计算]如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮（长度不计）做成裹片。

若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L（弹性限度内），则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为（　　）

A．kLB．2kL

C.

kLD.

kL

解析：

选D　设发射弹丸瞬间两橡皮条间的夹角为2θ，则sinθ＝

＝

，cosθ＝

＝

。

发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为F合＝2Fcosθ，F＝kx＝kL，故F合＝2kL·

＝

kL，D正确。

4．[作图法确定合力的大小]

一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示（小方格边长相等），则下列说法正确的是（　　）

A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定

B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向

C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向

D．由题给条件无法求合力大小

解析：

选B　应先合成其中两个力，再合成第三个力，根据本题特点先合成F1和F2，如图所示，再求F12与F3的合力。

由图可知F合＝3F3，方向与F3同向，故选项B正确。

[名师微点]

1．合力的大小范围

（1）两个共点力的合成

|F1－F2|≤F合≤F1＋F2

即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|，当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。

（2）三个共点力的合成

①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。

②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力最小值等于最大的力减去另外两个力。

2．共点力合成的常用方法

（1）作图法：

从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向（如图所示）。

（2）计算法：

几种特殊情况的共点力的合成。

类　型

作　图

合力的计算

①互相垂直

F＝

tanθ＝

②两力等大，夹角为θ

F＝2F1cos

F与F1夹角为

③两力等大且夹角120°

合力与分力等大

考点二　力的分解问题[师生共研类]

1．按作用效果分解力的一般思路

2．正交分解法

（1）定义：

将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。

（2）建立坐标轴的原则：

一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则（即尽量多的力在坐标轴上）；在动力学中，通常以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。

（3）方法：

物体受到F1、F2、F3…多个力作用求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。

x轴上的合力：

Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…

y轴上的合力：

Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…

合力大小：

F＝

合力方向：

与x轴夹角设为θ，则tanθ＝

。

[典例]　如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比

为（　　）

A．cosθ＋μsinθ　　　　B．cosθ－μsinθ

C．1＋μtanθD．1－μtanθ

[解析]　物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力如图所示。

将物体受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得：

F1＝mgsinθ＋Ff1，FN1＝mgcosθ，Ff1＝μFN1

F2cosθ＝mgsinθ＋Ff2

FN2＝mgcosθ＋F2sinθ

Ff2＝μFN2

解得：

F1＝mgsinθ＋μmgcosθ

F2＝

故

＝cosθ－μsinθ，B正确。

[答案]　B

力的合成与分解方法的选择

力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法，一般情况下，物体只受三个力的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定。

[题点全练]

1．[确定力的作用效果]

将物体所受重力按力的作用效果进行分解，下列图中错误的是（　　）

解析：

选C　A图中，重力产生了使物体下滑的效果及挤压斜面的效果，故A作图正确；B图中，重力产生了向两边拉绳的效果，故B作图正确；C图中，重力产生了挤压两墙壁的效果，两分力分别垂直于墙面，故C作图错误；D图中，重力产生了拉绳及挤压墙面的效果，故D作图正确。

故C符合题意。

2．[分力大小的确定]

（多选）（2018·天津高考）明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：

“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。

一游僧见之曰：

无烦也，我能正之。

”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。

假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则（　　）

A．若F一定，θ大时FN大　　　B．若F一定，θ小时FN大

C．若θ一定，F大时FN大D．若θ一定，F小时FN大

解析：

选BC　根据力F的作用效果将力F分解为垂直于木楔两侧的力FN，如图所示。

则

＝sin

，即FN＝

，所以当F一定时，θ越小，FN越大；当θ一定时，F越大，FN越大。

故选项B、C正确。

3．[力的正交分解法的应用]

如图所示，放在斜面上的物体受到垂直于斜面向上的力F作用始终保持静止，当力F逐渐减小后，下列说法正确的是（　　）

A．物体受到的摩擦力保持不变

B．物体受到的摩擦力逐渐增大

C．物体受到的合力减小

D．物体对斜面的压力逐渐减小

解析：

选A　对物体受力分析，受重力、支持力、静摩擦力和力F，如图所示。

因为物体始终静止，处于平衡状态，合力一直为零，根据平衡条件，有：

①垂直斜面方向：

F＋FN＝Gcosθ，Gcosθ不变，所以F逐渐减小的过程中，FN逐渐变大，根据牛顿第三定律，物体对斜面的压力也增加。

②平行斜面方向：

Ff＝Gsinθ，G和θ保持不变，故Ff保持不变，故A正确。

考点三　绳上的“死结”和“活结”模型[方法模型类]

[典例]　如图1所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图2中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：

（1）细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；

（2）轻杆BC对C端的支持力；

（3）轻杆HG对G端的支持力。

[典例识模]

题中信息

吹“沙”见“金”

细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮

AC段和CD段绳中张力大小相等，属于“活结”

另一端G通过细绳EG拉住

EG段和GF段两绳为两条独立的绳，张力大小不等，属于“死结”

[解析]　题图1和图2中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图甲和乙所示，根据平衡规律可求解。

（1）图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g

图乙中由FTEGsin30°＝M2g，得FTEG＝2M2g。

所以

＝

。

（2）图甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有FNC＝FTAC＝M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方。

（3）图乙中，根据平衡规律有FTEGsin30°＝M2g，FTEGcos30°＝FNG，所以FNG＝M2gcot30°＝

M2g，方向水平向右。

[答案]　

（1）M1∶2M2　

（2）M1g，方向与水平方向成30°角指向右上方　（3）

M2g，方向水平向右

[系统建模]

“死结”模型

“活结”模型

模型结构图

模型解读

“死结”把绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳

“活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳

规律特点

“死结”两侧的绳上张力不一定相等

“活结”绳子上的张力大小处处相等

[熟练用模]

1．（多选）如图所示，电灯的重力G＝10N，AO绳与顶板间的夹角为45°，BO绳水平，AO绳的拉力为FA，BO绳的拉力为FB，则（　　）

A．FA＝10

N　　　　B．FA＝10N

C．FB＝10

ND．FB＝10N

解析：

选AD　O点为两段绳的连接点，属于“死结”，AO绳的拉力FA与BO绳的拉力FB大小不相等。

结点O处电灯的重力产生了两个效果，一是沿OA向下的拉紧AO绳的分力F1，二是沿BO向左的拉紧BO绳的分力F2，画出平行四边形如图所示。

由几何关系得F1＝

＝10

N，F2＝

＝10N，故FA＝F1＝10

N，FB＝F2＝10N，故A、D正确。

2.如图所示，杆BC的B端用铰链连接在竖直墙上，另一端C为一滑轮。

重物G上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡。

若将绳的A端沿墙缓慢向下移（BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计），则下列说法正确的是（　　）

A．绳的拉力增大，BC杆受绳的压力增大

B．绳的拉力大小不变，BC杆受绳的压力增大

C．绳的拉力大小不变，BC杆受绳的压力减小

D．绳的拉力大小不变，BC杆受绳的压力大小不变

解析：

选B　由于绳通过滑轮连接到物体G上，属于“活结”模型，绳上各处张力大小相等且大小等于物体的重力G；根据平行四边形定则，合力在角平分线上，由于两拉力的夹角减小，故两拉力的合力不断变大，因此BC杆受到绳的压力不断变大，选项B正确。

3．如图所示，一条细绳跨过光滑的定滑轮连接两个小球A、B，它们都穿在一根光滑的竖直杆上，不计滑轮的质量，当两球平衡时OA绳与水平方向的夹角为2θ，OB绳与水平方向的夹角为θ，B球的质量为m，重力加速度大小为g，则（　　）

A．A球的质量为

B．A球的质量可能小于B球的质量

C．滑轮受到细绳的作用力大小为

D．细绳上的张力大小为

解析：

选C　细绳跨过光滑的定滑轮连接两个小球，属于“活结”，滑轮两侧两段绳中张力大小相同。

运用隔离法，分别对A、B两球受力分析，如图所示，Tsin2θ＝mAg，Tsinθ＝mg，又2θ<90°，故mA>m且mA∶m＝sin2θ∶sinθ＝2cosθ∶1，可得mA＝2mcosθ，A、B错误；细绳的张力大小T＝

，由几何关系知，滑轮两侧细绳夹角为θ，故滑轮受到细绳的作用力大小F＝2Tcos

＝

，C正确，D错误。

“形异质同”快解题——力的合成中两类最小值问题

（一）合力一定，其中一个分力的方向一定，当两个分力垂直时，另一个分力最小。

1．如图所示，重力为G的小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向60°角且不变，当F与竖直方向的夹角为θ时F最小，则θ、F的值分别为（　　）

A．0°，G　　　　　　　　　　B．30°，

G

C．60°，GD．90°，

G

解析：

选B　小球重力不变，位置不变，则绳OA拉力的方向不变，故当拉力F与绳OA垂直时，力F最小，故θ＝30°，F＝Gcosθ＝

G，B正确。

2．将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。

用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F的最小值为（　　）

A．

mgB．mg

C．

mgD．

mg

解析：

选B　将a、b看成一个整体受力分析可知，当力F与Oa垂直时F最小，可知此时F＝2mgsinθ＝mg，B正确。

（二）合力方向一定，其中一个分力的大小和方向都一定，当另一个分力与合力方向垂直时，这一分力最小。

3．如图所示，物体静止于光滑水平面M上，水平恒力F1作用于物体上，现要使物体沿着OO′方向做直线运动（F1和OO′都在M平面内）。

那么必须同时再加一个力F2，则F2的最小值是（　　）

A．F1cosθB．F1sinθ

C．F1tanθD.

解析：

选B　要使物体沿OO′方向做直线运动，则物体受到的合力F沿OO′方向，如图，由三角形定则知，当F2方向垂直OO′时，F2有最小值，为F2＝F1sinθ，选项B正确。

4．如图所示，甲、乙、丙三人分别在两岸用绳拉小船在河流中行驶，已知甲的拉力大小为800N，方向与航向夹角为30°，乙的拉力大小为400N，方向与航向夹角为60°，要保持小船在河流正中间沿虚线所示的直线行驶，则丙用力最小为（　　）

A．与F甲垂直，大小为400N

B．与F乙垂直，大小为200

N

C．与河岸垂直，大小约为746N

D．与河岸垂直，大小为400N

解析：

选C　如图所示，甲、乙两人的拉力大小和方向一定，其合力为如图所示中的F，要保持小船在河流中间沿虚线方向直线行驶，F与F丙的合力必沿图中虚线方向，当F丙与图中虚线垂直时值最小，由图可知，F丙min＝F乙sin60°＋F甲sin30°＝200

N＋400N≈746N，C正确。

两类最小值问题因初始条件有所差别，表面上看似乎不同，但这两类问题实际上都是应用图解法分析极值条件，从而得出最后结果的。