届山东省滕州市善国中学高三模拟考试理科数学.docx
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届山东省滕州市善国中学高三模拟考试理科数学
2018届山东省滕州市善国中学高三4月模拟考试
数学理试题
参考公式:
如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);
如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)·P(B).
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率:
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
,
,若
,则
A.
B.
C.
D.
2.复数
在复平面上分别对应点
,则
=()
A.
B.
C.
D.
3.下列推断错误的是( )
A.命题“若
则
”的逆否命题为“若
则
”
B.命题p:
存在
,使得
,则非p:
任意
,都有
C.若p且q为假命题,则p,q均为假命题
D.“
”是“
”的充分不必要条件
4.某调查机构对某地区小学学生课业负担情况进行了调查,设平均每人每天做作业的时间为
分钟,有
名小学生参加了此项调查,调查所得数据用程序框图处理,若输出的结果是
,则平均每天做作业的时间在
~
分钟(包括60分钟)内的学生的频率是()
A.
B.
C.
D.
5.已知
是公差不为0的等差数列
的前
项和,且
成等比数列,则
等于()
A.10B.8C.6D.4
6.设
表示三条直线,
,
,
表示三个平面,给出下列四个命题:
①若
,
,则
;②若
,
是
在
内的射影,
,则
;
③若
,
,则
;④若
⊥
,
⊥
,则
∥
.
其中真命题为()
A.①②B.①②③C.②③④D.①③④
7.R上的奇函数
满足
,当
时,
,则
()
A.
B.
C.
D.
8.如图,函数
的图象为折线
,设
,则函数
的图象为()
9.双曲线
的离心率为2,则
的最小值为()
A.2B.
C.
D.
10.设平面点集
,则
所表示的平面图形的面积为()
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.某商场调查旅游鞋的销售情况,随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸,整理得如下频率分布直方图,其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为
,则购鞋尺寸在
内的顾客所占百分比为______.
12.阅读程序框图,则输出的数据
为________.
13.
的展开式中
的系数为_____________.
14.设
为抛物线
的焦点,过点
的直线
交抛物线
于两点
,点
为线段
的中点,若
,则直线的斜率等于______________.
15.若集合
满足
,则称
为集合
的一种拆分.已知:
①当
时,有
种拆分;
②当
时,有
种拆分;
③当
时,有
种拆分;……
由以上结论,推测出一般结论:
当
有___________种拆分.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
在
中,角
,
,
对应的边分别是
,
,
.已知
.
(Ⅰ)求角
的大小;
(Ⅱ)若
的面积
,
,求
的值.
17.(本小题满分12分)
一批产品需要进行质量检验,检验方案是:
先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立
(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率;
(Ⅱ)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:
元),求X的分布列及数学期望.
18.(本小题满分12分)
已知
,数列
满足
,数列
满足
;又知数列
中,
,且对任意正整数
,
.
(Ⅰ)求数列
和数列
的通项公式;
(Ⅱ)将数列
中的第
项,第
项,第
项,……,第
项,……删去后,剩余的项按从小到大的顺序排成新数列
(其中s+m=n),求数列
的前
项和.
19.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱
中,
,
,
是
的中点.
(Ⅰ)求证:
∥平面
;
(Ⅱ)求二面角
的余弦值;
(Ⅲ)试问线段
上是否存在点
,使
与
成
角?
若存在,确定
点位置,若不存在,说明理由.
20.(本小题满分13分)
已知
,函数
.
(Ⅰ)记
求
的表达式;
(Ⅱ)是否存在
,使函数
在区间
内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?
若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系
中,设点
(
),直线
:
,点
在直线
上移动,
是线段
与
轴的交点,过
、
分别作直线
、
,使
,
.
(Ⅰ)求动点
的轨迹
的方程;
(Ⅱ)在直线
上任取一点
做曲线
的两条切线,设切点为
、
,求证:
直线
恒过一定点;
(Ⅲ)对(Ⅱ)求证:
当直线
的斜率存在时,直线
的斜率的倒数成等差数列.
2018届山东省滕州市善国中学高三4月模拟考试
数学理试题参考答案
选择题BBCCB,ABACD
填空题11.55%12.213.24014.
15.
解答题
16.(本小题满分12分)
解:
(I)由已知条件得:
解得
角
(II)
由余弦定理得:
17.(本小题满分12分)
设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥,
∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=
+
=
(Ⅱ)X的可能取值为400,500,800,并且
P(X=400)=1-
=
P(X=500)=
P(X=800)=
=
∴X的分布列为
X
400
500
800
P
EX=400×
+500×
+800×
=506.25
18.(本小题满分12分)
解:
,
又由题知:
令
,则
,
若
,则
,
,所以
恒成立。
若
当
不成立,所以
。
(Ⅱ)由题知将数列
中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列
中的奇数列与偶数列仍成等比数列,首项分别是
,
公比均是
。
19.(本小题满分12分)
解
(1)连结
,交
于点
,连结
.
由
是直三棱柱,
得四边形
为矩形,
为
的中点.
又
为
中点,所以
为
中位线,
所以
∥
,因为
平面
,
平面
,
所以
∥平面
.
(2)由
是直三棱柱,且
,故
两两垂直.
如图建立空间直角坐标系
.设
,
则
所以
,
设平面
的法向量为
,则有
所以
取
,得
.
易知平面
的法向量为
.
由二面角
是锐角,得
.
所以二面角
的余弦值为
.
(3)假设存在满足条件的点
.因为
在线段
上,
,
,故可设
,其中
.所以
,
.
因为
与
成
角,所以
.
即
,解得
,
舍去.
所以当点
为线段
中点时,
与
成
角。
20.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)
(II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图像上存在两点
满足题目要求,则P,Q分别在两个图像上,且
.
不妨设
所以,当
时,函数
在区间
内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直.
21.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)依题意知,点
是线段
的中点,且
⊥
,
∴
是线段
的垂直平分线.∴
.
故动点
的轨迹
是以
为焦点,
为准线的抛物线,其方程为:
.
(Ⅱ)设
,两切点为
,
由
得
,求导得
.
∴两条切线方程为
①
②
对于方程①,代入点
得,
,又
∴
整理得:
,
同理对方程②有
,即
为方程
的两根.
∴
③
设直线
的斜率为
,
,
所以直线
的方程为
,展开得:
,代入③得:
,∴直线恒过定点
.
(Ⅲ)证明:
由(Ⅱ)的结论,设
,
,
,
且有
,
∴
,
∴
=
,
又∵
,
所以
。
即直线
的斜率倒数成等差数列.
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