武汉市七一中学八年级数学专题 实数的概念及性质含答案.docx
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武汉市七一中学八年级数学专题实数的概念及性质含答案
武汉市七一中学八年级数学专题——实数的概念及性质
(含答案)
数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的.
从有理数到无理数,经历过漫长曲折的过程,是一个巨大的飞跃,由于引入无理数后,数域就由有理数域扩充到实数域,这样,实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系.
由于引入开方运算,完善了代数的运算.平方根、立方根的概念和性质,是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础.平方根、立方根是最简单的方根,建立概念的方法,以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础.
有理数和无理数统称为实数,实数有下列重要性质:
1.有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式,都可以表示成分数
的形式;无理数是无限不循环小数,不能写成分数
的形式,这里
、
是互质的整数,且
.
2.有理数对加、减、乘、除是封闭的,即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数;无理数对四则运算不具有封闭性,即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数.
例题求解
【例1】若a、b满足
3=7,则S=
的取值范围是.
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨运用
、
的非负性,建立关于S的不等式组.
注:
古希腊的毕达哥拉斯学派认为,宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比.但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数,也不是整数的比所能表示,这严重地冲击了当时希腊人的传统见解,这一事件在数学史上称为第一次数学危机.希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受,相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死.
【例2】设
是一个无理数,且a、b满足ab-a-b+1=0,则b是一个()
A.小于0的有理数B.大于0的有理数C.小于0的无理数D.大于0的无理数
(武汉市选拔赛试题)
思路点拨对等式进行恰当的变形,建立a或b的关系式.
【例3】已知a、b是有理数,且
,求a、b的值.
思路点拔把原等式整理成有理数与无理数两部分,运用实数的性质建立关于a、b的方程组.
【例4】
(1)已知a、b为有理数,x,y分别表示
的整数部分和小数部分,且满足axy+by2=1,求a+b的值.(南昌市竞赛题)
(2)设x为一实数,[x]表示不大于x的最大整数,求满足[-77.66x]=[-77.66]x+1的整数x的值.(江苏省竞赛题)
思路点拨
(1)运用估算的方法,先确定x,y的值,再代入xy+by2=1中求出a、b的值;
(2)运用[x]的性质,简化方程.
注:
设x为一实数,则[x]表示不大于x的最大整数,[x]]又叫做实数x的整数部分,有以下基本性质:
(1)x-1<[x]≤x
(2)若y 【例5】已知在等式 中,a、b、c、d都是有理数,x是无理数,解答: (1)当a、b、c、d满足什么条件时,s是有理数; (2)当a、b、c、d满足什么条件时,s是无理数. (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 (1)把s用只含a、b、c、d的代数式表示; (2)从以下基本性质思考: 设a是有理数,r是无理数,那么①a+r是无理数;②若a≠0,则ar也是无理数;③ r的倒数 也是无理数,解本例的关键之一还需运用分式的性质,对a、b、c、d取值进行详细讨论. 注: 要证一个数是有理数,常证这个数能表示威几十有理数的和,差,积、商的形式;要证一个数是无理数,常用反证法,即假设这个数是有理数,设法推出矛盾. 学力训练 1.已知x、y是实数, ,若 ,则a=. (2002年个数的平方根是 和 ,那么这个数是. 3.方程 的解是. 4.请你观察思考下列计算过程: ∵112=121,∴ ;同样∵1112=12321,∴ ;…由此猜想 . (济南市中考题) 5.如图,数轴上表示1、 的对应点分别为A、B,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数是() A. B. C. D. (江西省中考题) 6.已知x是实数,则 的值是() A. B. C. D.无法确定的 (“希望杯”邀请赛试题) 7.代数式 的最小值是() A.0B. C.1D.不存在的 (“希望杯”邀请赛试题) 8.若实数a、b满足 ,求2b+a-1的值. (山西省中考题) 9.细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题. , ; , ; , ;… (1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律; (2)推算出OA10的长; (3)求出Sl2+S22+S32+…+S210的值.(烟台市中考题) 10.已知实数a、b、c满足 ,则a(b+c)=. 11.设x、y都是有理数,且满足方程 ,那么x-y的值是. (“希望杯’邀请赛试题) 12.设a是一个无理数,且a、b满足ab+a-b=1,则b=. (四川省竞赛题) 13.已知正数a、b有下列命题: ①若a=1,b=1,则 ;②若 ,则 ; ③若a=2,b=3,则 ;④若a=1,b=5,则 . 根据以上几个命题所提供的信息,请猜想,若a=6,b=7,则 . (黄冈市竞赛题) 14.已知: ,那么代数式 的值为() A. B. C. D. (重庆市竞赛题) 15.设[x]表示最接近x的整数(x≠n+0.5,n为整数),则[ ]+[ ]+[ ]+…+[ ]的值为() A.5151B.5150C.5050D.5049 (“五羊杯”邀请赛试题) 16.设a ,则 的值为() A. B. C. D.3 (全国初中数学竞赛题) 17.若a、b、c为两两不等的有理数,求证: 为有理数. 18.某人用一架不等臂天平称一铁块a的质量,当把铁块放在天平左盘中时,称得它的质量为300克,当把铁块放在天平的右盘中时,称得它的质量为900克,求这一铁块的实际质量. (安徽省中考题). 19.阅读下面材料,并解答下列问题: 在形如ab=N的式于中,我们已经研究过两种情况: ①已知a和b,求N,这是乘方运算,②已知b和N,求a,这是开方运算. 现在我们研究第三种情况;已知a和N,求b,我们把这种运算叫做对数运算. 定义: 如果ab=N(a>0,a≠1,N>0),则b叫做以a为底的N的对数,记作b=logaN. 例如: 因为23=8,所以log28=3;因为2-3= ,所以log2 =-3. (1)根据定义计算: ①log381=;②log33=;③log3l=;④如果logx16=4,那么x=. (2)设ax=M,ay=N,则logaM=x;logaN=y(a>0,a≠1,N>0,M,N均为正数). 用logAM,logAN的代数式分别表示logaMN及loga ,并说明理由. (泰州市中考题) 20.设 ,a、b、c、d都是有理数,x是无理数.求证: (1)当bc=ad时,y是有理数; (2)当bc≠ad时,y是无理数. 设△ABC的三边分别是a、b、c,且 ,试求AABC的形状.
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