相反数与绝对值.docx
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相反数与绝对值.docx
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相反数与绝对值
主題1-3:
相反數與絕對值
一、授課對象:
七年級國中上學期學生 撰寫者:
李政憲
二、先備知識:
能將整數、分數、小數標記在數線上。
對應:
4-n-10、5-n-13
三、教學目標(含核心概念或相關概念):
認識相反數與絕對值。
對應:
7-n-04、7-n-05、7-n-08
(1)瞭解相反數與絕對值的意義,並作簡單的計算。
(2)說明相反數的意義與引入原因:
1.強調與原點距離相同的異號數
2.-(-a)=a與0的相反數說明
(3)說明絕對值的意義:
1.說明絕對值表示該數與原點的距離
2.比較負數與正數絕對值的計算方式與值的大小
3.絕對值與相反數的關係
(4)利用絕對值意義作簡單的大小比較與計算
1.由|a|求a,並找出絕對值小於a的所有整數。
四、教學時間:
90分鐘(二節課)
五、教學說明:
透過相反數的介紹,引入絕對值的概念,進一步討論其意義並進行其運算。
六、教學活動:
活動一:
《相反數的概念》
透過數線繪製相反數,觀察兩點的位置關係。
如上圖,大樹與小花(或以甲、乙兩點表示)在數線上所在的位置為何?
兩點的坐標有何關係?
※觀察後得到的結論:
1.如:
3的相反數為-3,-3的相反數為3,我們稱這兩個數互為相反數;亦即:
3與-3互為相反數
-4與4互為相反數
-
與
互為相反數
1.2與-1.2互為相反數
-
與
互為相反數
與-
互為相反數
2.當兩數互為相反數時,以原點為基準,兩點在數線上與原點的距離相同,左右方向相反;例如以上的3與-3,與原點的距離相同(均為3),方向相反(一左一右)。
活動二:
《相反數的舉例與說明》
說明:
請同學舉相反數的例子,並說明在數線上的相關位置(可不限制為整數)。
例如:
24與-24在數線上是以原點為基準,與原點距離均為24個單位長且方向相反的兩個數;
想想看:
請問3的相反數除了-3以外,還有其他的數嗎?
活動三:
《相反數的練習》
例1:
求出以下各數的相反數:
(1)5.1
(2)-4(3)-12.3 (4)
隨堂練習1:
求出以下各數的相反數:
(1)-13.7
(2)27 (3)
(4)-51
活動四:
《相反數的符號化簡》
※延伸思考I:
「正數的相反數即加上負號,負數的相反數即去掉負號」的結論是對的嗎?
觀察下圖,請問a與b的相反數分別為何?
請在數線標示出其答案。
根據上圖的答案,請問-a的相反數為何?
所以-(-a)=?
a的正負會影響其答案嗎?
請問-(-5)=?
-(-
)=?
0的相反數為何?
活動五:
《絕對值的符號》
說明:
由活動一~四,可以得到數線上互為相反數的兩點,與原點的距離相同;而在數學上要計算某數與原點距離時,可透過絕對值符號||的使用;
例如:
|5|=5,代表5與原點的距離為5;|-
|=
,代表-
與原點的距離為
。
而絕對值與+、-、×、÷等符號一樣,也等同於一種數學運算符號。
活動六:
《絕對值的計算與相反數的比較》
例2:
(1)計算以下各算式的結果:
|-7| |
||-3.5|
(2)計算以下各算式的結果:
|3.2-1| |11-50| |11|-50
隨堂練習2:
計算以下各數的絕對值,並比較其絕對值的大小:
(1)9.3
(2)3-10 (3)-
例3:
(1)分別計算5的相反數與絕對值;
(2)分別計算-5的相反數與絕對值。
隨堂練習3:
觀察以上問題的答案,請問:
正數的相反數與絕對值有何關係?
並舉例說明。
負數的相反數與絕對值有何關係?
並舉例說明。
活動七:
《絕對值基本應用》
在瞭解絕對值的概念與運算方式後,接下來將針對絕對值的意義,作相關例題的應用:
例4:
分別計算2011與-2011的絕對值
隨堂練習4:
分別計算3.5與-3.5的絕對值
根據例3與題中的答案,請問當兩數互為相反數時,兩數的絕對值有何關係?
例5:
若|a|=
,則a可能的值有哪些?
隨堂練習5:
如下圖所示,若A、B、C三點的坐標分別為a、b、c,分別求出下列各式的值:
|a| |c-b| |a+c|
例6:
若|a|<
,且a為整數,則a可能的值有哪些?
隨堂練習6:
若|a|>2且|a|<8,又a為整數,寫出所有可能的a值並數線表示所有a可能代表的點。
活動八:
《絕對值綜合練習》
※延伸思考II:
請回答下列問題:
絕對值小於或等於10的整數共有幾個?
這些整數的和為多少?
絕對值小於或等於24的整數共有幾個?
這些整數的和為多少?
若b為正整數,則絕對值小於或等於b的整數共有幾個?
(以b表示)
※結論:
1.相反數:
當以原點為基準,兩數在數線上與原點的距離相同,左右方向相反時,則此兩數稱為相反數;例如:
3與-3互為相反數。
2.絕對值:
計算某數與原點的距離時,可透過絕對值符號||的使用作運算;例如:
|5|=5,|-5|=5。
3.正數的絕對值為其本身,負數的絕對值為去除負號之後的值(即為其相反數)。
教學活動參考解答:
活動二參考解答:
如3.5與-3.5互為相反數,且在數線上與原點的距離均為3.5個單位長(一左一右)。
想想看解答:
沒有其他的數。
活動三(例1)參考解答:
(1)-5.1
(2)4(3)12.3 (4)-
活動三(隨堂練習1)參考解答:
(1)13.7
(2)-27 (3)-
(4)51
活動四參考解答:
是 -a與-b,圖示如下:
-a的相反數為a
-(-a)=a
不影響其答案
-(-5)=5,-(-
)=
0的相反數=0
活動六(例2)參考解答:
(1)7
3.5
(2)2.2 39 -39
活動六(隨堂練習2)參考解答:
(1)|9.3|=9.3
(2)|3-10|=7 (3)|-
|=
故|9.3|>|3-10|>|-
|
◎註:
此處需要求學生將其值計算後加上絕對值運算符號,避免書寫出「-
=
」的結果。
活動六(例3)參考解答:
(1)5的相反數為-5,|5|=5;
(2)-5的相反數為5,|-5|=5
活動六(隨堂練習3)參考解答:
正數的相反數與絕對值互為相反數,例如:
3的相反數
-3與|3|=3互為相反數;
負數的相反數與絕對值相同,例如:
-3的相反數3與
|-3|=3相同。
活動七(例4)參考解答:
|2011|=2011,|-2011|=2011。
活動七(隨堂練習4)參考解答:
|3.5|=3.5,|-3.5|=3.5
當兩數互為相反數時,兩數的絕對值相同。
活動七(例5)參考解答:
因|a|代表的是與原點距離
的點,故a的值為
或-
。
活動七(隨堂練習5)參考解答:
|a|=|-
|=
|
-
|=
=
|a+c|=|-
+
|=|0|=0
活動七(例6)參考解答:
因|a|<
代表的是與原點距離小於
的點,而比
小的正整數有0,1,2,3;故a可能的值為-3,-2,-1,0,1,2,3共7個答案。
活動七(隨堂練習6)解答:
比2大比8小的正整數計3,4,5,6,7共5個數,故a可能的值有-3,-4,-5,-6,-7,3,4,5,6,7共10個數,繪製於數線如下:
活動八參考解答:
21個,其和為0 49個,其和為0 2×b+1個
七、指定作業:
1.計算後說明下列各數的相反數與絕對值:
-3 5.2+2.5 3-10
2.若一個數的相反數與絕對值相同,則這個數可能是哪些數?
3.如圖所示,數線上A、B、C、D各點所表示的數分別為a、b、c、d,試比較a、b、c、d各數絕對值的大小:
4.若a、b為正整數,且絕對值小於a的整數有13個,絕對值小於b的整數有21個,求-|a+b|之值。
指定作業參考解答:
1.相反數=3,絕對值=3 相反數=-7.7,絕對值=7.7
相反數=7,絕對值=7
2.0或負數(與絕對值的定義不同,可提醒學生注意)
3.|a|>|d|>|b|>|c|(此題應確認學生讀題與絕對值的概念是否清楚,其中b、d兩點絕對值的大小比較,主要是強調絕對值比大小未必需要實際計算出值的大小,也為了接下來兩點距離的概念作準備)
4.a=7,b=11(注意有些學生的答案會寫成a=6,b=10,主要是<與≤兩種符號與概念的混淆,教師再加以說明提醒即可),故-|7+11|=-18(絕對值的運算雖非負,但加上負號後仍為負數)
八、教學注意事項:
1.本主題的教學內容,主要是參考各版本第一冊課本,以及個人教學經驗設計而成,資訊融入非必要,可直接於黑板上討論作答即可。
2.指導說明讀題時間每題約1分鐘。
3.活動一~活動六各約5~7分鐘;活動七、八約10~15分鐘。
4.隨堂練習約2~3分鐘。
5.結論時間:
5分鐘。
6.指定作業(含提示與檢討):
15分鐘。
7.在各活動間,教師宜巡堂走動,加強瞭解學生學習情形。
8.在各活動進行時,可視題目難易度隨機指定學生口頭回答或上台作答。
答對時給予言語上的獎勵,答錯時另請其它同學作答,再答錯老師應加強解說。
9.活動一進行時,教師可說明相反數的引入,是為了接下來要介紹的絕對值概念預作鋪陳。
10.教師應特別加強解說,相反數與絕對值以及整數加減的關係。
11.活動二的目的是為了確認學生均能了解相反數的意義,並能判斷其他同學答案是否正確;進一步再說明a與-a互為相反數的概念。
在強調相反數以原點為基準在數線上的意義,並強調其存在的唯一性後,便能為接下來-(-a)=a作接軌。
12.活動四教學建議:
此處的題目設計,主要為了將來要介紹絕對值的代數意義預作舖陳,當學生的概念與運算尚未熟捻前,教師不宜特別強調;
至於的題目設計,配合圖形的觀察與教師的說明,透過a的相反數為-a(不論a的正負)的規定與說明,可推出-a的相反數有二:
-(-a)與a,加上活動三強調相反數的唯一性,便可導出-(-a)=a的結論,並進行第題的練習。
進一步於第題透過0與原點的距離為0(不分左右),說明0的相反數=0(也為接下來|0|=0的結果預作鋪陳);另外-(-a)=a將與第三章「式子的運算」的概念:
「(-1)×(-a)=a」再作比較。
此外相反數的介紹,將作為下一節「整數的加減」的基本工具,務必確實要求學生了解與熟練。
13.活動六的安排,主要是承接之前相反數的概念,比較正、負數相反數與絕對值運算的結果有何差異,進一步應用於接下來活動的設計。
14.活動八教學建議:
(1)此處延伸思考題型主要將例題4的概念作進一步應用,若學生前面的練習較不熟悉,此處可先不練習,待後續相關運算較為熟練後,教師再行加強;
(2)此處三個小題主要在討論絕對值小於a(a>0)的整數的對稱性,進一步作數的大小比較,並讓學生有同值異號的正負數互相抵消的概念;
(3)關於|a|=-a(a<0)的討論,此處不宜直接與學生討論,避免與「絕對值計算的結果恆為非負數」的結論造成混淆;教師可待學生的未知數概念較清楚後,再與學生進行討論;
(4)至於兩點距離的討論(如:
|x-3|=1,則x的值為何?
),宜放在下一章節「整數的加減計算」學習完畢後,再進行補充與加強。
15.透過相反數的引入,一方面為接下來要學習的絕對值作搭配,另一方面也為下一章節「整數的加減」作鋪路;
16.絕對值的非負性質在數學的後續學習是極為重要的,可從不同兩個角度(幾何與代數,詳見底下參考資料:
2.絕對值教學目標)進行切入教學,然而為避免學生產生混淆,在教學中,應只強調一種定義(一般建議由幾何意義先學起,如本節內容安排方式),另一種定義宜由學生自行觀察,或待學生相關概念與練習較為上手,再由老師進行補充(代數意義:
一個正數的絕對值是它本身;一個負數的絕對值是它的相反數;零的相反數是零);主要因為利用幾何方式解釋絕對值大小與零的絕對值都較為直觀。
至於「非負數」名詞的引入,也期待在學生的觀察理解後,由教師的歸納適當提出。
九、教學參考資料:
1.各版本99年第一冊數學課本;
2.絕對值教學目標:
- 配套讲稿:
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- 相反数 绝对值