如何学好大学数学类课程数学学习漫谈.docx

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如何学好大学数学类课程数学学习漫谈

如何学好大学数学类课程：

数学学习漫谈

数学类课程，其特点是需要理解（有别于语言类和政治类课程）而又不需要做实验（有别于物理、化学、生物）的基础课程。

作为大学教师，我很清楚“考好”与“学好”的差别。

“学好”所付出的精力和时间要比“考好”多许多，一般考试成绩也不会差。

若干门核心课程需要“学好”，其它的课程能“考好”就不错了。

这里只谈考好，学好以后再说。

首先，要认真听课。

上课集中精神，跟教师的思路走。

那怕后来发现教师的思路出错了，也有收获。

不要主观认为教师应该如何讲课，不要用中学教师的标准判断大学教师。

当然，大学教师良莠不齐，有些教师的课确实不值得听。

但学生不宜过早的下这种判断。

只要要认真听课10学时以上，再判断是否值得听。

一般而论，低年级的课程，值得听的比较多。

其次，认真阅读教材，还有教师讲课用的ppt。

在中学，课后不认真阅读教材也不是种好的学习习惯，虽然用题海战术或许能使这种习惯不影响考试成绩。

在大学，不阅读教材很难考出好成绩。

特别要注意教材和课件中的例题，无论教师是否在课堂上讲解过。

课前预习下教材也是种很好的学习习惯，对考出好成绩有帮助，但未必是必须的。

最后，可能也是最重要，认真做习题。

一般来说，教师留作业的题目全部弄懂，包括问过老师或同学后确实懂了，考试就可以80分以上。

有题目做不出需要讨论或请教是正常的，但绝对不能抄作业。

如果要考90分以上，还应该选作些书上比所留作业更难的题目。

总得讲，大学里的考试都比高中阶段的容易，或许刚开始还没有适应时的小考是例外。

与高中更看重成绩相对排名不同，大学的排名在评奖学金等方面也重要，但更重要的是绝对成绩。

成绩的学时加权平均成为所谓积点，在以后出国申请奖学金等方面都很重要。

就数学课程而言，考好与学好不同。

前者更强调运用熟练，后者更强调理解深刻。

当然，真正学好了，一般也能考好。

所有的课程都要争取考好，而只有核心课程值得花功夫学好。

数学系的课程不少，核心的也只有几门。

数学分析、线性代收（往往还包括代数方程和解析几何）、微分几何、复变函数、实变函数、抽象代数、泛函分析、拓扑学。

这些核心课程仅是考得好还不够，还要学得好。

其它的课程也重要，但如果这些核心课程学得好，相对比较容易。

例如，常微分方程和数理方程，内容驳杂，但真正深刻的思想不多；数值分析需要上机实习，但数学本身的含量也不是很高。

如果要学好这些核心类课程，应该注意以下几点。

首先，听中国教师上课。

教师的讲解总是重要的，特别是对于低年级的入门性课程。

上大学交学费，却不用教师的资源，显然不是明智的选择。

与中学听课更侧重解题方法不同，大学的数学课程更应该听教师的分析思路和概念解释。

为有更好的听课效果，课前应简单预习，了解要讲的大致内容；课后要复习。

特别注意理论的完整性。

多数数学课程在具有不同尺度上的理论体系。

全部数学课程是个体系，每门课程又是个子体系，课程中每章又自成体系，而教师组成材料时往往让每次课也有一定的完整性。

其次，做俄国习题集的题目。

想要学好数学，必须多做练习。

完成教师布置作业后仍有余力，应该把教材上比作业难的题目也都做了。

在此基础上，我建议从俄国的习题集中找题目做。

这出于两方面的考虑。

其一，俄国的数学教学体系与中国的很接近，更准确地讲现在中国的教学体现主要是因袭俄国的，因此比较便于与课堂教学同步练习。

其二，俄国很多教材没有习题或仅有很少的练习，因此必须配套专门的习题集；往往是一本习题集要配不同的教材，所以习题集的内容很丰富。

当然，俄国习题集的缺点是题目太大有些是比较机械的重复性练习。

最好有内行指点使用。

第三，阅读英文教材。

真正的数学概念是超越语言的，因此用不同的语言思考数学问题，有助于理解的深入。

一般而言，阅读英文比中文吃力，因此教材更要精选。

不仅要阅读教材，而且要完成练习，这样可以检验理解程度。

或许与课堂教学同步阅读英文教材不太现实，不仅是时间有限，而且教学体系差别比较大。

可以学完门课程后再读英文教材。

英文教材需要精选，下次再专门详细谈

最后，课程之间打通。

前面说过，全部数学课程构成个理论体系。

要学好的不仅是每门课程，而且是要把各门课程融会贯通。

各门课程的分别仅是为教学方便的侧重不同，彼此之间还是有联系的。

例如，数学分析课程中多元曲线和曲面积分用得都是Riemann积分，而在实函数论中将学习Lebesgue积分以及其它抽象积分，这时就应该思考曲线和曲面Lebesgue积分的性质与用途。

再例如，高度代数中讲线性空间都是有限维，泛函分析中引入无限维空间，两者的异同也很值得推敲。

顺便一提，坊间有大量的学习指导、习题指南之类的辅助读物。

这些对考好数学或许有一定帮助，但基本上无助于学好数学。

这类书的作者，在最好的情况，也只是有些教学经验，但一般缺乏职业数学家所具有的理解和洞察。

大学读过的数学书之1：

缘起

看到网上个帖子“数学专业参考书整理推荐”，其中有些书我也学过，挺亲切。

虽然我自信可以推荐个更好的书目，特别是原来的书目中外国教材部分比较薄弱，而且把不同层次的教材混在一起。

不过，我不想和人家打擂。

我只是想回忆一下自己大学里读过的，特别是特色突出的。

当然与是否被选作教材没有关系。

有些没有新版，已经不流行了。

有些多次修订再版，不过我也只谈我当年读过的版本。

作为对照，也把前面的帖子相应部分附在后面。

回忆也不完全是单纯的怀旧。

如果有方法上的启示，至少当时感觉有，我也一并写出来。

原来的帖子是数学专业的书，也包括物理等非数学数。

我的回忆只包括数学书，而且限于主干课程，如数学分析、解析几何、高等代数、复变函数、微分几何、常微分方程、数学物理方程、抽象代数、实变函数、拓扑学、泛函分析。

附：

数学专业参考书整理推荐1

学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理：

从数学分析开始讲起：

数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。

也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。

当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。

数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。

将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。

记住以下几点：

1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。

2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。

3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。

4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。

5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。

6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。

7，经常回头看看自己走过的路

以上几点请在学其他课程时参考。

与大学新生谈数学学习1：

如何读

数学课程在教育中的1个重要任务是对深度阅读的训练，这里所谓深度阅读主要是分析性阅读，一般还不需要批判性阅读。

这种阅读是在中学语文课上应该学到而一般没有学到的。

精读教材（学有余力者还可有参考书）本身是学好数学的必由之路。

大学数学的内容深而且多，每门课程时间又短，中学的题海战术基本不可行。

学习的重点必须放在听课和读书上。

读数学书时要注意下列几点。

首先，明确层次。

大学里每门课程的教材都是厚厚的书，有时还不止1册。

但书上的内容性质并非相同，大致可以分4种。

最核心的内容是各种概念以及概念间的联系（也就是定义和定理或公理）及其证明过程。

其次是对核心内容的说明，如引入定义的动机，定理可能的推广和相关的反例等。

再其次是具体的方法，往往是个具体构造过程，如数分中的有理函数积分、高代中的正交化等。

最外层是应用性的例题等。

其二，专注重点。

数学中有些定理叙述就冗长，而且数学公示穿插在文字中，看了很眼晕。

阅读时关键首先是抓住所有的数学概念（名词），这些概念可能出现在条件中，也可能出现在结论中。

除概念外，要特别注意限制词，如“任意”“存在”等。

第三，理清思路。

有些定理的证明过程很繁复，看起来似乎明白，合上书却没有任何印象。

这时，可以自己把整个证明过程分解为若干步骤。

而所谓思路，无非是证明的整体框架，以及关键步骤的具体处理。

这样，重要的定理证明过程都变成几条，就容易掌握了。

最后，发现难点。

对一般学生而言，任何教材都会有难懂的地方。

看书不怕不明白，就怕不知道哪里不明白。

发现难点、克服难点往往是提高数学成熟性的关键。

对教材而言，难点不会在大的框架，不然书写得也太不成功。

当然，不会做的习题不是我所谓的难点。

有意义的难点是证明过程中的关键细节，说明中的某些非平凡的反例等。

如何读数学分析教材：

数学学习漫谈

我个人赞同要读3本数学分析的书，每本读3遍。

第1本当然是教材，各校所用不同。

所有书的每次阅读都要逐字逐句的看，但侧重各有不同。

依次达到学习数学分析的4个不同境界，懂、熟、巧、通。

这里先谈教材。

第1遍读教材要在教授讲解之前，即是所谓预习。

预习的目的是要弄清楚懂和不懂的，虽然自以为懂的未必真懂，但不懂的一定是不懂了。

预习要用铅笔做些标注，好在大陆的教材便宜不需要循环使用。

标注分两类，1类是自己认为重要的概念、定理、证明思路等，这自然是有一定理解的；另1类是不理解的，如果有兴致还可以按不理解的程度分星级。

预习后不要动手做题，这时做题事倍功半，既耽误时间，又浪费了题目。

第2遍读教材是在上课之后。

听课要基本解决懂的问题，这次阅读要由“懂”到“熟”，甚至“巧”。

关键是要把教材中的字面内容基本弄懂，而且要比较熟悉。

对于数学分析这种课程，充分理解是个趋于无穷的过程。

第2遍阅读，要能用自己的话复述概念、定理及其证明思路。

重要的概念如极限、连续、一致连续、可导、可积、一致收敛等，要能用肯定方式叙述否定命题。

比较长的理论性证明，如Cauchy收敛准则、闭区间上连续函数性质、积分存在条件、隐函数定理、Stokes类公式、Fourier级数收敛定理等，要掌握证明的主要步骤和关键要点。

还要琢磨例题中具体的解题方法。

这遍读完，就可以做习题了。

在做习题的过程中，也许还要回头再看，但不用从头到尾阅读了。

第3遍通读是在解完习题之后。

这次要努力读出书上没有的内容，开始由“熟”到“通”。

首先，重要定理要能用反例说明条件的必要性。

如果书上有反例，再自己想1个，哪怕是与书上的反例类似。

其次，注意推广和特例，特殊的结论要一般化，而一般的结论要想出非平凡的特例。

第三，平衡几何直观和严格证明。

对严格的分析陈述要想几何图象，而对几何直觉要能严格证明。

最后，运用类比和移植。

数列极限与函数极限、数列与级数、积分与极限等，都是有同有异，有些类似的结论，比较这些结论，有助于深入理解。

如何读数学分析参考书：

数学学习漫谈8

前面说过，数学分析课程之外，还要读两本参考书。

1本是概念讲解清楚的，如“漫谈4”介绍过的已故张筑生教授编者《数学分析新讲》，以及配套的林源渠和方企勤（已故）两位教授遍《数学分析解题指南》。

另1本是应用灵活的，如“漫谈6”介绍常庚哲和史济怀两位教授编《数学分析教程》。

当然，如果后面两书被选为教材了，就要再找其它的书，好在用那两套书为教材的学校不多。

读参考书首先遇到的问题是参考书与教材的内容编排未必完全一致，特别是实数理论往往在不同的地方处理。

但基本上是几大块，分析基础、单变量微分、多变量微积分、曲线曲面微积分和级数。

我建议总的原则是如果是技术性的扩展内容，如《数学分析新讲》讲Stolz定理，《数学分析教程》讲闭区间上迭代函数的性质，这些是其他教材可能不讲了。

多学些也没有坏处。

如果是成节甚至成章的顺序调整，那就不急着学，大体上还要按教材的顺序。

第1遍读第1参考书应该读过教材第2遍，并且已经完成习题之后。

这样与教材本质相同的内容马上可以识别出来。

重点看表面不同的的内容。

一般来说，各书的概念实质一样（如有不同也是等价的说法，例如函数极限的序列定义或epsilon-delta定义），定理也应该差不多。

但定理比较复杂的证明过程可能有所不同，可能是方法包括出发点不同，也可能仅是叙述方式不同。

除了新的具体知识点外，对相同内容的解释和描述也要重视。

当然，例题也要特别重视。

例题侧重不同，或强调概念的澄清如些反例，或发展些技巧，在读参考书中对后一方面更要重视。

第这遍读完就做习题。

习题难免有与教材重复的，可以跳过，但也要想想解题的过程。

在不同的书中出现，说明该题目不同凡响。

做完习题后第2遍读第1本参考书。

读法类似于第3遍读教材。

因为只重视与教材不同的内容速度可以快许多。

接下来就可以第1遍读第2参考书了。

方法与第1遍读第1参考书一样。

但该书的特点是求“巧”。

通过应用发展数学分析的技巧。

其中应用包括解决些趣味性的复杂问题，或处理些应该在后续课程中出现的内容。

该书的习题特别难，尤其是上卷。

因此，第1遍看过后，把题目都做1遍对一般人可能很不容易，能做其中1部分，哪怕是比较简单的部分也好。

做完部分习题后，把书再重读1遍，读法类似于第3遍读教材。

第3遍读第2参考书可以在每学期的期末考试之前。

结合着期末复习进行。

把题目重新看看，做过的是否还会，没有做过的是否现在回头看变得简单些了。

第3遍读第1参考书可以在学完整门课程之后。

重新思考一番，争取把学过的理论与方法，转化为习惯和本能。

特别值得一提的是，学数学分析，除具体内容外，特别注意常用的论证方法。

定性的如构造区间套、抽子数列、利用聚点和无限覆盖有限化（几者在数学分析中是等价的，要能互相证明），还要后面的压缩映象原理等；定量的如不等式的运用、无穷小阶的估计等。

数学分析的推荐读物：

数学学习漫谈4

国内的数学分析教材可谓汗牛充栋，保守估计也有几十种之多。

北大、复旦等高校的教授，陆续各出过4、5种教材。

这些国内教材虽然各有特色，但差别并不是很明显。

无论用那种教材，另外再参考一种似乎就够了。

如果要看参考书，我觉得已故北大张筑生教授的3卷本《数学分析新讲》最有特色。

毕竟张筑生是微分拓扑特别是动态系统的专家，某些问题的处理是从更的高观点。

如一般隐函数定理的证明用的是迭代逼近方法，引入微分形式证明了Brouwer不动点定理等。

还有为配合其它课程应用需求比较早的讲了微分方程，而且微分学在几何中的应用比较系统。

但那本书没有习题，因此不能检验自己的理解程度。

经典内容最全的参考书还是菲赫金哥尔茨的3卷本《微积分学教程》。

内容丰富如百科全书，真可谓一套在手，别无所求。

缺点是过于繁琐。

或许可以查阅参考，但不必通读。

我熟悉的是依据50年代俄文版译出的老版本。

高教新出版了俄文第8版的汉译本，基本特点没变。

或许比看参考书更重要的是做习题。

我推崇的是吉米多维奇《数学分析习题集》，全书有4千多道题目。

当然不需要每道题目都做，特别是一些计算题和作图题。

但把其中的所有证明题都做了或至少思考过，将大有裨益。

该书的不仅是题目合适，而且难度适中。

天资一般但用功的学生，就算不能独立完成全部题目，不会的题目稍加点拨就可以理解。

还有些更难的数学分析问题分析之类，或者需要很高的数学解题天赋，或者更适合高年级“经典分析方法”之类选修课用。

数学分析这种基础核心课程需要看英文教材。

学完1学期后可以读IntroductiontoCalculusandAnalysis的卷1，全部学完后再读卷2。

附：

数学专业参考书整理推荐2：

数学分析

初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。

我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。

另外建议看一下当不了教材的16，20。

中国人自己写的：

1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）

应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。

我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。

网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。

不少经济类工科类学校也用这一本书。

里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋（stolz）定理，实数的定义也不清楚。

不过仍然不失为一本好书。

能广泛被使用一定有它自己的一些优势。

2《数学分析》华东师范大学数学系著

师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。

课本最后讲了一些流形上的微积分。

虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。

3《数学分析》陈纪修等著

以上三本是考研用的最多的三本书。

4《数学分析》李成章，黄玉民

是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。

5《数学分析讲义》刘玉链

我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？

版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。

不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。

细说就远了，总之可以看看。

6《数学分析》曹之江等著

内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n维扩展。

适合初学者。

国家精品课程的课本。

7《数学分析新讲》张筑生

公认是一本新观点的书，课后没有习题。

材料的处理相当新颖。

作者已经去世。

8《数学分析教程》常庚哲，史济怀著

中国科学技术大学教材，课后习题极难。

9《数学分析》徐森林著

与上面一本同出一门，清华大学教材。

程度好的同学可以试着看一看。

书很厚，看起来很慢。

10《数学分析简明教程》邓东翱著

也是一本可以经常看到的书，作者已经去世。

国家精品课程的课本。

11许绍浦《数学分析教程》南京大学出版社

这些书应该够了，其他书不一一列举。

从中选择一本当作课本就可以了。

外国数学分析教材：

11《微积分学教程》菲赫金格尔茨著

数学分析第一名著，不要被它的大部头吓到。

我大四上半年开始看，发现写的非常清楚，看起来很快的。

强烈推荐大家看一下，哪怕买了收藏。

买书不建议看价格，而要看书好不好。

一本好的教科书能打下坚实的基础，影响今后的学习。

12《数学分析原理》菲赫金格尔茨著

上本书的简写，不提倡看，要看就看上本。

13《数学分析》卓立奇

观点很新，最近几年很流行，不过似乎没有必要。

14《数学分析简明教程》辛钦

课后没有习题，但是推荐了《吉米多维奇数学分析习题集》里的相应习题。

但是随着习题集的更新，题已经对不上号了，不过辛钦的文笔还是不错的。

15《数学分析讲义》阿黑波夫等著

莫斯科大学的讲义，不过是一本讲义，看着极为吃力，不过用来过知识点不错。

16《数学分析八讲》辛钦

大师就是大师，强烈推荐。

17《数学分析原理》rudin

中国的数学是从前苏联学来的，和俄罗斯教材比较像，看俄罗斯的书不会很吃力。

不过这本美国的书还是值得一看的。

写的简单明了，可以自己试着把上面的定理推导一遍。

18《微积分与分析引论》库朗

又一本美国的经典数学分析书。

有人认为观点已经不流行了，但是数学分析是一门基础课目的是打下一个好的基础。

19《流形上的微积分》斯皮瓦克

分析的进一步。

中国的数学分析一般不讲流形上的微积分，不过流形上的微积分是一种潮流，还是看一看的好。

20《在南开大学的演讲》陈省身

从中会有一些领悟，不过可惜好像网络上流传的版本少了一些内容。

21华罗庚《高等数学引论》科学出版社

数学分析习题集

不做题就如同没有学过一样。

希望将课本后的习题一道道自己做完，不要看答案。

买习题集也要买习题集，不买习题集的答案。

1《吉米多维奇数学分析习题集》

最近几年人们人云亦云的说这本书多么不好，批评计算题数目过多，不适合数学系等等。

但这本习题集不再被广泛使用的原因是那本习题解答的出现，学生对答案的抄袭使这部书失去了价值。

如果你不看答案的话它依然是数学分析第一习题集。

不要没有做过就盲目的批评。

有没有做过自己心里知道，并会影响自己今后的学习。

2《数学分析习题课教材》第一版或《数学分析解题指南》第二版，林源渠，方企勤等

两本书一样的，再版换了名字。

第一版网上有电子版，第二版可以买纸版。

和3成一套。

3《数学分析习题集》林源渠，方企勤等

由于《吉米多维奇数学分析习题集》答案的出现使这本书得到的评价变高了，原因是这本书没有答案。

只能自己做。

4《数学分析习题精解》科学出版社版，还有裴礼文或者钱吉林的书

过考试不错，要学数学分析不提倡。

5各种教材的答案书

一堆垃圾。

毁人不倦。