版高中数学北师大版选修11学案第四章+章末复习课.docx
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版高中数学北师大版选修11学案第四章+章末复习课
学习目标 1.掌握利用导数判断函数单调性的方法,会用导数求函数的极值和最值.2.会用导数解决一些简单的实际应用问题.
知识点一 函数的单调性、极值与导数
1.函数的单调性与导数
在某个区间(a,b)内,如果__________,那么函数y=f(x)在这个区间内是增加的;如果__________,那么函数y=f(x)在这个区间内是减少的.
2.函数的极值与导数
(1)极大值:
在点x=a附近,满足f(a)≥f(x),当xa时,__________,则点a叫作函数的极大值点,f(a)叫作函数的极大值;
(2)极小值:
在点x=a附近,满足f(a)≤f(x),当xa时,__________,则点a叫作函数的极小值点,f(a)叫作函数的极小值.
知识点二 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
1.求函数y=f(x)在(a,b)内的________.
2.将函数y=f(x)的各极值与__________________________________________________
比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
类型一 导数中的数形结合思想
例1 已知函数y=xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则y=f(x)的图像大致是( )
反思与感悟 研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时,注意抓住各自的关键要素.对于原函数,要重点考查其图像在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应考查其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致.
跟踪训练1 函数f(x)=lnx-x2的大致图像是( )
类型二 构造函数求解
命题角度1 比较函数值的大小
例2 已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x),当x≠0时,f′(x)+<0,若a=f(),b=-f(-),c=(ln)f(ln),则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.a 反思与感悟 本例中根据条件构造函数g(x)=xf(x),通过g′(x)确定g(x)的单调性,进而确定函数值的大小,此类题目的关键是构造出恰当的函数. 跟踪训练2 设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数,且f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当a A.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(b)>f(b)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(a) 命题角度2 求解不等式 例3 定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f′(x),满足f(x) A.(-∞,0)B.(-∞,2) C.(0,+∞)D.(2,+∞) 反思与感悟 根据所求结论与已知条件,构造函数g(x)=,通过导函数判断g(x)的单调性,利用单调性得到x的取值范围. 跟踪训练3 函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( ) A.(-1,1)B.(-1,+∞) C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞) 类型三 利用导数研究函数的极值与最值 例4 已知函数f(x)=x3+ax2+b的图像上一点P(1,0),且在点P处的切线与直线3x+y=0平行. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在区间[0,t](0 (3)在 (1)的结论下,关于x的方程f(x)=c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根,求实数c的取值范围. 反思与感悟 (1)求极值时一般需确定f′(x)=0的点和单调性,对于常见连续函数,先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点. (2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断,只需要直接与端点的函数值比较即可获得. 跟踪训练4 已知函数f(x)=ax3+(a-1)x2+48(a-2)x+b的图像关于原点成中心对称. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间及极值; (3)当x∈[1,5]时,求函数的最值. 类型四 导数的综合应用 例5 已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增,求a的取值范围; (2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上是减少的,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由. 反思与感悟 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去;若f′(x)不能恒等于0,则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围来确定. 跟踪训练5 (1)若函数f(x)=4x3-ax+3的单调递减区间是,则实数a的值是多少? (2)若函数f(x)=4x3-ax+3在上是单调函数,则实数a的取值范围为多少? 1.已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图像如图所示,则x+x等于( ) A.B. C.D. 2.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0,对任意的正数a,b,若a A.bf(b)≤af(a)B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤bf(b)D.af(b)≤bf(a) 3.设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中,则不可能正确的是( ) 4.已知函数f(x)=在(-2,+∞)内是减少的,则实数a的取值范围为________. 5.已知函数f(x)=2lnx+(a>0),若当x∈(0,+∞)时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是________. 导数作为一种重要的工具,在研究函数中具有重要的作用,例如函数的单调性、极值与最值等问题,都可以通过导数得以解决.不但如此,利用导数研究得到函数的性质后,还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题,所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法. 答案精析 知识梳理 知识点一 1.f′(x)>0 f′(x)<0 2. (1)f′(x)>0 f′(x)<0 (2)f′(x)<0 f′(x)>0 知识点二 1.极值 2.端点处函数值f(a),f(b) 题型探究 例1 C [当0 ∴f′(x)<0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数, 排除A、B选项. 当1 ∴f′(x)>0, 故y=f(x)在(1,2)上为增函数, 因此排除D.] 跟踪训练1 B [函数f(x)=lnx- x2的定义域为(0,+∞), f′(x)=-x= =. 令f′(x)>0,得>0. 又因为x>0,所以(1+x)(1-x)>0, 所以0 同理,令f′(x)<0,解得x>1. 于是当0 当x>1时,函数f(x)是减函数; 当x=1时,f(x)=-<0.结合以上特征可知应选B.] 例2 B [令g(x)=xf(x), 则g(-x)=(-x)f(-x)=xf(x), ∴g(x)是偶函数. g′(x)=f(x)+xf′(x), ∵f′(x)+<0, ∴当x>0时,xf′(x)+f(x)<0, 当x<0时,xf′(x)+f(x)>0. ∴g(x)在(0,+∞)上是减函数. ∵ ∴g() ∵g(x)是偶函数, ∴g(-)=g(),g(ln)=g(ln2), ∴g(-) 故选B.] 跟踪训练2 C [由条件,得[]′ =<0, ∴在(a,b)上是减函数. ∴<<, ∴f(x)g(b)>f(b)g(x).] 例3 C [设g(x)=, 则g′(x)=. ∵f(x) 即函数g(x)单调递增. ∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2, 则不等式等价于g(x)>g(0). ∵函数g(x)单调递增, ∴x>0,即不等式的解集为(0,+∞), 故选C.] 跟踪训练3 B [令g(x)=f(x)-2x-4,∵f′(x)>2, 则g′(x)=f′(x)-2>0. 又由g(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0, 得g(x)>0, 即g(x)>g(-1)的解为x>-1, ∴f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).] 例4 解 (1)因为f′(x)=3x2+2ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′ (1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3. 又函数过(1,0)点,即-2+b=0,b=2. 所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2. (2)由f(x)=x3-3x2+2,得 f′(x)=3x2-6x. 由f′(x)=0,得x=0或x=2. ①当0 ②当2 x 0 (0,2) 2 (2,t) t f′(x) 0 - 0 + + f(x) 2 -2 t3-3t2+2 f(x)min=f (2)=-2, f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个. 因为f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0, 所以f(x)max=f(0)=2. (3)令g(x)=f(x)-c=x3-3x2+2-c, 则g′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 当x∈[1,2)时,g′(x)<0;当x∈(2,3]时,g′(x)>0. 要使g(x)=0在[1,3]上恰有两个相异的实根, 则 解得-2 即实数c的取值范围为(-2,0]. 跟踪训练4 解 (1)∵函数f(x)的图像关于原点成中心对称, 则f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), 即-ax3+(a-1)x2-48(a-2)x+b =-ax3-(a-1)x2-48(a-2)x-b, 于是2(a-1)x2+2b=0恒成立, ∴解得a=1,b=0. (2)由 (1)得f(x)=x3-48x, ∴f′(x)=3x2-48=3(x+4)(x-4), 令f′(x)=0,得x1=-4,x2=4. 令f′(x)<0,得-4 得x<-4或x>4. ∴f(x)的递减区间为(-4,4),递增区间为(-∞,-4)和(4,+∞). ∴f(x)极大值=f(-4)=128, f(x)极小值=f(4)=-128. (3)由 (2)知,函数在[1,4]上是减少的,在[4,5]上是增加的,f(4)=-128,f (1)=-47,f(5)=-115, ∴函数的最大值为-47,最小值为-128. 例5 解 (1)f′(x)=3x2-a,
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- 高中数学 北师大 选修 11 第四 复习