复合函数求导练习题.docx

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复合函数求导练习题

复合函数求导练习题

1.简单函数的定义求导的方法求函数的增量?

y?

f?

f；

?

yf?

f?

。

?

x?

x

f?

f

取极限求导数f’?

lim

?

x?

0?

x

求平均变化率

2．导数与导函数的关系：

特殊与一般的关系。

函数在某一点f’的导数就是导函数f，当x?

x0时的函数值。

．常用的导数公式及求导法则：

公式

①C?

0，③’?

?

sinx

‘

②’?

cosx④’?

nxn?

1⑥’?

ex

⑤’?

axlna⑦?

‘

11’

⑧?

xlnax11’’

cotx）?

?

⑨?

⑩法则：

[f?

g]?

[f]?

[g]，

[fg]’?

f’g?

g’f

f’f’g?

g’f[]?

2

gg

例：

32

y?

xx?

4y?

?

?

sinx

x

y?

3cosx?

4sinxy?

?

2x?

3?

y?

ln?

x?

2?

2

复合函数的导数

如果函数?

在点x处可导，函数f在点u=?

处可导，则复合函数y=f=f[?

]在点x处也可导，并且

]）ˊ=或记作熟记链式法则

若y=f，u=?

?

y=f[?

]，则

f

?

?

u?

y?

x=yux

y?

x=f

若y=f，u=?

，v=?

?

y=f[?

）]，则

?

?

y?

x=f

复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成

的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。

在求导时要由外到内，逐层求导。

例1函数y?

1

的导数.

4

解：

y?

1?

4

．?

4

，u?

1?

3x，则

设y?

u

?

4

y’x?

y’u?

u’x?

’u?

’x

?

?

4u

?

5

?

?

12u?

5?

12?

5?

12

．

例2求y?

x

的导数．1?

x

15

解：

y?

?

?

x?

?

，?

1?

x?

?

45

1?

x?

y’

5?

1?

x?

?

x?

1?

x1?

x51?

x

4

‘?

4

5

?

1?

x?

x

2

1?

x5?

1?

x?

?

45

?

11?

5

?

?

x5．

5

6

例求下列函数的导数

y?

?

2x

解：

y

?

3?

2x

令u=-2x，则有y=

u，u=-2x

?

?

u?

?

yux

由复合函数求导法则y?

x有y′=

?

?

u?

x=1

2?

2x

在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是前面可以直接写出如下结果：

yˊ=

123?

2x

1?

2x

在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：

yˊ=

12?

2x

1?

2x

例4求下列函数的导数y=

?

2xcosxy=ln

解：

y=由于y=

而其中?

2x?

2xcosx是两个函数?

2x与cosx的乘积，

又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求时再用复合函数求导法则，于是

yˊ=ˊcosx-?

2xsinx

cosx-?

2xsinx=

?

cosx?

2x

2?

2x

-?

2xsinx

y=ln）是u=x+

?

x2

与y=lnu复合而成，所以对此函数

求导时，应先用复合函数求导法则，在求u?

x时用函数和的求导法则，而求′的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以

1x?

?

x2

?

[1+ˊ]=

1x?

?

x2

?

?

1?

?

?

2?

x2?

2x

=

1x?

?

x2

?

x?

?

x2

?

x2

=

1?

x2

例设y?

ln求y?

.解利用复合函数求导法求导，得

y?

?

[ln]?

?

1x?

x?

1

2

?

?

1x?

x2?

1

[1?

?

]

?

1x?

x?

1

2

[1?

12x?

1

2

?

]?

1x?

x?

1

2

[1?

xx?

1

2

]?

1x?

1

2

.

1．求下函数的导数.y?

cos

y=y=5y=y=

y=2

x

y?

3

?

112

y=y=siny=cos3

63x?

1

c3；?

y?

sinx2；?

y?

o

1．求下列函数的导数

y=sinx3+sin33x；y?

?

4

?

x）；?

y?

lnsin．

sin2x

logax?

1

技能演练

基础强化

1．函数y＝cosnx的复合过程正确的是A．y＝un，u＝cosxnB．y＝t，t＝cosnxC．y＝tn，t＝cosxD．y＝cost，t＝xn答案C

2．y＝ex2－1的导数是A．y′＝e

22

x2

－1

B．y′＝2xeD．y′＝e

x2

－1

x

2

－1

C．y′＝e解析y′＝e答案B

3．下列函数在x＝0处没有切线的是A．y＝3x2＋cosx1

C．y＝＋2x

x

x2

－1

xx

2

－1

′＝e

2

·2x.

B．y＝xsinx1

D．y＝

cosx

11

解析因为y＝2x在x＝0处没定义，所以y＝＋2x在x＝0处没有切线．

xx答案C

4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是A．2x－y＋3＝0C．2x－y＋1＝0

解析设切点为，则斜率k＝2x0＝2，∴x0＝1，∴切点为．

故切线方程为y－1＝2，即2x－y－1＝0.答案D

5．y＝loga的导数是x

?

2x－1?

lna1?

2x－1?

lna

4xB.2x－12x2－1lnaB．2x－y－3＝0D．2x－y－1＝0

14x

解析y′＝x2－1）′＝?

2x－1?

lna?

2x－1?

lna答案A

6．已知函数f＝ax－1，且f′＝2，则a的值为A．a＝1C．a＝

11

解析f′＝·′

22＝＝

1

2ax

2ax－1ax

ax－1

B．a＝D．a>0

由f′＝2，得

a

＝2，∴a＝2.a－1

答案B

7．曲线y＝sin2x在点M处的切线方程是________．解析y′＝′＝cos2x·′＝2cos2x，

∴k＝y′|x＝π＝2.

又过点，所以切线方程为y＝2．答案y＝2

f′?

x?

8．f＝e2x－2x，则＝________.

e－1

解析f′＝′－′＝2e2x－2＝2．f′?

x?

2?

e2x－1?

∴2．e－1e－1答案

能力提升

9．已知函数f＝2x3＋ax与g＝bx2＋c的图像都过点P，且在点P处有相同的切线．求实数a，b，c的值．

解∵函数f＝2x3＋ax与g＝bx2＋c的图像都过点P，

?

2×23＋2a＝0，?

∴?

得a＝－8,4b＋c＝0，

?

b×2＋c＝0，?

∴f＝2x3－8x，f′＝6x2－8.又当x＝2时，f′＝16，g′＝4b，∴4b＝16，∴b＝4，c＝－16.∴a＝－8，b＝4，c＝－16.

1

10．已知函数f＝lnx，g＝2＋a，直线l与函数f、g的图像都相切，

2

且l与函数f图像的切点的横坐标为1，求直线的方程及a的值．

1

解∵f＝lnx，∴f′＝，∴f′＝1，

x即直线l的斜率为1，切点为．∴直线l的方程为y＝x－1.

y＝x－1，?

?

1

又l与g的图像也相切，等价于方程组?

1x2－x＋1＋a

?

?

y＝22＋a2

＝0有两个相等的实根，

∴Δ＝1－4×12＝0，∴a1

2

品味高考

11．曲线y＝e

－2x

＋1在点处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为′e

－2x

＝－2e

－2x

，

∴k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，∴切线方程为y－2＝－2，即y＝－2x＋2.

如图，由y＝－2x＋2，?

得交点坐标为，

y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为，∴所求面积为S＝12×1×21

33.

答案A

12．若曲线y＝x2＋ax＋b在点处的切线方程是x－y＋1＝0，则

）

A．a＝1，b＝1C．a＝1，b＝－1

解析∵y＝x2＋ax＋b，∴y′＝2x＋a.∵在点处的切线方程是x－y＋1＝0，∴f′＝a＝1.

B．a＝－1，b＝1D．a＝－1，b＝－1

又0－b＋1＝0，∴b＝1.答案A

函数求导

1.简单函数的定义求导的方法求函数的增量?

y?

f?

f；

?

yf?

f?

。

?

x?

x

f?

f

取极限求导数f’?

lim

?

x?

0?

x

求平均变化率

2．导数与导函数的关系：

特殊与一般的关系。

函数在某一点f’的导数就是导函数f，当x?

x0时的函数值。

．常用的导数公式及求导法则：

公式

①C?

0，③’?

?

sinx

‘

②’?

cosx④’?

nxn?

1⑥’?

ex

⑤’?

axlna⑦?

‘

11’

⑧?

xlnax11’’

cotx）?

?

⑨?

⑩法则：

[f?

g]?

[f]?

[g]，

[fg]’?

f’g?

g’f

f’f’g?

g’f[]?

2

gg

例：

32

y?

xx?

4y?

?

?

sinx

x

y?

3cosx?

4sinxy?

?

2x?

3?

y?

ln?

x?

2?

2

复合函数的导数

如果函数?

在点x处可导，函数f在点u=?

处可导，则复合函数y=f=f[?

]在点x处也可导，并且

]）ˊ=或记作熟记链式法则

若y=f，u=?

?

y=f[?

]，则

f

?

?

u?

y?

x=yux

y?

x=f

若y=f，u=?

，v=?

?

y=f[?

）]，则

yx=f

复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成

的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。

在求导时要由外到内，逐层求导。

例1函数y?

1

的导数.

4

解：

y?

1?

4

．?

4

?

4

设y?

u，u?

1?

3x，则

y’x?

y’u?

u’x?

’u?

’x

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?

4u

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5

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12u?

5?

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5?

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例2求y?

x

的导数．1?

x

15

解：

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?

x5．

5

6

例求下列函数的导数

y?

?

2x

解：

y

?

3?

2x

令u=-2x，则有y=

u，u=-2x

?

?

u?

?

yux

由复合函数求导法则y?

x有y′=

?

?

u?

x=1

2u3?

2x

在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是前面可以直接写出如下结果：

yˊ=

123?

2x

1?

2x

在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：

yˊ=

12?

2x

1?

2x

例4求下列函数的导数y=

?

2xcosxy=ln

解：

y=由于y=

而其中?

2x?

2xcosx是两个函数?

2x与cosx的乘积，

又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求时再用复合函数求导法则，于是

yˊ=ˊcosx-?

2xsinx

cosx-?

2xsinx=

?

cosx?

2x

-?

2xsinx

2?

2x

y=ln）是u=x+

?

x2

与y=lnu复合而成，所以对此函数

求导时，应先用复合函数求导法则，在求u?

x时用函数和的求导法则

，而求′的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以

1x?

?

x2

?

[1+ˊ]=

1x?

?

x2

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?

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1x?

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x2

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x2

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x2

例设y?

ln求y?

.解利用复合函数求导法求导，得

y?

?

[ln]?

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x?

1

2

?

?

1x?

x2?

1

[1?

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1

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1x?

1

2

.

小结对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.

22

例6求y=sin3x的导数.

2222

解：

y′=［］′sin3x+′

2222

=2′sin3x+cos3x′

222

=2sin3x+3cos3x.

1．求下函数的导数.

y?

cos

y=y=5y=y=

232

c；?

y?

sinx；?

y?

o

x

y?

3

y=2

?

112

y=y=siny=cos3

63x?

1

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4

?

x）；?

y?

lnsin．