高三数学总复习第三章三角函数解三角形.docx
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高三数学总复习第三章三角函数解三角形
第三章 三角函数、解三角形
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
[知识能否忆起]
1.任意角
(1)角的分类:
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
②按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(2)终边相同的角:
终边与角α相同的角可写成α+k·360°(k∈Z).
(3)弧度制:
①1弧度的角:
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
②规定:
正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|=,l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径.
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小无关,仅与角的大小有关.
④弧度与角度的换算:
360°=2π弧度;180°=π弧度.
⑤弧长公式:
l=|α|r,扇形面积公式:
S扇形=lr=|α|r2.
2.任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数定义:
设α是一个任意角,角α的终边与单位圆交于点P(x,y),那么角α的正弦、余弦、正切分别是:
sinα=y,cosα=x,tanα=,它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标比值为函数值的函数.
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是:
一全正、二正弦、三正切、四余弦.
3.三角函数线
设角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知,点P的坐标为(cos_α,sin_α),即P(cos_α,sin_α),其中cosα=OM,sinα=MP,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T,则tanα=AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
[小题能否全取]
1.-870°的终边在第几象限( )
A.一 B.二
C.三D.四
解析:
选C 因-870°=-2×360°-150°.-150°是第三象限角.
2.已知角α的终边经过点(,-1),则角α的最小正值是( )
A.B.
C.D.
解析:
选B ∵sinα==-,且α的终边在第四象限,
∴α=π.
3.(教材习题改编)若sinα<0且tanα>0,则α是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
解析:
选C 由sinα<0,知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上,由tanα>0,知α在第一或第三象限,因此α在第三象限.
4.若点P在角的终边上,且P的坐标为(-1,y),则y等于________.
解析:
因tan=-=-y,∴y=.
答案:
5.弧长为3π,圆心角为135°的扇形半径为________,面积为________.
解析:
弧长l=3π,圆心角α=π,
由弧长公式l=α·r得r===4,面积S=lr=6π.
答案:
4 6π
1.对任意角的理解
(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°~90°的
角”不等同于“第一象限的角”.其实锐角的集合是{α|0°
<α<90°},第一象限角的集合为{α|k·360°<α k∈Z}. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同, 终边相同的角的同一三角函数值相等. 2.三角函数定义的理解 三角函数的定义中,当P(x,y)是单位圆上的点时有sin α=y,cosα=x,tanα=,但若不是单位圆时,如圆的半径 为r,则sinα=,cosα=,tanα=. 角的集合表示及象限角的判定 典题导入 [例1] 已知角α=45°, (1)在-720°~0°范围内找出所有与角α终边相同的角β; (2)设集合M=, N=,判断两集合的关系. [自主解答] (1)所有与角α有相同终边的角可表示为: β=45°+k×360°(k∈Z), 则令-720°≤45°+k×360°<0°, 得-765°≤k×360°<-45°,解得-≤k<-, 从而k=-2或k=-1,代入得β=-675°或β=-315°. (2)因为M={x|x=(2k+1)×45°,k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合; 而集合N={x|x=(k+1)×45°,k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合,从而: MN. 由题悟法 1.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角. 2.已知角α的终边位置,确定形如kα,π±α等形式的角终边的方法: 先表示角α的范围,再写出kα、π±α等形式的角范围,然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置. 以题试法 1. (1)给出下列四个命题: ①-是第二象限角;②是第三象限角;③-400°是第四角限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个 (2)如果角α是第二象限角,则π-α角的终边在第________象限. 解析: (1)-是第三象限角,故①错误.=π+,从而是第三象限角正确.-400°=-360°-40°,从而③正确.-315°=-360°+45°,从而④正确. (2)由已知+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z), 则-π-2kπ<-α<--2kπ(k∈Z), 即-π+2kπ<-α<-+2kπ(k∈Z), 故2kπ<π-α<+2kπ(k∈Z), 所以π-α是第一象限角. 答案: (1)C (2)一 三角函数的定义 典题导入 [例2] (1)已知角α的终边上有一点P(t,t2+1)(t>0),则tanα的最小值为( ) A.1 B.2 C.D. (2)(2012·大庆模拟)已知角α的终边上一点P的坐标为,则角α的最小正值为( ) A.B. C.D. [自主解答] (1)根据已知条件得tanα==t+≥2,当且仅当t=1时,tanα取得最小值2. (2)由题意知点P在第四象限,根据三角函数的定义得cosα=sin=,故α=2kπ-(k∈Z),所以α的最小正值为. [答案] (1)B (2)D 由题悟法 定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义求解. (2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的三角函数值. 以题试法 2. (1)(2012·东莞调研)已知角α的终边与单位圆的交点P,则tanα=( ) A.B.± C.D.± (2)(2012·潍坊质检)已知角α的终边经过点P(m,-3),且cosα=-,则m等于( ) A.-B. C.-4D.4 解析: (1)选B 由|OP|2=x2+=1, 得x=±,tanα=±. (2)选C 由题意可知,cosα==-, 又m<0,解得m=-4. 扇形的弧长及面积公式 典题导入 [例3] (1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角. (2)已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大? [自主解答] (1)设圆心角是θ,半径是r, 则⇒(舍), 故扇形圆心角为. (2)设圆心角是θ,半径是r, 则2r+rθ=40. S=θ·r2=r(40-2r)=r(20-r) =-(r-10)2+100 ≤100, 当且仅当r=10时,Smax=100. 所以当r=10,θ=2时,扇形面积最大. 若本例 (1)中条件变为: 圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是________. 解析: 设圆半径为R,则圆内接正方形的对角线长为2R, ∴正方形边长为R,∴圆心角的弧度数是=. 答案: 由题悟法 1.在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷. 2.记住下列公式: ①l=αR;②S=lR;③S=αR2.其中R是扇形的半径,l是弧长,α(0<α<2π)为圆心角,S是扇形面积. 以题试法 3.若扇形的面积为定值,当扇形的圆心角为多少弧度时,该扇形的周长取到最小值? 解: 设扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l,根据已知条件lR=S扇,则扇形的周长为: l+2R=+2R≥4,当且仅当=2R,即R=时等号成立,此时l=2,α==2, 因此当扇形的圆心角为2弧度时,扇形的周长取到最小值. [典例] (2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐 标原点,始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终 边上一点,且sinθ= ,则y= . [尝试解题] r==且sinθ=-,所以sinθ===-,所以θ为第四象限角,解得y=-8. [答案] -8 ——————[易错提醒]——————————————————————————— 1.误认为点P在单位圆上,而直接利用三角函数定义,从而得出错误结果. 2.利用三角函数的定义求三角函数值时,首先要根据定义正确地求得x,y,r的值;然后对于含参数问题要注意分类讨论. —————————————————————————————————————— 针对训练 已知角α的终边过点P(-8m,-6sin30°),且cosα=-,则m的值为( ) A.- B.- C.D. 解析: 选C 由点P(-8m,-6sin30°)在角α的终边上且cosα=-,知角α的终边在第三象限,则m>0,又cosα==-,所以m=. 1.将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A. B. C.-D.- 解析: 选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角. 故A、B不正确,又因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的. 即为-×2π=-. 2.已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是( ) A.1或4B.1 C.4D.8 解析: 选A 设扇形的半径和弧长分别为r,l,则易得 解得或故扇形的圆心角的弧度数是4或1. 3.已知角α和角β的终边关于直线y=x对称,且β=-,则sinα=( ) A.-B. C.-D. 解析: 选D 因为角α和角β的终边关于直线y=x对称,所以α+β=2kπ+(k∈Z),又β=-,所以α=2kπ+(k∈Z),即得sinα=. 4.设θ是第三象限角,且=-cos,则是( ) A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 解析: 选B ∵θ是第三象限角,∴为第二或第四象限角.又∵=-cos,∴cos<0,知为第二象限角. 5.(2012·宜春模拟)给出下列各函数值: ①sin(-1000°);②cos(-2200°);③tan(-10);④,其中符号为负的是( ) A.①B.② C.③D.④ 解析: 选C sin(-1000°)=sin80°>0;cos(-2200°) =cos(-40°)=cos40°>0;tan(-10)=tan(3π-10)<0; =,sin>0,tan<0,∴原式>0. 6.已知sinθ-cosθ>1,则角θ的终边在( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析: 选B 由已知得(sinθ-cosθ)2>1,1-2sinθcosθ>1,sinθcosθ<0,且sinθ>cosθ,因此sinθ>0>cosθ,所以角θ的终边在第二象限. 7.在直角坐标系中,O是原点,A(,1),将点A绕O逆时针旋转90°到B点,则B点坐标为__________. 解析: 依题意知OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°, 设点B坐标为(x,y),所以x=2cos120°=-1,y=2sin120°=,即B(-1,). 答案: (-1,) 8.若β的终边所在直线经过点P,则sinβ=________,tanβ=________. 解析: 因为β的终边所在直线经过点P,所以β的终边所在直线为y=-x,则β在第二或第四象限. 所以sinβ=或-,tanβ=-1. 答案: 或- -1 9.如图,角α的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1)交于第二象限的点A,则cosα-sinα=________. 解析: 由题图知sinα=,又点A在第二象限,故cosα=-.∴cosα-sinα=-. 答案: - 10.一个扇形OAB的面积是1cm2,它的周长是4cm,求圆心角的弧度数和弦长AB. 解: 设圆的半径为rcm, 弧长为lcm, 则解得 ∴圆心角α==2. 如图,过O作OH⊥AB于H.则∠AOH=1弧度. ∴AH=1·sin1=sin1(cm), ∴AB=2sin1(cm). 11.如图所示,A,B是单位圆O上的点,且B在第二象限,C是圆与x轴正半轴的交点,A点的坐标为,△AOB为正三角形. (1)求sin∠COA; (2)求cos∠COB. 解: (1)根据三角函数定义可知sin∠COA=. (2)∵△AOB为正三角形,∴∠AOB=60°, 又sin∠COA=,cos∠COA=, ∴cos∠COB=cos(∠COA+60°) =cos∠COAcos60°-sin∠COAsin60° =·-·=. 12. (1)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P(x,),且cosα=x,求sinα与tanα的值; (2)已知角θ的终边上有一点P(x,-1)(x≠0),且tanθ=-x,求sinθ,cosθ. 解: (1)∵r=,∴cosα=, 从而x=, 解得x=0或x=±. ∵90°<α<180°, ∴x<0,因此x=-. 故r=2,sinα==, tanα==-. (2)∵θ的终边过点(x,-1), ∴tanθ=-, 又tanθ=-x,∴x2=1,∴x=±1. 当x=1时,sinθ=-,cosθ=; 当x=-1时,sinθ=-,cosθ=-. 1.(2012·聊城模拟)三角形ABC是锐角三角形,若角θ终边上一点P的坐标为(sinA-cosB,cosA-sinC),则++的值是( ) A.1B.-1 C.3D.4 解析: 选B 因为三角形ABC是锐角三角形,所以A+B>90°,即A>90°-B,则sinA>sin(90°-B)=cosB,sinA-cosB>0,同理cosA-sinC<0,所以点P在第四象限,++=-1+1-1=-1. 2.(2012·山东高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP―→的坐标为________. 解析: 设A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧 长为2,∠ABP==2. 设P(x,y),则x=2-1×cos=2-sin2,y=1+1×sin=1-cos2, ∴ 的坐标为(2-sin2,1-cos2). 答案: (2-sin2,1-cos2) 3. (1)确定的符号; (2)已知α∈(0,π),且sinα+cosα=m(0 解: (1)∵-3,5,8分别是第三、第四、第二象限角, ∴tan(-3)>0,tan5<0,cos8<0,∴原式大于0. (2)若0<α<,则如图所示,在单位圆中,OM=cosα,MP=sinα, ∴sinα+cosα=MP+OM>OP=1. 若α=,则sinα+cosα=1. 由已知0 于是有sinα-cosα>0. 1.已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π]内,α的取值范围是( ) A.∪ B.∪ C.∪D.∪ 解析: 选B 由已知sinα-cosα>0,tanα>0故∪. 2.已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα,cosα,tanα的值. 解: ∵角α的终边在直线3x+4y=0上, ∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0), 则x=4t,y=-3t, r===5|t|, 当t>0时,r=5t, sinα===-, cosα===, tanα===-; 当t<0时,t=-5t,sinα===, cosα===-, tanα===-. 综上可知,sinα=-,cosα=,tanα=-; 或sinα=,cosα=-,tanα=-. 3.已知0<α<,求证: (1)sinα+cosα>1; (2)sinα<α 证明: 如图,设α的终边与单位圆交于P点,作PM⊥x轴,垂足为M,过点A(1,0)作AT⊥x轴,交α的终边于T,则sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT. (1)在△OMP中,∵OM+MP>OP, ∴cosα+sinα>1. (2)连接PA,则S△OPA 即OA·MP 即sinα<α 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 [知识能否忆起] 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系: sin2α+cos2α=1(α∈R). (2)商数关系: tanα=. 2.六组诱导公式 角 函数 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin_α -sin_α -sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α -cos_α cos_α -cos_α sin_α -sin_α 正切 tan_α tan_α -tan_α -tan_α 对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时,原函数值的符号”. [小题能否全取] 1.sin585°的值为( ) A.- B. C.-D. 解析: 选A sin585°=sin(360°+225°) =sin225°=sin(180°+45°)=-sin45° =-. 2.(教材习题改编)已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,则θ等于( ) A.-B.- C.D. 解析: 选D ∵sin(π+θ)=-cos(2π-θ), ∴-sinθ=-cosθ,∴tanθ=. ∵|θ|<,∴θ=. 3.已知tanθ=2,则=( ) A.2B.-2 C.0D. 解析: 选B 原式====-2. 4.(教材习题改编)如果sin(π+A)=,那么cos的值是________. 解析: ∵sin(π+A)=,∴-sinA=. ∴cos=-sinA=. 答案: 5.已知α是第二象限角,tanα=-,则cosα=________. 解析: 由题意知cosα<0,又sin2α+cos2α=1, tanα==-.∴cosα=-. 答案: - 应用诱导公式时应注意的问题 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意 角的三角函数为锐角三角函数,其步骤: 去负号—脱周期 —化锐角.特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特 别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化. 同角三角函数的基本关系式 典题导入 [例1] (1)(2012·江西高考)若tanθ+=4,则sin2θ=( ) A. B. C.D. (2)已知sin(3π+α)=2sin,则=________. [自主解答] (1)∵tanθ+=4, ∴+=4, ∴=4,即=4, ∴sin2θ=. (2)法一: 由sin(3π+α)=2sin得tanα=2. 原式===-. 法二: 由已知得sinα=2cosα. 原式==-. [答案] (1)D (2)- 在 (2)的条件下,sin2α+sin2α=________. 解析: 原式=sin2α+2sinαcosα===. 答案: 由题悟法 1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tanα可以实现角α的弦切互化. 2.应用公式时注意方程思想的应用: 对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二(参阅本节题型技法点拨). 3.注意公式逆用及变形应用: 1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 以题试法 1. (1)(2012·长沙模拟)若角α的终边落在第三象限,则+的值为( ) A.3B.-3 C.1D.-1 (2)已知sinα=2sinβ,tanα=3tanβ,则cosα=________. 解析: (1)由角α的终边落在第三象限得sinα<0,cosα<0, 故原式=+=+=-1-2=-3. (2)∵sinα=2sinβ,tanα=3tanβ, ∴sin2α=4sin2β,① tan2α=9tan2β,② 由①÷②得: 9cos2α=4cos2β,③ ①+③得: sin2α+9cos2α=4, ∵cos2α+sin2α=1, ∴cos2α=,即cosα=±. 答案: (1)B (2)± 三角函数的诱导公式 典题导入 [例2] (1)=________. (2)已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是( ) A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1} C.{2,-2}D.{1,-1,0,2,-2} [自主解答] (1)原式 = == =-=-·=-1. (2)当k为偶数时,A=+=2; k为奇数时,A=-=-2. [答案] (1)-1 (2)C 由题悟法 利用诱导公式化简求值时的原则 (1)“负化正”,运用-α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数. (2)“大化小”,利
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