第四十二导学案单摆测重力加速度 Microsoft Word 文档.docx
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第四十二导学案单摆测重力加速度MicrosoftWord文档
2011级高考物理第一轮复习导学案
第四十二导学案《用单摆测重力加速度》
基础知识梳理
1.两种理想化模型
(1)弹簧振子
弹簧振子的理想化表现为:
弹簧振子的作简谐振动的周期:
(2)单摆
单摆的理想化表现为:
单摆能够看成简谐振动的条件是:
单摆的作简谐振动的回复力来源是:
2.单摆
(1)单摆的等时性是指:
;
(2)单摆的周期公式为:
。
(3)周期为的单摆叫秒摆。
实验目的
利用单摆测定当地的重力加速度。
实验原理
单摆在摆角小于5°时的振动是简谐运动,其固有周期为
,由此可得
。
据此,只要测出摆长l和周期T,即可计算出当地的重力加速度值。
实验器材
铁架台(带铁夹),中心有孔的金属小球,约1m长的细线,米尺,游标卡尺(选用),秒表等。
(1)毫米刻度尺和卡尺的使用:
本实验用毫米刻度尺测量摆线长L,读到毫米位即可,用卡尺测摆球直径D也只需读到毫米位,即摆长l=L+I/2的有效数字的末位就在毫米位,因误差主要来自时间(周期)的测量。
(2)机械秒表(含普通钟表)外壳按钮:
使指针启动、停止和回零,如图所示。
表盘刻度:
秒针指示大圆周的刻度,其最小分度值常见为0.1秒、0.2秒或0.5秒;秒钟转一周历时30秒;分针指示小圆周的刻度,其最小分度值常见为0.1分或0.5分,分针转一周历时15分。
秒表的工作原理:
机械秒表靠发条转动力矩通过内部齿轮驱动调节器调节摆动的秒针和分针,即将发条的弹性势能转化为动能,使指针摆动。
秒表的读数:
不足30秒即秒针转不到一周时,直接读大圆周上秒针所指的黑体分度值,因为大圆周上有红、黑两种字体,黑字030,红字060,意思是秒针转两周才60秒;同理分析所指的小圆周上也有两种字体,黑字015,红字030,分针转两周才30分;通常是分针读红字,秒针读红字,分针读黑字,秒针读黑字,记时为两个示数之和。
秒表的使用方法:
A.按钮开始记时,分针、秒针都启动。
B.按钮停止记时,分针、秒针都停止。
C.按钮分针、秒针回“0”位,此时在使用有两个按钮的表时,应按“0”位侧边的钮。
实验步骤
1.在细线一端打一个比小球上的孔径稍大些的结,将细线穿过球上的小孔,制成一个单摆2.将铁夹固定在铁架台的上端,铁架台放在实验桌边,使铁夹伸到桌面以外,把做好的单摆固定在铁夹上,使摆球自由下垂。
〖点拨〗线要细且不易伸长,球要用密度大且直径小的金属球,以减小空气阻力影响。
摆线上端的悬点要固定不变,以防摆长改变。
3.测量单摆的摆长l:
用游标卡尺测出摆球直径2r,再用米尺测出从悬点至小球上端的悬线长l',则摆长l=l'+r。
〖点拨〗摆长应为悬点到球心的距离,即l=L+D/2;其中L为悬点到球面的摆线长,D为球的直径。
4.把单摆从平衡位置拉开一个小角度(不大于10°),使单摆在竖直平面内摆动,用秒表测量单摆完成全振动30至50次所用的时间,求出完成一次全振动所用的平均时间,这就是单摆的周期T。
〖点拨〗为减小记时误差,采用倒数计数法,即当摆球从拉开到平衡位置开始计数,“3,2,1,0,1,2,3……”数“0”时开始按钮记时,数到“60”按钮停止记时,则摆球全振动30次,T=1/30。
计时从平衡位置开始是因为此处摆球的速度最大,人在判定它经过此位置的时刻,产生的计时误差较小。
为减小系统误差,摆角α应小于10°,这可以用量角器粗测,也可以用尺子控制它的振幅A与摆长l之比,当A/l<0.087时α<5°。
5.将测出的摆长l和周期T代入公式
求出重力加速度g的值。
6.变更摆长重做两次,并求出三次所得的g的平均值。
实验数据记录
物理量
次
摆长l(米)
振动次数n(次)
N次历时t(秒)
周期T(秒)
g=4π2l/T2(米/秒2
g(米/秒2)
当地g
1
2
3
点拨
(1):
如果不研究T∝√l的关系,表中摆长L可以不变,如果要改变摆长L,必须保证L>1米。
为减小计算误差,不应先算T的平均值再求g,而应先求出每次的g值再平均。
(2):
由分析可知,本实验误差主要来自偶然误差,即主要来自时间(周期T)的测量,理由如下:
从T=2π√(l/g)和T=t/n得知,由摆全振动次数引入误差,当在相同t内l不变时,若多记n0次,则T变小,g偏大;若在t内少记n0次,则T变大,g偏小,将上面两式变形为g=(4π2l·n2)/t2更直观。
(3):
如果改变摆长L做几次,由填入表内的L、T值在T2-L坐标系中描点作图得图象,这条过坐标原点O的直线的斜率k=T2/l,而T2=4π2l/g,显然g=4π2/k,计时无误差k为恒量,当在时间t内多计n0次,T偏小,k偏小,g偏大,如图图线①当少计n0次,T偏大,k偏大,g偏小,图中图线②所示。
(4):
为什么摆长L的测量引入偶然误差不予考虑呢?
我们讨论的是摆长L>1米、偏角不大于10°的谐振,设悬点到金属小球表面的长L,小球半径为r=D/2不能忽略时,摆线长l=L+r,当记时无误,T2=k(L+r)图象过原点O的直线,若漏加r,则T2=kL,从教学知识可知将图象向左平移r即可,显然k未变,g不变,同理,当多加r时,g不变,如图。
实验注意事项
1.选择细绳时应选择细、轻又不易伸长的线,长度一般在1m左右,小球应选用密度较大的金属球,直径应较小,最好不超过2cm。
2.单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上,应夹紧在铁夹中,以免摆动时发生摆长改变、摆线下滑的现象。
3.注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过5°,可通过估算振幅的办法掌握。
4.摆球摆动时,要使之保持在同一个竖直平面内,不要形成圆锥摆。
5.计算单摆的振动次数时,应以摆球通过最低位置时开始计时,以后摆球从同一方向通过最低位置时,进行计数,且在数“零”的同时按下秒表,开始计时计数。
基础知识再现
【基础题1】用单摆测定重力加速度的数据处理方法有哪些?
试用自己的语言叙述误差来源及误差分析。
编者意图展示:
本题重点考查用单摆测重力加速度实验数据处理方法:
公式法和图像法和误差来源及减小误差的方法
【解析】
(1)数据处理方法
方法一(公式法)根据公式
可以计算出重力加速度的数值。
但在实际实验中上式应改写成
(L’为摆线长度)
gl=__________=__________,g2=__________=__________,g3=__________=__________,取平均值
=__________。
方法二(图象法)
作T2-L图象。
由
可以知道T2-L图象应是一条过原点的直线,其斜率k的物理意义是
。
所以作出T2-L图象后求斜率k(
),然后可求出重力加速度
。
(2)实验误差来源与分析
①本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求,即悬点是否固定,是单摆还是复摆,球、线是否符合要求,振动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等等。
只要注意了上面这些方面,就可以使系统误差减小到远远小于偶然误差的程度。
②本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。
因此,要注意测准时间(周期)。
要从摆球通过平衡位置开始记时,并采用倒记时计数的方法,不能多记或漏记振动次数。
为了减小偶然误差,应进行多次测量后取平均值。
③本实验中进行长度(摆线长、摆球的直径)的测量时,读数读到毫米位即可。
时间的测量中,秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可。
【基础题2】在用单摆测定重力加速度实验中:
(1)为了比较准确地测量出当地的重力加速度值,应选用下列所给器材中的哪些?
将你所选用的器材前的字母填在题后的横线上。
A.长1m左右的细绳;B.长30era左右的细绳;
C.直径2cm的铅球;D.直径2cm的铁球;
E.秒表;F.时钟;
G.最小刻度是厘米的直尺;H.最小刻度是毫米的直尺;
所选器材是____________________________________________________________.
(2)实验时对摆线偏离竖直线的要求是________________;
理由是__________________________________________________________.
编者意图展示:
本题重点考查用单摆测重力加速度所选实验器材、单摆做简谐运动的条件
【解析】
(1)所选器材为A、C、E、H。
(2)偏角要求小于100。
根据本实验的原理:
振动的单摆,当摆角小于100时,其振动周期与摆长的平力‘根成正比,与重力加速度的平方根成反比,而与偏角的大小(振幅)、摆球的质量无关,周期公式为:
。
经变换得
。
因此,在实验中只要测出单摆的摆长L和振动周期T,就可以求出当地的重力加速度g的值,本实验的目的是测出g的值,而不是验证单摆的振动规律。
如果在实验中选用较短的摆线,既会增大摆长的测量误差,又不易于保证偏角9小于100。
摆线较长,摆角满足小于100的要求,单摆的振动缓慢,方便记数和记时。
所以应选A。
摆球应尽量选重的,所以选C。
因为单摆振动周期丁的测量误差对重力加速度g的影响较大,所以计时工具应选精确度高一些的秒表。
摆长的测量误差同样对g的影响较大,也应选精确度较高的最小刻度为毫米的直尺。
(2)因为当摆球振动时,球所受的回复力F=mgsinθ,只有当θ<100时,sinθ=θ此摆才称为单摆,其振动才是简谐振动,周期
的关系式才成立。
【基础题3】在做“用单摆测定重力加速度”的实验时,用
摆长L和周期丁计算重力加速度的公式是g=_____。
如果已知摆球直径为2.OOcm,让刻度尺的零点对准摆线的
悬点,摆线竖直下垂,如图所示,那么单摆摆长是
_____。
如果测定了40次全振动的时间如图中秒表
所示,那么秒表读数是_____s。
单摆的摆动周期是_____s。
编者意图展示:
本题重点考查学生生观察能力和刻度尺及秒表的读数方法、单摆测重力加速度的公式
【解析】本题答案为:
,0.8740m或87.40cm,75.2s,1.88s。
单摆的摆长应等于测量值88.40cm减去摆球的半径lcm,得到87.40cm。
【基础题4】某同学在用单摆测定重力加速度的实验中,测量5种不同摆长情况下单摆的振动周期,记录表格如下:
以L为横坐标,T2为纵坐标,作出T2-L图线:
并利
用此图线求重力加速度。
编者意图展示:
本题重点考查学生用图象法求单摆测重力加速度的公式
【解析】由单摆周期公式
可得
,所以T2-L图线是过坐标原点的一条直线,
直线斜率是k=
。
因此,g=
,作出图象如图所示,
求得直线斜率为k=4.00,即g=
=
=9.86(m/s2)
【基础题5】一位同学用单摆做测量重力加速度的实验,他将摆挂起后,进行了如下步骤:
A、测摆长l:
用米尺量出摆线的长度。
B、测周期T:
将摆球拉起,然后放开。
在摆球某次通过最低点时,按下秒表开始计时,同时将此次通过最低点作为第一次,接着一直数到摆球第60次通过最低点时,按秒表停止计时,读出这段时间t,算出单摆的周期T=t/60。
C、将所测得的l和T代入单摆的周期公式
。
算出g,将它作为实验的最后结果写入报告中去。
指出上面步骤中遗漏或错误的地方,写出该步骤的字母,并加以改正。
(不要求进行误差计算)
编者意图展示:
本题重点考查学生单摆实验中摆长、周期的测定及减小误差的方法
【解析】A、要用卡尺测摆球直径d,摆长L等于摆线长加d/2。
B、T=t/29.5
C、g应测量多次,然后取g的平均值做为实验的最后结果。
【基础题6】]将秒摆的周期变为1秒,下列哪些措施是可行的:
()
A、将摆球的质量减少一半B、将摆球的质量减少到原来的
C、将振幅减少一半D、将摆长减少一半
E、将摆长减少到原来的四分之一
编者意图展示:
本题重点考查学生单摆周期与摆球质量和振幅无关、仅由摆长和当地的重力加速度决定、秒摆的定义等
【解析】根据单摆的等时性规律,A、B、C、D均错误。
根据单摆的周期公式,
,周期减小原来的
,则摆长应减小原来的
。
所以选项E正确。
13.某实验小组在进行“用单摆测定重力加速度”的实验中,已知单摆在摆动过程中的摆角小于5°;在测量单摆的周期时,从单摆运动到最低点开始计时且记数为1,到第n次经过最低点所用的时间内为t;在测量单摆的摆长时,先用毫米刻度尺测得悬挂后的摆线长(从悬点到摆球的最上端)为L,再用螺旋测微器测得摆球的直径为d(读数如图).
(1)该单摆在摆动过程中的周期为.
(2)用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式g=.
(3)从图可知,摆球的直径为mm.
(4)实验结束后,某同学发现他测得的重力加速度的值总是偏大,其原因可能是下述原因中的.
A.单摆的悬点未固定紧,振动中出现松动,使摆线增长了
B.把n次摆动的时间误记为(n+1)次摆动的时间
C.以摆线长作为摆长来计算
D.以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算
编者意图展示:
本题重点考查学生单摆周期的测量、螺旋测微器的使用和读数方法、误差产生的原因分析
【解析】答案
(1)
(2)
(3)5.980±0.002(4)BD
手支招
复习用单摆测定重力加速度实验时,可以让学生提出几种实验方法来测定本地重力加速度?
并一起讨论其可行性。
①、在静力学中,静止物体对竖直悬绳的拉力大小就等于重力,即T=mg。
若T和m能测出,则重力加速度g可测定。
②、自由落体运动中,h=
gt2。
若h和t可测出,则重力加速度g也可测定。
③、自由落体运动中,Δh=gT2。
若选取合适的T,测出纸带上的Δh,则重力加速度g也可测定。
④、在运动学中,物体从光滑斜面上由静止开始下滑,s=
gsinθt2。
若s、θ和t可测定,则重力加速度g也可测定。
⑤、在运动学中,物体从粗糙斜面上由静止开始下滑,s=
(gsinθ-μgcosθ)t2。
若s、θ、μ和t可测定,则重力加速度g也可测定。
⑥、在平抛运动中,竖直方向上物体在连续相等的时间内位移之差△y=gt2。
若△y和t可测,则重力加速度同样可以测出。
⑦、单摆作简谐运动时,其周期可以表示为T=2π
。
若T和l可测,则可g测。
……
在前述方案中,①②③⑦符合简便性原则,可行性原则。
学生再选择仪器,设计步骤,实际操作。
对实验结果进行比较,方案①中常用的测力计误差较大;②中下落时间短,用秒表计时误差较大。
③用刻度尺测定Δh误差引起测量结果的较大误差。
⑦中相对而言较切合中学实际,符合精确性原则;综上所述,中学阶段通常采用单摆法测定重力加速度。
【能力提升题1】用教学楼阳台代替铁架台,用数米长的尼龙细线拴好的小挂锁代替摆球,用米尺只测量摆线的一段长度,用秒表测量周期T怎样测量当地重力加速度
编者意图展示:
本题重点考查单摆振动周期公式、周期的测量方法、利用刻度尺只测量摆线的一段长度的方法求当地重力加速度
【解析】其简要方法如下:
如图,设阳台上的悬点为O,挂锁的重心为O′在摆长上离挂锁附近作一红色标记M,用米尺量OM=L1,而MO′=L2,不必测量,则:
T12=4π2(L1+L2)/g……①
在悬点处放松(或收起)一段线,再量OM=L2,MO′=L0不变,则T2=4π2(L2+L0)/g……②
由①②式得:
g=4π2(L2+L1)/(T12-T22)(其中T1、T2测量方法同上述方法)
此实验也可以用T2-L图象法去求。
【能力提升题2】在家庭里借助地球表面的电视机,依据周期定律,用机械手表测月球表面自由落体的加速度g月。
有一位物理学家通过电视机观看宇航员登月球的情况,他发现在登月密封舱内悬挂着一个重物在那里微微摆动,其悬绳长跟宇航员的身高相仿,于是他看了看自己的手表,记下了一段时间t内重物经最低点的次数n,就算出了g月
编者意图展示:
本题重点考查地面上单摆振动与月球表面的单摆类似以及如何利用电视机和机械表测周期、摆长的方法
【解析】已知他记下重物由第一次经最低点开始计时数到n次的时间t秒,并估计绳长L约等于宇航员身高h米。
由T=t/[(n-1)/2]和T=2π√(L/g)。
【能力提升题3】用秒表、卡尺和一个小钢球粗略测量凹面镜(或凹透镜)的半径
编者意图展示:
本题重点考查用秒表、卡尺和一个小钢球利用单摆的振动周期公式粗略测量凹面镜(或凹透镜)半径的方法
【解析】将凹面镜水平放置,上面放一个小钢球,如图,如果球滑动,不难证明,它的振动完全跟摆长为R-r的单摆的谐振相似。
由T=2π√((R-r)/g)得R=gT2/4π2+r测T方法同实验条例中所述,r可由卡尺测量。
【能力提升题4】用秒表和单摆测地矿的密度
编者意图展示:
本题重点考查用秒表、单摆和万有引力定律测当地矿物的密度的方法
【解析】简要方法是:
由T=2π√(L/g)得g=4π2l+T2由mg=GMm/R2得g=4/3GρπR共得出ρ=3πl/(GT2R)其中L、T可用实验室方法测得,R≈地球半径。
注意:
此式ρ=3πl/(GT2R)不要与ρ=3π/(GT2)混淆,前者T为单摆测量的周期,后者T为某行星表面的卫星运行周期。
【能力提升题5】某同学在做“利用单摆测重力加速度”实验中,先测得摆线长为101.00cm,摆球直径为2.00cm,然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间为101.5s。
则
(1)他测得的重力加速度g=________m/s2。
(2)他测得的g值偏小,可能的原因是
A.测摆线长时摆线拉得过紧
B.摆线上端未牢固地系于悬点,振动中出现松动,使摆线长度增加了
C.开始计时时,秒表过迟按下
D.实验中误将49次全振动数为50次
(3)为了提高实验精度,在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T,从而得出一组对应的l与T的数据,再以l为横坐标、T2为纵坐标将所得数据连成直线,并求得该直线的斜率K。
则重力加速度g=________。
(用K表示)
编者意图展示:
本题重点考查摆长、周期、重力加速度的测量、减小误差的方法、图象法求g值
【解析】
(1)本次实验中的摆长L=L’+r=101.00+1.00=1.0200m,周期T=t/N=101.5/50=2.03s,由公式
可以解得g=9.76m/s2;
(2)根据公式
知g偏小的原因可能是l的测量值偏小或T的测量值偏大。
A中的测量值偏大,B中则是振动摆长大于测量值,所以正确,而CD中均是测得的周期偏小,所以CD均会使g值偏大。
故只有B正确。
(3)4π2/K。
由公式
得:
这是一条T2关于L的一元一次函数(如y=Kx),所以它的斜率是K=4π2/g,所以g=4π2/K
【能力提升题6】任何简谐运动的周期公式都可表示为T=
,式中T为简谐运动的周期,m为振动物体的质量,k为回复力F与位移x的关系式(即F=-kx)中的比例系数.如图甲所示的实验装置是用来测量弹簧劲度系数和滑块质量所用的弹簧振子,M为待测滑块(滑块上可增加砝码),与滑块相连的两轻质弹簧A、B完全相同.整个装置置于水平气垫导轨上,气垫导轨可使滑块在运动过程中不受摩擦力,A弹簧的左端和B弹簧的右端固定在气垫导轨上.为了测出滑块未加砝码时的质量及弹簧A的劲度系数,某同学用秒表分别测出了加上不同质量的砝码时滑块做简谐运动的周期,实验数据记录如下表所示.
实验次数
所加砝码质量(kg)
50个周期的时间t(s)
振动周期T(s)
T2的值(s2)
1
0.100
38.7
0.774
0.599
2
0.200
42.4
0.848
0.719
3
0.300
45.8
0.916
0.839
4
0.400
49.0
0.980
0.960
5
0.500
51.9
1.04
1.08
6
0.600
54.9
1.10
1.21
(1)为了减小实验误差,可用秒表测出滑块运动50个周期的总时间t,再得到周期T=
,测量时以滑块开始计时有利于减小计时误差.
A.开始运动时B.到达最大位移处时C.通过平衡位置时
(2)
如图乙为某次测量50个周期时秒表的示数,则该振动的周期为s(结果保留3位有效数字).
(3)根据表格记录的实验数据,在如图丙所示的坐标纸上,以m(为滑块上所加砝码的质量)为横坐标,T2为纵坐标,作出T2—m图象.图中已描出4个点,请根据表中数据描出另外两点,并完成T2—m图象.
(4)根据T2—m图象可得出未加砝码时滑块的质量为kg,弹簧A的劲度系数为N/m.(取
=10,最后结果保留2位有效数字).
编者意图展示:
本题重点考查弹簧振子的振动周期的测量方法、图象法求解问题、秒表的读数方法
【解析】
(1)C(3分)
(2)0.906s(3位有效数字)(3分)
(3)如右图(3分)
(4)0.36kg~044kg(2位有效数字)(3分)
15N/m~18N/m(2位有效数字)(3分)
品味高考
【2008年上海高考题】在“用单摆测重力加速度”的实验中.
⑴某同学的操作步骤为:
a.取一根细线,下端系住直径为d的金属小球,上端固定在铁架台上;
b.用米尺量得细线长度l;
c.在细线偏离竖直方向5位置释放小球;
d.用秒表记录小球完成n次全振动所用的总时间t,得到周期T=t/n;
e.用公式g=42l/T2计算重力加速度
按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比_________(选填“偏大”、“相同”或“偏小”).
⑵已知单摆在任意偏角时的周期公式可近似为T=T0[1+asin2(θ/2)],式中T0为偏角θ趋近于0时的周期,a为常数.为了用图像法验证该关系式,需要测量的物理量有_________;若某同学在实验中得到了如图所示的图线,则图像中的横轴表示_________.
高考命题人意图展示:
本题重点考查误差分析、测量的物理量
【解析】单摆摆长为摆线长度与小球半径之和,因该同学将偏小的摆长代入公式计算,所得重力加速度的测量值偏小于实际值;为验证该关系式,需要测量单摆在任意摆角θ时的周期T′,根据公式与图像的函数关系式可推导得到摆角θ=0时横轴的截距为T0。
此方法得出的重力加速度值与实际值相比偏小;需要测量的物理量有T’、;图像中的横轴表示T’
【2009年上海高考题】做简谐振动的单摆摆长不变,若摆球质量增加为原来的4倍,摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2,则单摆振动的(C)
A.频率、振幅都不变B.频率、振幅都改变
C.频率不变、振幅改变D.频率改变、振幅不变
高考命题人意图展示:
本题重点考查单摆的频率仅由摆长和当地的g值决定,与摆球质量和振幅无关
【解析】由单摆的周期公式
,可知,单摆摆长不变,则周期不变,频率不变;振幅A是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量,由
可知,摆球经过平衡位置时的动能不变,因此振幅改变,所以C正确。
【2007年北京高考题】如图所示的单摆,摆球a向右摆动到最低点时,恰好与一沿水平方向向左运动的粘性小球b发生碰撞,并粘接在一起,且摆动平面不变.已知碰撞前a球摆动的最高点与最低点的高度差为h,摆动的周期为T,a球质量是b球质量的5倍,碰撞前a球在最低点的速度是b球速度的一半.则碰撞后()
A.摆动的周期为
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