高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题11空间向量在立体几何中的应用练习理03132105.docx
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高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题11空间向量在立体几何中的应用练习理03132105
11 空间向量在立体几何中的应用
1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,BB1的中点,则异面直线A1M与AN所成角的大小为 .
解析▶ 以D点为坐标原点,、、的方向分别为x、y、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),M,N,A1(1,0,1),所以=,=.因为·=0,所以异面直线A1M与AN所成的角为90°.
答案▶ 90°
2.已知空间四边形OABC,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,=++,则G点为线段MN的 等分点.
解析▶ ∵=++,∴=+,∴=+=(-)+,∴-==,故G点为靠近N点的3等分点.
答案▶ 3
3.三棱锥S-ABC如图所示,SA⊥AB,SA⊥AC,∠BAC=90°,AB=AC=AS=2,D点在棱SB上且SD=DB,P点在棱SA上,则·的最小值为 .
解析▶ 以A点为坐标原点,、、的方向分别为x、y、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,0),C(0,2,0),P(0,0,b)(其中0≤b≤4),D,=,=(0,2,-b),·=b2-b,所以当b=时,·取到最小值,最小值为-.
答案▶ -
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是BD1的中点,M是侧面ADD1A1上一点,若OM⊥AA1且OM⊥BD1,则点M的坐标为 .
解析▶ 以D点为坐标原点,、、的方向分别为x、y、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),M(a,0,b),B(1,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),O,=(0,0,1),=
=(-1,-1,1).
因为OM⊥AA1且OM⊥BD1,所以解得a=1,b=,所以点M的坐标为.
答案▶
能力1
▶ 利用空间向量法求空间角
【例1】
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=2,BD=2,且AC与BD交于点O,E是PB上任意一点.
(1)求证:
AC⊥DE.
(2)已知二面角A-PB-D的余弦值为,若E为PB的中点,求EC与平面PAB所成角的正弦值.
解析▶
(1)∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴PD⊥AC.
又∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC.
∵BD∩PD=D,
∴AC⊥平面PBD.
∵DE⊂平面PBD,∴AC⊥DE.
(2)当E为PB的中点时,连接OE,可得OE∥PD且OE=PD.又因为PD⊥平面ABCD,所以OE⊥平面ABCD.分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,设PD=t(t>0),则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),E,P(0,-,t),=(-1,,0),=(-1,-,t).
易知平面PBD的一个法向量为n1=(1,0,0),
设平面PAB的法向量为n2=(x,y,z),
则即取y=1,得x=,z=,∴n2=.
∵二面角A-PB-D的余弦值为,
∴|cos
即=,∴t=2,
∴P(0,-,2).
设EC与平面PAB所成的角为θ,
∵=(-1,0,-),n2=(,1,1),
∴sinθ=|cos<,n2>|==.
利用“向量法”求解空间角时,要注意基向量的选择或坐标系的正确建立等.求线面角时,先求出平面的法向量,再求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角,最后得出线面角.求二面角时,先求出二面角中两个平面的法向量,再求出法向量的夹角,最后求出二面角.
如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.
(1)求证:
A1B∥平面ADC1.
(2)求直线B1C1与平面ADC1所成角的余弦值.
解析▶
(1)如图,以,,为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),B1(2,0,4),C1(0,2,4),
∴=(2,0,-4),=(1,1,0),=(0,2,4).
设平面ADC1的法向量为m=(x,y,z),
则即
取z=1,得y=-2,x=2,
∴平面ADC1的一个法向量为m=(2,-2,1).
由此可得,·m=2×2+0×(-2)+(-4)×1=0.
又∵A1B⊄平面ADC1,
∴A1B∥平面ADC1.
(2)=(-2,2,0),设直线B1C1与平面ADC1所成角为θ,则sinθ=|cos<,m>|==.
又∵θ为锐角,
∴直线B1C1与平面ADC1所成角的余弦值为.
能力2
▶ 利用空间向量法解决翻折问题
【例2】 已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=2,D,E分别为AC,AB的中点,沿DE将△ADE折起,得到如图所示的四棱锥A1-BCDE.
(1)求证:
平面A1DC⊥平面A1BC.
(2)当三棱锥C-A1BE的体积取最大值时,求平面A1CD与平面A1BE所成锐二面角的余弦值.
解析▶
(1)∵在等腰三角形ABC中,D,E分别为AC,AB的中点,∴DE∥BC,
又∵∠ACB=90°,∴DE⊥AC.
∴DE⊥A1D,DE⊥CD.
∵A1D⊂平面A1DC,CD⊂平面A1DC,A1D∩CD=D,
∴DE⊥平面A1DC,
∴BC⊥平面A1DC,又BC⊂平面A1BC,
∴平面A1DC⊥平面A1BC.
(2)由等体积法知=,
在平面A1CD内作A1H⊥CD于点H,因为ED⊥平面A1CD,所以ED⊥A1H,则A1H⊥底面BCDE,即A1H就是四棱锥A1-BCDE的高.
由A1H≤A1D知,当点H和点D重合时,三棱锥C-A1BE的体积取到最大值.
以D点为坐标原点,、、的方向分别为x、y、z轴的正方向,建立空间直角坐标系如图所示,所以A1(0,0,1),B(1,2,0),E(0,1,0),=(1,2,-1),=(0,1,-1),
设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z),
则即
可取n=(-1,1,1),易知平面A1CD的一个法向量为m=(0,1,0).
则cos
故平面A1CD与平面A1BE所成锐二面角的余弦值为.
利用向量求解翻折问题中的最值问题时,可以引进参数进行求解.求解探索性问题时,可用待定系数法求解.
如图1,在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,沿EF将矩形ADFE折起使得二面角A-EF-C的大小为90°(如图2),点G是CD的中点.
(1)若M为棱AD上一点,且=4,求证:
DE⊥平面MFC.
(2)求二面角E-FG-B的余弦值.
解析▶
(1)若M为棱AD上一点,且=4,则AD=4DM=4,即DM=1,
∵二面角A-EF-C的大小为90°,
∴建立以F为坐标原点,FD,FC,FE所在的直线分别为x,y,z轴的空间直角坐标系,如图,
∵AD=4,AE=BE=2,DM=1,
∴D(2,0,0),F(0,0,0),M(2,0,1),C(0,2,0),
A(2,0,4),E(0,0,4),B(0,2,4),
则=(-2,0,4),=(2,0,1),=(0,2,0),
故·=(-2)×2+4×1=-4+4=0,·=0,
则⊥,⊥,
即DE⊥FM,DE⊥FC,
∵FM∩FC=F,∴DE⊥平面MFC.
(2)∵点G是CD的中点,∴G(1,1,0),且CD⊥FG,
则CD⊥平面EFG,则=(2,-2,0)是平面EFG的一个法向量,
设平面BFG的法向量为n=(x,y,z),则=(0,2,4),=(1,1,0),
∴即
令z=1,则y=-2,x=2,即n=(2,-2,1),
则cos<,n>===,
即二面角E-FG-B的余弦值是.
能力3
▶ 利用空间向量法解决探索性问题
【例3】
如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD为正方形,平面AED⊥平面ABCD,AB=EA=ED,EF∥BD.
(1)证明:
AE⊥CD.
(2)在棱ED上是否存在点M,使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为?
若存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由.
解析▶
(1)∵四边形ABCD是正方形,∴CD⊥AD.
又∵平面AED⊥平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥平面AED.
∵AE⊂平面AED,
∴AE⊥CD.
(2)取AD的中点O,过点O作ON∥AB交BC于点N,连接EO.
∵EA=ED,∴OE⊥AD.
又∵平面AED⊥平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,OE⊂平面AED,
∴OE⊥平面ABCD.
以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
设正方形ABCD的边长为2,=λ(0≤λ≤1),
则A(1,0,0),B(1,2,0),D(-1,0,0),E(0,0,1),M(-λ,0,1-λ),
∴=(-λ-1,0,1-λ),=(1,0,1),=(2,2,0).
设平面EFBD的法向量为n=(x,y,z),
则即
令x=1,得n=(1,-1,-1).
∴cos<,n>==.
由题意得||=,解得λ=0,
∴当点M与点E重合时,直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为.
求解此类问题的难点在于涉及的点具有运动性和不确定性,可用空间向量通过待定系数法求解存在性问题和探索性问题.这样思路简单,解法固定,操作方便.
如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长是,D是线段AC上一点,二面角A1-BD-A的大小为,则在线段AA1上是否存在一点E,使得平面B1C1E⊥平面A1BD?
若存在,求出AE的长;若不存在,说明理由.
解析▶ 作CO垂直AB于点O,所以CO⊥平面ABB1A,所以在正三棱柱ABC-A1B1C1中,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
因为AB=2,AA1=,所以B(-1,0,0),A(1,0,0),C(0,0,),A1(1,,0),=(0,,0),=(2,,0),=(-1,0,).
设D(a,0,b),则=(a+1,0,b),=(a-1,0,b).
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
则即
令y=2,得x=-3,z=,
所以n=.
由题意知=(0,,0)是平面ABD的一个法向量,故cos=. ①
因为∥,设=λ,
所以 ②
由①②得a=,b=,
则D,n=(-3,2,3).
设E(1,t,0)(0≤t≤),又C1(0,,),B1(-1,,0),则=(-1,-t,),=(-1,0,-).
设平面B1C1E的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则
即
当t=时,平面B1C1E的一个法向量为n1=(0,1,0),此时n1·n≠0.
当t≠时,令z1=-,得n1=,由n1·n=0,解得t=,
故在线段AA1上存在一点E,当AE=时,平面B1C1E⊥平面A1BD.
一、选择题
1.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),a,b夹角的余弦值为,则λ=( ).
A.2B.-2
C.-2或D.2或-
解析▶ 由已知有cos===,
解得λ=-2或λ=.
故选C.
答案▶ C
2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值是( ).
A.B.
C.D.-
解析▶ 如图,建立空间直角坐标系D-xyz,
由题意知A(1,0,0),M,C(0,1,0),N,
则=,=.
设直线AM与CN所成的角为θ,
则cosθ=|cos<,>|=.
故选A.
答案▶ A
3.在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成角的大小是( ).
A.B.C.D.
解析▶ 如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.
设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,=(2a,0,0),=,=(-a,-a,0).
设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),
则即
令z=1,则n=(0,1,1),cos<,n>=-.
设直线BC与平面PAC所成的角为θ,则sinθ=|cos<,n>|=,
∴直线BC与平面PAC所成角的大小为.
故选C.
答案▶ C
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=AA1,P、Q分别是棱CD、CC1上的动点,当BQ+QD1的长度取得最小值时,二面角B1-PQ-D1的余弦值的取值范围为( ).
A.B.
C.D.
解析▶ 分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
设A1A=1,Q(0,,z),将面BB1C1C展开到后侧面,连接BD1,
可得当Q为C1C的中点时,BQ+QD1的长度最小,故Q.
设P(0,y,1)(0≤y≤),当y=时,可得二面角B1-PQ-D1的大小为90°,此时余弦值为0.
当0 所以cos 可得0 综上所述,二面角B1-PQ-D1的余弦值的取值范围是. 故选B. 答案▶ B 5.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离是( ). A.B.C.D. 解析▶ 以D点为坐标原点,,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系, 则=(0,2,4),=(-2,0,4),=(0,0,4). 设截面AB1D1的法向量为n=(x,y,z), 由得取z=1,则n=(2,-2,1). 故点A1到截面AB1D1的距离d==. 故选C. 答案▶ C 6.已知在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=2,E,F分别是PB,PC的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为( ). A.B. C.D. 解析▶ 设点P在底面ABCD的射影为点O,由题意可得PO=,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,-1,0),B(1,1,0),E,F,=,=. 设所成的角为θ,则cosθ==. 故选C. 答案▶ C 二、填空题 7.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,E为BB'的中点,则异面直线CE与AC'所成角的余弦值为 . 解析▶ 如图,建立空间直角坐标系.设AC=1,则C(0,0,0),E,A(1,0,0),C'(0,0,1),=,=(-1,0,1), ∴cos<,>=, 即异面直线CE与AC'所成角的余弦值为. 答案▶ 8.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,EF∥AC,EF交BD于点H,OH=1,将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,D'H⊥平面ABCD.则二面角B-D'A-C的正弦值为 . 解析▶ 以H为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,∵AB=5,AC=6,∴BO=4, ∴B(5,0,0),C(1,3,0),D'(0,0,3),A(1,-3,0),=(4,3,0),=(-1,3,3),=(0,6,0). 设平面ABD'的法向量为n1=(x,y,z), 由 得取x=3,得y=-4,z=5, ∴n1=(3,-4,5). 同理可求得平面AD'C的一个法向量为n2=(3,0,1), 设二面角B-D'A-C的平面角为θ,则cosθ===. ∴二面角B-D'A-C的正弦值为sinθ=. 答案▶ 9.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,则二面角A-PB-C的余弦值为 . 解析▶ ∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形,易得AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD,则四边形ABCD为矩形.在△APD中,由PA=PD,∠APD=90°,可得△PAD为等腰直角三角形,设PA=AB=2a,则AD=2a.取AD的中点O,BC的中点E,连接PO,OE,以O为坐标原点,分别以、、的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系, 则D(-a,0,0),B(a,2a,0),P(0,0,a),C(-a,2a,0),=(-a,0,-a),=(a,2a,-a),=(-2a,0,0). 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 由得取y=1,得n=(0,1,). ∵AB⊥平面PAD,PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD. 又PD⊥PA,PA∩AB=A, ∴PD⊥平面PAB,∴为平面PAB的一个法向量.∴cos<,n>===-. 由图可知,二面角A-PB-C为钝角, ∴二面角A-PB-C的余弦值为-. 答案▶ - 三、解答题 10.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD. (1)证明: 平面PQC⊥平面DCQ. (2)求二面角Q-BP-C的正弦值. 解析▶ (1)由题意可得QA⊥平面ABCD,∴QA⊥CD. 由四边形ABCD为正方形,知CD⊥AD. 又∵QA、AD为平面PDAQ内两条相交直线, ∴CD⊥平面PDAQ,∴CD⊥PQ. 在直角梯形PDAQ中,可得DQ=PQ=PD, ∴PQ2+DQ2=PD2, ∴PQ⊥QD. 又∵CD、QD为平面DCQ内两条相交直线, ∴PQ⊥平面DCQ. 又∵PQ⊂平面PQC,∴平面PQC⊥平面DCQ. (2)以D为坐标原点,线段DA的长为单位长度,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图. 则Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),B(1,0,1), =(1,0,0),=(-1,2,-1). 设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量, 则即 可取n=(0,-1,-2). 同理求得平面PBQ的一个法向量m=(1,1,1). ∴cos ∴sin 即二面角Q-BP-C的正弦值为. 11. 如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB. (1)求证: AB⊥DE. (2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值. (3)线段EA上是否存在点F,使EC∥平面FBD? 若存在,求出;若不存在,请说明理由. 解析▶ (1)取AB的中点O,连接EO,DO. 因为EB=EA,所以EO⊥AB. 因为四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC, 所以四边形OBCD为正方形,所以AB⊥OD. 因为EO∩OD=O, 所以AB⊥平面EOD. 因为DE⊂平面EOD, 所以AB⊥DE. (2)因为平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB,平面ABE∩平面ABCD=AB, 所以EO⊥平面ABCD. 因为OD⊂平面ABCD,所以EO⊥OD. 由OB,OD,OE两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 因为△EAB为等腰直角三角形,所以OA=OB=OD=OE.设OB=1,所以O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1). 所以=(1,1,-1),平面ABE的一个法向量为=(0,1,0). 设直线EC与平面ABE所成角为θ, 则sinθ=|cos<,>|==, 即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为. (3)存在点F,且=时,有EC∥平面FBD. 证明如下: 设存在点F,且=λ(0≤λ≤1),F(x1,y1,z1), 则=λ. 在 (2)中的空间直角坐标系中, 可得=(x1,y1,z1-1),=(-1,0,-1), 所以(x1,y1,z1-1)=λ(-1,0,-1), 所以x1=-λ,y1=0,z1=1-λ, 即F(-λ,0,1-λ), 所以=(λ,1,λ-1),=(-1,1,0). 设平面FBD的法向量为v=(x2,y2,z2), 则即 令x2=1-λ,得v=(1-λ,1-λ,1+λ). 由题意可知·v=0, 即(1,1,-1)·(1-λ,1-λ,1+λ)=0, 解得λ=, 所以存在点F,且=. 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。 读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。 读大海,读出了它气势磅礴的豪情。 读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。 幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。 幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。 幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。 幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。 幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。 3、大自然的语言丰富多彩: 从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。 4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。 鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。 矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。 蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。 航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。 5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。 井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。 笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。 山中的石! 当你背靠群峰时,意志就坚了。 水中的萍! 当你随波逐流后,根基就没了。 空中的鸟! 当你展翅蓝天中,宇宙就大了。 空中的雁! 当你离开队伍时,危险就大了。 地下的煤! 你燃烧自己后,贡献就大了 6、朋友是什么? 朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。 朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳光的地带;朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。 7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。 一块铀块,可以平庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。 一个人,可以碌碌无为地在世上厮混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒。 8、青春是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;青春是一团火,她点燃了我们沸腾的热血; 青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;青春是一本教科书,她启迪着我们的智慧和心灵。
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- 高考 数学 二轮 复习 一篇 微型 专题 11 空间 向量 立体几何 中的 应用 练习 03132105
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