高三物理总复习专题讲座圆周运动.docx

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高三物理总复习专题讲座圆周运动

高三物理总复习专题讲座（圆周运动

高三物理总复习专题讲座（圆周运动、万有引力）

 一、基本概念

 　　1、曲线运动

 　　物体做曲线运动的条件:

一定受到与速度方向不在同一条直线上的合外

力的作用。

（1）作曲线运动质点的速度方向是时刻改变的，质点在某一位置速度

的方向就在曲线上该点的切线方向上。

（2）曲线运动一定是具有加速度的变速运动，有时，它的加速度只改

变速度方向（如匀速圆周运动），有时，它的加速度能同时改变速度的方向和

大小（如平抛运动等）．

 　　（3）如果合外力方向与速度方向在同一条直线上，那幺合外力所产生

的加速度就只能改变速度大小，不能时刻改变速度的方向了．

 　　（4）做曲线运动的物体的速度大小可能是不变的，如匀速圆周运动

等．做曲线运动的物体加速度的大小、方向也可能是不变的，如抛体运动

等．速度的大小和方向、加速度的大小和方向都变化的曲线运动也是屡见不

鲜的。

 　　2、匀速圆周运动

 　　质点沿圆周运动，且在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动

叫做匀速圆周运动．

 　　描述匀速圆周运动快慢的物理量

 　　；；；v=ωr；转数（转/秒）n=f

 　　同一转动物体上，角速度相等；同一皮带轮连接的轮边缘上线速度相

等。

（1）线速度可以反映匀速圆周运动的快慢．它的大小用单位时间内通

过的弧长来定义，即：

v=s/t

 　　线速度大，表示单位时间通过的弧长长，运动得就快．这里的s不是

位移，而是弧长．这与匀速直线运动速度的定义式是不同的。

 　　线速度也是矢量．圆周上某一点线速度的方向，就在该点的切线方向

上．由匀速圆周运动的定义可知，匀速圆周运动线速度的大小是不变的，但

它的方向时刻改变，所以匀速圆周运动并不是匀速运动而是变速运动。

（2）角速度也可反映匀速圆周运动的快慢．角速度是用半径转过的角

度φ与所用时间t的比值来定义的，即：

ω=φ/t（这里的角度只能以弧度为单

位）．

 　　角速度大，表示在单位时间内半径转过的角度大，运动得也就快．在

某一确定的匀速圆周运动中，角速度是恒定不变的．角速度的单位是rad／

s．

 　　（3）周期也可描述匀速圆周运动的快慢．做匀速圆周运动物体运动一

周所需的时间叫周期．周期的符号是T，单位是s。

周期长，表示运动得慢；

周期短，表示运动得快．

 　　（4）有时也用转数n来表示匀速圆周运动的快慢．转数就是每秒钟转

过的圈数，它的单位是转／秒．ω=2πn．

 　　设质点沿圆周运动了一周，我们可根据这些物理量的定义式推导出它

们之间有如下关系：

v=2πr/T，ω=2π/T，v=ωr，T=1/f，T=1/n

 　　3、向心加速度、向心力　　　　

 　　向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，产生向心加速度的

力叫向心力。

向心力和向心加速度都时刻在改变（圆周运动一定是非匀变速

运动）。

 　　ω相同时，a与r成正比；v相同时，a与r成反比；r相同时，a与ω2

成正比，与v2成反比。

 　　[例]机械手表中的分针与秒针可视为匀速转动，分针与秒针从重合至

第二次重合，中间经历的时间为：

 　　A．1minB．minC．D．min

 　　[解答]分针的角速度rad/s

 　　秒针的角速度rad/s

 　　设经时间t两针第二次重合，则ω2t-ω2t＝2π

 　　得：

∴选答案C

（1）匀速圆周运动既然是变速运动，那幺做匀速圆周运动的物体必然

有加速度．我们已经知道，与速度同向的加速度能使速度增大，与速度反向

的加速度能使速度减小．但匀速圆周运动的速率既不增大也不减小，这说明

它不具有与速度同向或反向的加速度，这个加速度也就只能时刻与速度相垂

直，它所起的作用也仅是改变线速度的方向．与线速度相垂直也必与圆周切

线相垂直，也必过圆心。

所以，匀速圆周运动的加速度又被称为向心加速

度，因为它的方向始终指向圆心．向心加速度也是矢量。

 　　因为v、ω的大小均不变，所以向心加速度的大小也就不变，但由于

a的方向始终垂直于速度在旋转变化，所以向心加速度不是恒量而是变

量．匀速圆周运动不是匀加速运动而是变加速运动．

（2）向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小。

（向心力永远不做

功）

 　　显然，向心力的大小也是不变的，但其方向同样也与向心加速度的方

向一样指向圆心且不断旋转变化着．所以向心力是变力，而不是恒力．

 　　向心力这个名称是根据力的效果命名的，它是物体受的某一个力或某

几个力的合力产生的一种效果．并不是说做圆周运动的物体又受到了另外一

个新的特殊的力．

 　　在匀速圆周运动中，向心力是由物体受到的合外力来担任的．也就是

说，做匀速圆周运动的物体所受到的合外力的大小是不变的，方向始终与鸿

度墨直并指向圆心．它只能改变速度的方向，不能改变速度的大小．求解匀

速圆周运动的动力学基础仍是牛顿第二定律，这就提醒我们在处理匀速圆周

运动问题时，同样也离不开分析物体的受力．

 　　4、万有引力定律

 　　万有引力定律是牛顿在研究天体运动规律的过程中发现的，它是自然

科学最伟大的成果之一，宇宙间一切物体都是相互吸引的．任何两个物体间

引力的大小跟它们质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比．这就是万

有引力定律，用公式来表示为：

F=Gm1m2/r2

 　　式中G为引力常量，G的单位从上述公式中可推导出是N·m2／kg2，

G的数值为6.67×10-11．这个数值等于两个质量1kg的物体相距1m时相互

之间万有引力的牛顿数．它最初是由卡文迪许用石英扭秆测定的.

 　　普通两个物体之间的万有引力是微不足道的，我们一般不予考虑．但

在天体系统中，由于天体质量很大，所以它们之间的万有引力十分强大，天

体之间的万有引力是这些天体做什幺运动、怎样运动的直接的、决定性的因

素．月亮绕地球运转，地球绕太阳公转，月亮、地球在运动过程中所需要的

向心力就是由万有引力来提供的。

 [练习一]

（1）以下说法是否正确

 　　*因为（n为转数），所以角速度与转数成正比．

 　　*向心加速度描述的是线速度方向变化的快慢

 　　*向心加速度描述的是质点在圆周运动中，向心力变化的快慢

（2）如图所示，为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径

变化的图像．其中A为双曲线的一个分支．由图可知：

 　　A．A物体运动的线速度大小不变B．A物体运动的角速度大小

不变

 　　C．B物体运动的角速度大小不变D．B物体运动的线速度大小

不变

 答案：

AC

 　　（3）如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突

然使它所受力反向，大小不变，即由F变为-F，关于此后物体的运动情况，

下列说法正确的是：

 　　A．物体不可能沿曲线Ba运动；B．物体不可能沿直线Bb运

动；

 　　C．物体不可能沿曲线Bc运动；D．物体不可能沿原曲线B返

回A。

 　　（4）物体运动的速度方向、加速度方向与作用在物体上合外力方向的

关系是：

 　　A．速度方向、加速度方向、合力方向三者总是相同的；

 　　B．速度方向可与加速度方向成任何夹角，但加速度方向总是与合力

方向相同；

 　　C．速度方向总是和合外力方向相同，加速度方向可能和合外力相

同，也可能不同；

 　　D．速度方向与加速度方向或合外力方向可以成任意夹角．

 　　（5）如图所示，在匀强电场内将一质量为m、电量为q的摆球拉至与

悬点O同一水平面处，由静止释放，则在开始的一小段时间内摆球将作：

 　　A．匀速直线运动；B．匀加速直线运动；

 　　C．匀减速直线运动；D．变速圆周运动．

 二、向心力应用问题

 　　1、向心力的来源

 　　向心力是合外力在指向圆心方向的分力，它不是某种性质力的名称，

而是根据力的作用效果来命名的。

向心力可以由某一个力提供，也可以由几

个力的合力提供，还可以由某一个力的分力提供。

 　　如果合外力始终指向圆心且大小不变，则物体作匀速圆周运动。

 　　2、向心力公式的应用

 　　应用方法：

 　　*以指向圆心方向为正方向。

 　　*将物体所受到的各个外力分解到指向圆心方向。

 　　*求出指向圆心的各个分力的合力，即为向心力。

 　　*据牛顿第二定律列方程F向=ma向

 　　[例]在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，

司机左侧的路面比右侧要高一些，路面与水平面间的夹角为θ。

设拐弯路段

是半径为R的圆弧，要使车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力

等于零，车速v应多大？

 　　[解答]如图所示，为汽车在水平面内做匀速圆周运动的受力情况。

重

力与路面的弹力的合力提供向心力，由平行四边形定则及牛顿第二定律得：

 　　F合/G=tgθF合=mv2/R∴

 [练习二]

（1）关于向心力，下列说法中正确的是：

 　　A．物体受到向心力作用才可能做圆周运动

 　　B．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的

 　　C．向心力可能是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可能是其

中某一种力或某一种力的分力

 　　D．向心力只改变物体运动的方向，不可能改变物体运动的快慢

（2）放置在地面上的物体，由于地球自转

 　　A．都具有向心加速度

 　　B．向心加速度大小随纬度增加而减小

 　　C．向心加速度方向都指向地球中心

 　　D．产生此向心加速度的力都是由地球对物体的引力提供的

 　　[解答]物体做匀速圆周运动，随着纬度的增加，半径减小，由a=ω2R

可知，a减小，向心力由引力与地球的弹力的合力提供，答案：

AB。

 　　（3）如图所示，小球用长为L的细绳悬于O点，使之在竖直平面内

做圆周运动，小球通过最低点时速率为v，则小球在最低点时细绳的张力大

小为＿＿＿＿。

（小球质量为m）

 　　（4）如图，质量为m的滑块滑到弧形底端时速率为v，已知圆弧形轨

道的半径为R，则滑块在圆弧形轨道最低点时对轨道的压力大小为＿＿＿

＿。

 　　（5）如图示，质量为m的小球用细绳悬于O点，绳长为L，在竖直

平面内做圆周运动，到达最高点时速度为v，则此时绳子的张力为＿＿＿．

 三、求解匀速圆周运动的思路和步骤

 　　匀速圆周运动的求解应在动力学问题的框架范围内．它的核心仍是

ΣF=ma．

（1）确定研究对象，分析其受力仍是解题的首要和关键的步骤．

（2）以指向圆心的方向为正方向，来确定各个力的正、负号。

建立起牛

顿第二定律的方程，并结合运用a=v2/R=ω2R等有关知识求解．

 　　[例]如图所示，有一质量为m的小球P与穿过光滑水平板上小孔O的

轻绳相连，用手捡着绳子另一端，使P在水平板内绕O作半径为a角速度为

ω的匀速圆周运动.求：

（1）此时拉绳的力多大；

（2）若将绳子从此状态迅速放

松，后又拉直，使P绕O作半径为b的匀速圆周运动．从放松到拉直这段过

程经过了多长时间?

（3）P作半径为b的匀速圆周运动时，绳子拉力又为多大?

 　　[解答]

（1）手拉绳子力的大小与绳拉球作匀速圆周运动向心力的大小

是相等的，故有F=mω2a

（2）松手后，绳子拉力消失．小球将从刚松手的位置，沿圆周的切线方

向，在光滑的水平面上作匀速直线运动．当绳在水平板上长为b时，绳又被

拉紧．在这一段匀速直线运动的过程中，球运动的距离为（如图b所示），故

 　　t=s/v=/（aω）

 　　（3）将刚拉紧绳时球的速度aω1分解为沿绳分量和垂直于绳分量。

在绳

被拉紧的短暂过程中，球损失了沿线的分速度，保留着垂直于绳的分速度作

匀速圆周运动．被保留的速度的大小为：

v＇=va/b=a2ω/b

 　　所以绳子后来的拉力F＇为：

Ｆ＇＝ｍｖ＇２／Ｒ＇＝ｍω２ａ４／ｂ

３

 四、竖直面上圆周运动

 　　最高点：

恰能通过最高点的临界速度

 　　最低点：

最大速度、最大拉（压）力

 　　联系最高点和最低点：

机械能守恒定律

 　　[例]如图，轻杆长Ｌ，质量可忽略不计，杆的一端连接着一质量为ｍ

的小球，另一端装在固定转轴上．设小球在竖直平面内作圆周运动．

（1）当它

在圆周的最低点，速率为ｖ时，求其对杆作用力的大小和方向；

（2）当它在圆

周最高点，速率为ｖ时，求其对杆作用力的大小和方向．

 　　[解答]小球在竖直平面内作的圆周运动并不是匀速圆周运动。

但在最

低点和最高点这两个特殊位置，我们仍可用求解匀速圆周运动的方法和公式

求解，因为在这两个位置。

小球受的外力都在圆周半径方向上，它们的合力

就是向心力．

 　　在最低点：

此位置杆对球作用力Ｎ的方向只可能向上，并且Ｎ＞ｍ

ｇ，故有：

 　　Ｎ－ｍｇ＝ｍｖ２／Ｒ，Ｎ＝ｍｇ＋ｍｖ２/L．

 　　在最高点：

此位置杆对球作用力的方向尚不能确定，我们可暂时假设

N与mg同向，即杆对球有向下拉力作用．则有ｍｇ+Ｎ=ｍｖ２／Ｌ,Ｎ＝ｍ

ｖ２／Ｌ－ｍｇ

 　　如果Ｎ确与ｍｇ同向，方向指向圆心，则Ｎ＞0，即

 　　ｍｖ２／Ｌ－ｍｇ＞０，

 　　若，则由Ｎ的表达式可得Ｎ＝0，即此时杆对球无作用力，重力唯一地

起着向心力的作用；

 　　若，可得Ｎ＜0，则说明杆对球有向上托力作用，这个力的方向与正方

向相反，背离圆心．

 　　根据上述分析，我们可以得到这样的结论：

在最低点，不管小球以多

大的速度运动，杆对球的拉力都是向上的．但在最高点，杆对球作用力的大

小和方向取决于v的大小．是一个临界值．当时，因速度大，所需的向心力

就大，ｍｇ不能满足向心力的需要，需要杆向下的拉力来补充；当时，因速

度小，所需的向心力也小，ｍｇ超过了向心力的需要，故杆产生了向上的托

力来抵消ｍｇ的一部分作用；若，这说明重力ｍｇ恰能满足向心力的需要，

故此时杆对球没有作用力．

 　　如果此题小球不是固定在轻杆的下端，而是系在细线下端，让它在竖

直平面内做圆周运动．则小球能运动到圆周最高点的最小速度应为，若，如

前所述，重力己超过了向心力的需要，而细绳在最高点又不可能象轻杆那样

对球有向上的托力，所以此时小球不可能到达圆周最高点，它到达最高点前

就已离开圆周了。

 五、万有引力定律

 　　这里列出的五个式子中，左边两个代表万有引力（重力），它们是天体

运动向心力的来源；右边三个式子代表向心力；依据万有引力（重力）作为

天体运动的向心力的思路，可按照题设已知条件和未知量在此五式中选择两

个组成方程，通过求解方程得到所需要的结果。

 　　式中r为轨道半径，r=R+h；g’为高度为h的轨道上的重力加速度，

 　　[例]求第一宇宙速度，

（1）已知M、R；

（2）已知g、R

 　　[解答]由，得

（1）

 　　由，可得

（2）

 　　将

（1）、

（2）两式中的R都用地球半径、M用地球质量、g用地面附近重

力加速度数值9.8m/s2代入，均可得到第一宇宙速度v1=7.9×103m/s．

 　　[例]试证明天空中任何天体表面附近卫星的运动周期与该天体密度的

平方根成反比。

 　　[解答]由和，解得：

 六、天体和卫星的运动

 　　我们把月亮绕地球的运转、地球绕太阳的公转以及人造地球卫星的运

动都近似地处理成匀速圆周运动的问题．研究这一类问题的基础是万有引力

定律、牛顿第二定律以及有关匀速圆周运动线速度、角速度、周期以及向心

加速度的一些公式．天体、卫星所需要的向心力就是它们受到的万有引力．

 　　1、三个宇宙速度

 　　第一宇宙速度（环绕速度）是人造地球卫星在地面附近环绕地球运转的

必须具有的速度，第一宇宙速度v1=7.9×103m/s．

 　　第二宇宙速度（脱离速度）是卫星挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运转

行星的最小速度．v2=11.2×103m／s．

 　　第三宇宙速度（逃逸速度）是卫星挣脱太阳的束缚，飞出太阳系运动的

最小速度．V3=16.7×103m／s．

 　　2、在不同轨道上运动的卫星的讨论

 　　以第一宇宙速度运动的卫星是沿地面附近运行的，其轨道半径被认为

是地球半径．还有许多卫星（如气象卫星、通讯卫星等）在地面上方很高处运

行，其轨道半径远比地球半径大，这些卫星的有关物理量如何随轨道半径的

变化而变化呢?

我们可根据万有引力定律和牛顿运动定律加以讨论．

（1）卫星的运行速度：

 　　由，可得．

 　　上式的r是卫星的轨道半径，它应等于地球半径R与卫星离地面的高

度h之和．从此式可看出，由于引力常量G和地球质量M一定，所以卫星

离地面越远，轨道半径越大，其运行的速度就越小．需要说明的是，这里的

速度是卫星在远轨道上的运行速度，不是从地面把卫星送上天的发射速

度．实际上把卫星发送到较远的轨道上，耗费的能量要大，从地面发射的速

度也要大．

（2）卫星运行的角速度：

 　　由，可得，

 　　由此式可看出，卫星离地越远，r越大，ω就越小．

 　　（3）卫星运行的周期：

 　　，，

 　　同样可以看出，r越大，T就越大．若卫星的周期与地球自转周期T0

相同，则此卫星叫同步卫星．同步卫星的轨道平面应与赤道平面重合．其离

地面高度由

 　　，可求得：

 　　（4）卫星的加速度：

 　　卫星的加速度是由地球的万有引力产生的，它就是卫星做匀速圆周运

动的向心加速度．a=F万/m=GM/R2

（1）

 　　卫星的加速度与地面上物体的重力加速度本质上是一致的，它们都是

由地球万有引力产生的．不过卫星的重力加速度g＇的数值远比地面附近的

重力加速度g（9.8m／s2）的数值小．由平方反比关系可得：

（2）

（1）、

（2）两式中的加速度是同一个加速度．所不同的仅是考虑问题的角

度不同罢了。

 　　（5）完全失重和卫星的重量

 　　当卫星在轨道上运行时，舱内的宇航员及其它物体都处于完全失重状

态．这里所指的完全失重状态并非指人和物体不受地球引力作用，仅是反映

了人和物对支持物（地板）没有压力，用测力计去称他们的重力，读数为零。

毫无疑问，人和物仍要受到地球万有引力（重力）的作用．不过比其在地面附

近所受的重力要小．

 　　3、双星的运动

 　　两颗离得较近的天体称为双星．双星都是以它们连线上的某点为公共

圆心，以相同的角速度做匀速圆周运动．这时万有引力作为向心力起着只改

变它们的速度方向，不改变速度大小的作用．也只有这样，它们才能处于稳

定的状态，不至于因巨大的吸引作用而导致碰撞、毁灭．

 　　求解双星问题有两点值得注意：

①它们做匀速圆周运动的向心力是相

等的；②它们运行的周期是相同的．因为只有周期相同，它们之间的距离才

可能保持不变．它们才可能稳定运行的状态之中．

 　　[例]质量分别为m1和m2、相距为L的双星，绕其连线上的O点匀速

旋转．求它们各自的轨道半径和周期．

 　　[解答]由万有引力定律和牛顿第二定律可得：

 　　对m1：

（1）

 　　对m2：

（2）

 　　将

（1）、

（2）化简后再相除，便可得：

 　　再将R1数值代人

（1）可得：