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高数各章精选习题
1.设f(x)=
sin(x+1)
1+x2
第一章
-∞ A、有界函数B、奇函数C、偶函数D、周期函数 2.设f(x)=ln(x+1),则f(f(x))的定义域是() A、(0,+∞) B、⎛1-1,+∞⎫ C、(1,+∞) D、(0,e) ç⎪ ⎝e⎭ 3.f(x)= xsinxecosx在(-∞,+∞)上是() A、有界函数B、偶函数C、单调函数D、周期函数 4.limx-1的值是() x→1 A、1B、-1 C、0D、不存在 5.f(x)=arctan 1 1-x ,当x→1时的极限值是() ππ A、B、-C、0D、不存在 22 x-1 6.y=sinln x+1 (x>1)是() A、单调函数B、有界函数C、周期函数D、非奇非偶函数 7.y=π+arctanx的反函数是() 2 A、y=2tan(x-π),x∈⎛π,3π⎫ B、y= x∈⎛π,3π⎫ ç⎪ ⎝22⎭ tan,x 2 ç⎪ ⎝22⎭ C、y= 2tan x,x 2 ∈(-π,π) D、y=1tanx,x∈(-π,π) 2 8.x→0时,(1-cosx)2是sin2x的() A、高阶无穷小B、同阶无穷小,但不是等价无穷小 C、低阶无穷小D、等价无穷小 9.y=sin x+1-x2 的连续区间 10.limx x→+∞ x2+2x+5-(x+1)]= 11.limsin3x= x→∞x x2-1 12.f(x)= x2-3x+2 的连续区间为 13.f(x)=⎧1, ⎩0, ⎨ 14.y=⎧x-1, ⎩sinx, x≤1,则f(f(x))= x>1 x>0 的间断点是 x≤0 15.y=的定义域 16.lim= x→2x2-4 ⎧⎪ln(1+2x),x≠0 17.若f(x)=⎨x ⎪⎩a, x=0 在x=0处连续,则a= ⎛x2+1 18.limç -x+b⎫=0,则b= x→∞⎝ x+1⎭ 19. ⎪ f(x)=arccos ⎨ ⎧tan2x, 的定义域是 π 20.f(x)=⎪ ⎪⎩ x (x+k)2, - 4 x≥0 21.证明: 方程x=cosx在⎛0,π⎫内至少有一个实根. ç⎪ ⎝2⎭ f(x+h)-f(x) 22.设fx,求lim. h→0h 23.已知()= ln(en+xn)(> ),求f(x). fxlimx0 n→∞n ⎧⎛arctan1⎫sinx+1ln(1+3x),-1 24.设f(x)=⎪ç ⎪⎩ ⎪ ⎨⎝ x x ⎭3 a,x≥0 ,若f(x)在x=0处连续,求a的 值. 第二章一元函数微分学 1.若y= f(x)满足f'(x)=2,则当∆x→0时,y= f(x)在x=x处的微分dy是() A、与∆x等价的无穷小B、与∆x同阶的无穷小 C、比∆x低阶的无穷小D、比∆x高阶的无穷小 2.若f(x+1)=af(x)总成立,且f'(0)=b(a,b为非零常数),则f(x)在x=1处() A、可导且f' (1)=ab C、可导且f' (1)=b B、可导且f' (1)=a D、不可导 3.设y= f(sinx),则dy=(). A、f'(sinx)(sinx)'dx C、f'(sinx)sinxdx B、f'(sinx)dx D、f'sinxcosx 4.若f(x)为可微函数,则dy=() A、与∆x无关B、为∆x的线性函数 C、当∆x→0时为∆x的高阶无穷小D、与∆x为等价无穷小 ⎪x ⎧ 1 2 5.f(x)=⎨ sinx,x≠0在x=0处导数为() A、-1 ⎪⎩0, x=0 B、0C、1D、不存在 6.已知y=sinx,则y(10)=() A、sinx B、cosx C、-sinx D、-cosx 7.设f(x)在点x=a处可导,则limf(a+x)-f(a-x)=() x→0x A、2f'(a)B、f'(a)C、f'(2a)D、0 8.过曲线y=x+sinx上的点⎛π,1+π⎫处的切线方程. ç⎪ ⎝22⎭ 9.设 f(x) 在(-∞,+∞)内处处可导,且 limf'(x)=k x→∞ ,则当 a,k 为常数时 lim[f(x+a)-f(x)]=. x→∞ 10.已知f'(3)=2,则limf(3-2h)-f(3)=. h→0h 11.若函数y=y(x)由y=1+xey所确定,则y'=. 12.设y=ex+e-x,则y(n)=. 13.设y=10x9+8x7+1,则y(9)= 14.设f(x)在点x可导,a,b为常数,则lim . f(x+a∆x)-f(x-b∆x) . 0∆x→0∆x 15.设f(x)=x(1+x)(2+x)(2010+x),则f'(10)=. 16. y=x-1的不可导点为. 17.f(u)可导,且y= f(ex),则dy=. 00 18.设对于任意的x,都有f(-x)=-f(x),f'(-x)=-k≠0,则f'(x)=. 19.已知y=xlnx,则y(10)=. ⎧x=1+t2 20.曲线⎨ ⎩ y=t3 在t=2处的切线方程为. 21.已知y= f⎛3x-2⎫,f'(x)=arctanx2,则=. ç⎪ 3x+2 x=0 ⎝⎭ 22.f(x)=e2x-2x在区间单调增加. 23. 2 lim(1+3x)sinx=. x→0 24.设y=xey+1,求y'(0). 25.设曲线f(x)=xn在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(ξ,0),求limf(ξ). nn→∞n 26.已知 f(0)=0, f(x)在区间[0,+∞)上连续, f'(x)在[0,+∞)单调增加,证明: g(x)= f(x)在[0,+∞)内也单调增加. x 27.设() ⎧1-e2x, x≤0 ,求 '(). fx=⎨ ⎩ x2, x>0fx 28.求y= 3 x2-2x+4 图形的拐点与凹凸区. 29.讨论方程x2=xsinx+cosx的根的个数. cosx ln1 x 3sinx+x2cos1 x→0 1 30.求lim(+ )(+x). 2x2 31.求y(1-x)2的单调区间、极值,及其图形的凹凸区间和拐点. ⎧1ln(1+x),0 x 32.设f(x)=⎪a,x=0 ,问当a和k取何值时,f(x)在x=0处连续. ⎪sinkx, x<0 ⎩⎪x 33.设y=(1+x)ln(1+x+ 2x+x2)- ,求dy. 34.设 f'(0)=0,f(0)= ⎛ 0,limç1 1 +()=e 1-cosfx⎫x ⎪ ,求f'(0). x→0⎝ sinx⎭ ç . ⎪ 35.求lim⎛1-1⎫ x x→0⎝x e-1⎭ 36.设y=y(x)由方程ey+xy=e所确定,求y'(0). 37.求证: 当x∈(0,1)时,(1+x)ln2(1+x) 38.设a>b>e,证明: ab 39.设ex-ey=sinxy,求y'与y'. 40.已知f(x)=⎧ln(1+x),x≥0,求f'(x). ⎨sinx ⎩e, x<0 41.讨论f(x)=2x+33 x2的增减性,凹凸性并求极值. 42.讨论3x2-1=cosx根的个数. 第三章一元函数积分学 xf 1.设f(x)满足f(0)=1,f (2)=3,f' (2)=5,f'(x)连续,则⎰2 '(x)dx=(). 0 A、10B、9C、8D、7 2.由曲线y=x,y=1,x=4所围成的平面图形的面积是() A、4B、5C、7D、16 3333 3.下列等式成立的是() A、⎰f'(x)dx= f(x) B、⎰df(x)= f(x) C、d dx ⎰f(x)dx= f(x) D、d⎰f(x)dx= f(x) 4.若⎰f(x)dx=F(x)+c,则⎰f(ax2+b)xdx=() A、F(ax2+b)+c B、12a F(ax2+b) C、12a F(ax2+b)+c D、2aF(ax2+b)+c 5.若f'(x2)=1(x>0),则f(x)=() x A、2x+c B、lnx+c C、2+c D、1+c x 6.若f(x)=d⎰(-x)dt,则() sint dx0 A、f(x)=-sinx B、f(x)=-1+cosx C、f(x)=sinx D、f(x)=1-sinx 7.设f(x)连续,则limx⎰xf(t)dt的值为() x→ax-aa A、0B、aC、f(a)D、af(a) 8.设f(x)连续,则d dx ⎰ A、bf(x+y)dy a C、f(x+a) bf(x+y)dy等于() ⎰ a B、f(x+b)-f(x+a) D、f(x+b) 9.y=x+1,y=x2(x≥0),x=1与y轴所围平面图形的面积等于() A、7B、2C、1D、4 6323 10.曲线y=x2-2x,y=0,x=1,x=3所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为 () A、11π 6 B、43π6 C、46π15 D、32π6 11.⎰ cos2x dx. sinx 12.极限lim1(+ n→∞n ++ n)用定积分表示. 13.⎰x2lnxdx=. 4 14.⎰-1x xdx=. ⎰ 15.1dx=. 0 16.⎰1dx=. ⎰ 17.0exdx=. ⎰ -∞ 18. sin2x1+sin2x dx=. ⎰ 19.+∞e-xdx=. 0 ⎰ 20.设f(x)的原函数为sinx,则xf'(x)dx=. x 21.⎰e3x2xdx=. ⎰ ⎛1-x⎫2 22.ç ⎝ ⎪dx=. x⎭ 23. π ⎰-π 2(2.)x+cosxsinxdx= 2 24. +∞dx=. 2x2+x-2 25.4x2-3x+2dx=. 1 26.设fx是连续函数,且⎰() =,则()=. 27.y=1,y=x及x=2所围成的平面图形的面积. x 28.由y=sinx,x∈[-π,π]与x轴所围平面图形面积为,这一图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为. ()1n⎛ b-a⎫ 29.设f x在[a,b]上连续,将limn∑fça+ k⎪用定积分表示. n n→∞ k=1⎝⎭ ⎰ 30.设f(x)=3x2-1f(x)dx,求f(x). 0 ⎰ 31.计算3xdx. 0 2 32.计算⎰-1x xdx. 2x+x 33.求⎰-22+x2dx. ⎰ 34.求+∞e-xdx. 0 35.计算⎰43 xlnxdx. 12 36.若f(x)在[0,1]上是连续的. πππ (1)证明⎰0xf(sinx)dx=2⎰0f(sinx)dx. πxsin3x (2)求⎰01+cos2xdx. 第四章微分方程 1.设线性无关函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性微分方程y'+p(x)y'+q(x)y= f(x)的解, C1,C2是待定常数,则此方程的通解是() A、Cy+Cy+y B、Cy+Cy - (C + C)y 11223 1122 233 C、Cy+Cy -(1-C-C)y D、Cy+Cy +(1-C-C)y 1122 123 1122 123 2.已知二阶微分方程y'+2y'+2y=e-xsinx,则其特解形式为() A、e-x(acosx+bsinx) C、xe-x(acosx+bsinx) B、ae-xcosx+bxe-xsinx D、axe-xcosx+be-xsinx ç ⎪dt 3.若连续函数f(x)满足f(x)=⎰2xf⎛t⎫ +ln2,则f(x)=() A、exln2 B、e2xln2 0⎝2⎭ C、ex+ln2 D、e2x+ln2 4.一阶线性微分方程y'+p(x)y=Q(x)的通解为. 5.dy+x=0的通解为. dxy 6.y'-y=0的通解. ç ⎪ 7.设f(x)为连续函数,且f(x)=⎰2xf⎛t⎫dt+1,求f(x). 0⎝2⎭ dyy2+1 8.求dx=y(x2-1)的通解. 9.求y'+3y'+2y=3xe-x的通解. 10.y'+1y=(1 )的通解. 1.x n=1n 的收敛区间为() 第五章无穷级数 A、(-1,1) B、[-1,1] C、(-1,1] D、[-1,1) ∞xn 2.级数∑n的收敛区间是. n=0 ∞∞ 3.若级数∑an=S,则∑(an-2an+1)=. n=1n=1 ∞⎛1⎫n-1 4.级数∑ç2⎪=. n=2⎝⎭ ∞ n 5.级数∑3xn的收敛半径R=. n=1n+3 6.函数lnx在x=1的幂级数展开式为. 7.将f(x)=ln(1-x-2x2)展开成x的幂级数,并指出收敛域. 1 ∞ 2n-1 3 8.求幂级数∑nx的收敛域. n=1 ∞nxn 9.求幂级数∑(-1) n=1 的收敛半径及收敛区间. nn ∞ 10.判定级数∑1 n=1 的敛散性. 11.将f(x)= 1 x2-3x+2 展开成x的幂级数,并指出收敛区间. 第六章向量代数与空间解析几何 L⎧x+3y+2z+1=0 ⎩ 1.已知直线 () : ⎨2x-y-10z+3=0 及平面∏: x-2y+z=1,则直线L与∏的关系是 A、L⊥∏B、L//∏,但L不在∏内C、但L在∏内D、L与∏斜交 2.在xoy平面上与向量a=(4,-3,7)垂直的单位向量是. 3.平面2x+y-z-1=0与平面2x+y-z+3=0之间的距离等于. 4.直线 x-2= 3 y-1= -1 z到平面x-y-4z-2=0的距离为. 1 1212 5.已知两点M(0,1,2)和M(1,-1,0),则与向量MM同方向的单位向量a=. 6.向量b=(1,1,-4)在向量a=(2,-2,1)上的投影等于. 7.要使直线 x-a 3 =y= -2 z+1 a 在平面3x+4y-az=3a-1上,求a. 8.已知直线L⎧ x-y=3 及点P(1,0,-1).求P到直线的距离. : ⎨00 ⎩3x-y+z=1
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