六年级春季班第16讲线段的相等与和差倍张教师版.docx
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六年级春季班第16讲线段的相等与和差倍张教师版.docx
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六年级春季班第16讲线段的相等与和差倍张教师版
线段的相等与和、差、倍是初中数学六年级下学期第3章第1节的内容.重点是学会用数学符号表示两条线段的大小关系,能用等式表示两条线段的和、差、倍的关系,掌握两点之间距离的概念,理解“两点之间,线段最短”的意义及线段的中点的意义.另外,需学会用直尺、圆规等工具画线段,及其和、差、倍,并学会用作图语言描述画法.
1、线段的表示
(1)可以用两个大写英文字母表示一条线段的两个端点.如图所示:
线段可以用表示端点的两个字母A、B表示,记作线段AB.
(2)也可以用一个小写英文字母,如图所示:
线段可以用小写英文字母a表示,记作线段a.
2、线段的大小比较
通常,把比较两条线段的长短称作两条“线段的大小的比较”.
线段的大小比较有两种方法:
度量法和叠合法.叠合法如下:
将线段AB移到线段CD的位置,使端点A与端点C重合,线段AB与线段CD叠合.这时
端点B可能的位置情况如下表:
图形
点B的位置
符号表示
情况一
点B在线段CD上(C、D之间)
记作:
AB
情况二
点B与点D重合
记作:
AB=CD
情况三
点B在线段CD的延长线上
记作:
AB>CD(或CD 3、如图,已知线段a,用圆规、直尺画出线段AB,使AB=a. (1)画射线AC; (2)在射线AC上截取线段AB=a.(以点A为圆心,a为半径画弧,交射线AC于点B) a A B C 线段AB就是所要画的线段. 4、两点之间的距离: 联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离. 两点之间,线段最短. 【例1】判断题: (1)在“线段AB”中,A、B分别表示这条线段的两个端点.() (2)“线段AB”与“线段BA”指的是同一条线段.() (3)“射线AB”与“射线BA”也指同一条射线.() (4)射线AB的端点是点A和点B.() (5)线段AB和线段CD,如果点A和点B落在线段CD内,则AB 【难度】★ 【答案】 (1)√; (2)√;(3)×;(4)×;(5)√. 【解析】线段可以用表示端点的两个字母表示;射线有一个端点,无限长;线段的大小比较 有两种方法: 度量法和叠合法 【总结】本题主要考察线段的表示,线段的大小比较及射线的含义. 【例2】过一点可做______条直线,过两点可作_____条直线. 【难度】★ 【答案】无数,一条. 【解析】根据直线的性质,两点确定一条直线. 【总结】本题主要考察直线的性质. 【例3】线段有______个端点,射线有______个端点,直线有______个端点. 【难度】★ 【答案】2,1,0. 【解析】线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点. 【总结】本题主要考察线段,射线及直线的含义. 【例4】如图所示,图中共有______条线段,共有______条射线. 【难度】★ 【答案】10,10. 【解析】线段有两个端点,有限长;射线有一个端点,向一端无限延伸. 【总结】本题主要考察线段,射线的定义. 【例5】如图所示,图中最短的线段是______,最长的线段是______,点B与线段CD的 位置关系是__________. 【难度】★ 【答案】BC,AD,点B在线段CD的反向延长线上. 【解析】从直线外一点向直线所作的所有线段中,垂线段最短; 点与线段的位置关系有两种: 在线段上和在线段的延长线上. 【总结】本题主要考察垂线段的性质及线段的大小比较. 【例6】下列画图画法的语句正确的是() A.画直线AB、CD相交于点MB.直线AB、CD相交于点M C.在射线OC上截取线段PC=3厘米D.延长线段AB到点C,使BC=AB 【难度】★★ 【答案】D. 【解析】A错误,直线AB、CD不一定相交,有可能平行;B错误;C错误,C点不固定; 故选D. 【总结】本题主要考察了直线、射线,线段的定义,主要是画图语言的表述. 【例7】如图,已知AB A.AC>BDB.AC=BD C.AC 【难度】★★ 【答案】C. 【解析】因为AB 即AC 【总结】本题主要考察线段的大小比较. 【例8】如图,已知 中,边AB的长大于边AC的长,试用圆规、直尺在线段AB上 画出线段AD,使AD=AC. 【难度】★★ 【答案】略. 【解析】由题意得: 如图以点A为圆心,AC长为半径画弧 交AB于点D,则AD=AC. 【总结】本题主要考察尺规作图的方法. 【例9】图中共有几条线段? 几条射线? 【难度】★★ 【答案】6,12. 【解析】图中线段有BC、CD、BD、AB、AC、AD共6条; 射线有12条,注意分别以A、B、C、D为端点的射线各有3条. 【总结】本题主要考察线段,射线的端点特征;在线段、射线的计数时,注意不重复不遗漏. 【例10】如图,已知线段AB、线段CD.利用圆规和无刻度的直尺比较这两条线段的大小. 【难度】★★ 【答案】AB>CD. 【解析】以点A为圆心,CD为半径画弧,与线段AB的交点 在线段AB上,故AB>CD. 【总结】本题主要考察度量法和叠合法比较线段大小. 【例11】已知平面上有4个点,无三点共线,请问,这4个点可以构成多少条线段? 若有5个点呢(其他条件不变)? 若有6个点呢(其他条件不变)? 若有n个点呢(其他条件不变)? 【难度】★★★ 【答案】6,10,15, . 【解析】过两点的线段有1条,过三点不在同一直线上的4点的线段有4×3÷2=6条; 过任何三点都不在同一直线上的5点的线段有5×4÷2=10条; 过任何三点都不在同一直线上的6点的线段有6×5÷2=15条; 按此规律,由特殊到一般: 平面内有n个点且任意三点都不在同一直线上,一共可以画 的线段条数为 . 【总结】本题主要考察线段的计数,注意不重复不遗漏. 【例12】已知一条直线上有4个点,则以这4个点为端点的线段有多少条? 若有5个点呢(其他条件不变)? 若有6个点呢(其他条件不变)? 若有n个点呢(其他条件不变)? 【难度】★★★ 【答案】6,10,15, . 【解析】当直线上有4个不同点,共有线段6条; 当直线上有5个不同点,共有线段10条; 当直线上有6个不同点,共有线段15条; 所以,一条直线上有n个不同的点时共有线段 条. 【总结】本题主要考察线段的计数,综合性较强,要找出其中的规律,注意不重复不遗漏. 【例13】图中共有多少条线段? 【难度】★★★ 【答案】33. 【解析】图中共有线段: 3×2÷2×4+5×4÷2×2+1=33(条) 【总结】本题主要考察线段的计数,按照前面总结的规律去计算,注意不要遗漏. 1、线段的和(或差) 两条线段可以相加(或相减),它们的和(或差)也是一条线段,其长度等于这两条线段的长度的和(或差). 2、线段的中点 将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点. 【例14】如图,已知线段a、b. (1)画出一条线段,使它等于 ; (2)画出一条线段,使它等于 . 【难度】★ 【答案】略. 【解析】 (1)如图所示,画线段AC使AC=a,再延长AC至B,使BC=b,则线段AB即 为所求线段; (2)作线段AM,在线段AM上截取AC=b,在线段CA上截取CB=b,则线段AB即 为所求线段. 【总结】本题主要考察利用尺规作图作出线段的和差. 【例15】如图,已知线段a、b. (1)画出一条线段,使它等于 ; (2)画出一条线段,使它等于 . 【难度】★ 【答案】略. 【解析】 (1)如图所示,画线段AB使AB=a,再延长AB至C,使BC=a,则线段AC即为 所求线段; (2)作射线AM,在射线AM上截取AB=BC=a,在线段CA上截取CD=b,则线段AD 即为所求线段. 【总结】本题主要考察利用尺规作图作出线段的和差. 【例16】根据图形填空: (1)AD=______+BC+______=AC+______=AB+______; (2)AB=AD-______; (3)AC=AD-______=BC+______. 【难度】★ 【答案】 (1)AB,CD,CD,BD; (2)BD;(3)CD,AB. 【解析】由图形可知, (1)AB,CD,CD,BD; (2)BD;(3)CD,AB. 【总结】本题主要考察线段的和差. 【例17】如图,已知点C是线段AB的中点,则AC=____AB,AB=2____=2____, ______=______. 【难度】★ 【答案】 ,AC,BC,AC,BC. 【解析】因为点C是线段AB的中点,所以AC= 2AB,AB=2AC=2BC, . 【总结】本题主要考察线段的中点的性质,注意找出线段间的数量关系. 【例18】如图,已知点C是线段AB的中点,AC=20,BD=29,则AB=______,DC=______. 【难度】★★ 【答案】40,9. 【解析】因为点C是线段AB的中点,AC=20, 所以AC=BC=20AB=2AC=40,CD=BD-BC=29-20=9. 【总结】本题主要考察线段的和差计算. 【例19】线段AB=2厘米,延长线段AB至点C,使得BC=2AB,则AC=_____厘米. 【难度】★★ 【答案】6. 【解析】因为AB=2厘米,BC=2AB,所以BC=4厘米,AC=AB+BC=6厘米. 【总结】本题主要考察线段的和差计算,注意根据图新判断线段间的关系. 【例20】线段AB=2厘米,反向延长线段AB至点C,使得BC=3AB,则AC=_____厘米. 【难度】★★ 【答案】4. 【解析】因为AB=2厘米,BC=3AB,所以BC=6厘米,AC=2AB,所以AC=4厘米. 【总结】本题主要考察线段的和差计算. 【例21】线段AB=2005厘米,P、Q是线段AB上的两个点,线段AQ=1200厘米,线段BP=1050厘米,那么线段PQ=______厘米. 【难度】★★ 【答案】245. 【解析】因为AB=2005,AQ=1200,BP=1050, 所以 厘米. 【总结】本题主要考察线段的和、差,注意根据题意判定P、Q的相对位置. 【例22】如图,线段AD=90厘米,B、C是这条线段上的两点,AC=70厘米,且 , A B C D 则AB的长为______. 【难度】★★ 【答案】10厘米. 【解析】因为AD=90厘米,AC=70厘米,所以CD=AD-AC=20厘米, 因为 ,所以BC=60厘米,因为AC=AB+BC,所以AB=10厘米. 【例23】如图,已知D为线段AB的中点,E为线段BC的中点,若AC=12,EC=4, 求线段AD的长度. 【难度】★★ 【答案】2. 【解析】因为E为线段BC的中点,所以EC=EB,因为EC=4,所以BC=2EC=8, 因为AC=12,所以AB=AC-BC=12-8=4, 因为D为线段AB的中点,所以AD= =2. 【总结】本题主要考察线段的和差计算,注意判定线段间的数量关系. 【例24】如图点A、B、C、D、E在同一条直线上,已知AB=a,AD=b,CD=c,CE=d, A B C D E 用含a、b、c、d的式子表示BC、DE的长. 【难度】★★ 【答案】 ; . 【解析】由条件知, ; . 【总结】本题主要考察线段的和差计算. 【例25】两条长度不等的线段,它们的长度和为a,一条线段的2倍等于另一条线段的3 倍,求这两条线段的长度差.(结果用a表示) 【难度】★★ 【答案】 . 【解析】设长线段长度为3x,则短线段长度为2x; 由题意得,3x+2x=a,解得: x= ; 则这两条线段的长度差为 . 【总结】本题主要考察线段的和差,注意利用方程的思想去求解. 【例26】已知线段AB,用直尺、圆规作出它的中点C. 【难度】★★★ 【答案】略. 【解析】以端点A为圆心,大于线段AB的二分之一长度为半径,画弧;然后以B为圆心, 相同长度为半径画弧,两弧交点的连线与已知线段的交点就是线段中点C. 【总结】本题主要考察利用尺规画图作出线段的中点. 【例27】两条线段的长度分别为6和8,使这两条线段在同一直线上,并有一个端点重合, 求这两条线段的中点所确定的线段的长度. 【难度】★★★ 【答案】1或7. 【解析】当两条线段的端点在重合端点的同一侧时,所求线段的长度为(8-6)÷2=1; 当两条线段的端点在重合端点的两侧时,所求线段的长度为(8+6)÷2=7. 【总结】本题主要考察线段的和差,注意分类讨论. 【例28】如图,点A、B、C、D在同一条直线上,已知 , ,求AB: BC: CD. A B C D 【难度】★★★ 【答案】AB: BC: CD=9: 7: 8. 【解析】因为 所以设AB=3x,则BD=5x,AB=8x; 因为 ,所以 , , 所以 ,所以AB: BC: CD= . 【总结】本题主要考察线段的和与差,注意利用比例的关系进行求解. 【例29】在直线上顺次排列的四个点A、B、C、D满足AB: BC: CD=2: 3: 4,AB的中 点M点与CD的中点N点的距离是3厘米,求BC的长. 【难度】★★★ 【答案】1.5厘米. 【解析】根据题意,设AB=2x,则BC=3x,CD=4x, 因为点M是AB的中点,点N是CD的中点,所以BM=x,CN=2x, 因为MN=MB+BC+CN,所以MN=6x, 因为MN=3,所以6x=3,x=0.5,即BC=1.5厘米. 【总结】本题主要考察线段的和差,注意利用方程的思想去解决. 【例30】 A B C D E 如图,线段AB=BC=CD=DE=1厘米,那么图中所有线段的长度之和等于多 少? 【难度】★★★ 【答案】20厘米. 【解析】图中共有10条线段,其中AB=BC=CD=DE=1厘米,AC=BD=CE=2厘米, AD=BE=3厘米,AE=5厘米,所以所有线段的长度之和等于20厘米. 【总结】本题主要考察线段的和差倍,注意找出所有的线段来. 【习题1】用叠合法比较线段AB与线段CD的大小,把点A与点C重合,当点B在线段 CD上,则AB______CD;若点B在线段CD的延长线上,则AB______CD;如点B与点D重合,则AB______CD. 【难度】★ 【答案】<,>,=. 【解析】利用叠合法比较线段大小. 【总结】本题主要考察叠合法比较线段大小. 【习题2】把一段弯曲的公路改为直路,可以缩短路程,其理由是_________________. 【难度】★ 【答案】两点之间线段最短. 【解析】两点之间线段最短. 【总结】本题主要考察线段的性质. 【习题3】判断下列语句是否正确: (1)点A与点B的距离就是线段AB;() (2)若线段AM与线段BM相等,则M是线段AB的中点.() 【难度】★ 【答案】 (1)×; (2)×. 【解析】 (1)线段AB的长度是点A与点B之间的距离; (2)当点M在线段AB上时,且线段AM与线段BM相等,则M是线段AB的中点. 【总结】本题主要考察线段的性质及线段的中点. 【习题4】如果点M在线段AB上,那么下列各式中不能说明点M为线段AB中点的语句是() A. B. C. D. 【难度】★ 【答案】D. 【解析】因为 , , ,均能说明点M为线段AB中点, 而 ,则不能,故选D. 【总结】本题主要考察两点间的距离,掌握线段中点的概念是关键. 【习题5】找出图中的所有线段,并将它们表示出来. 【难度】★★ 【答案】线段AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF. 【解析】图中的线段有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE, DF,EF,共有线段15条. 【总结】本题主要考察线段的含义,注意不要遗漏. 【习题6】已知M是线段AB上的一点,点C是线段AM的中点,点D是线段MB的中点,AM=8厘米,MD=2厘米,则BC=______厘米. 【难度】★★ 【答案】8. 【解析】由条件知: AM=2AC=2CM,BM=2DM=2BD, 因为AM=8厘米,MD=2厘米,所以CM=4厘米,BM=4厘米,BC=8厘米. 【总结】本题主要考察线段的和差倍,注意掌握线段间的数量关系. 【习题7】已知线段AB=6cm,延长AB到C,使 ,反向延长AB到D, 使 ,则线段CD=______cm. 【难度】★★ 【答案】11. 【解析】因为 AB=6cm, 所以BC=3cm,AD=2cm,所以CD=11cm. 【总结】本题主要考察线段的和差倍,关键是正确画图,准确找出线段间的关系. 【习题8】 a c b 已知线段a、b、c,画出线段AB使 . 【难度】★★★ 【答案】略. 【解析】如图所示,画线段AC使AC=CD=a,再延长AD至E,使DE=b;在线段AE上截取 ,则线段AB即为所求线段; 【总结】本题主要考察线段的和差倍. 【习题9】已知在平面上有10个点,无三点共线,请问这10个点可以构成多少条线段? 【难度】★★★ 【答案】45条. 【解析】可以构成线段10×9÷2=45(条). 【总结】本题主要考察线段的计数,注意不重复不遗漏,找出相应的规律. 【习题10】在直线上有两点A、B,它们的距离等于10,在该直线上另有一点P,P到A、 B的距离之和为12,请判断点P与点A的位置关系. 【难度】★★★ 【答案】点P在线段AB延长线上时,AP=11;点P在线段BA延长线上时,AP=1. 【解析】由条件知,AB=10,AP+BP=12, 当点P在线段AB延长线上时,AP=11; 当点P在线段BA延长线上时,AP=1. 【总结】本题主要考察两点间的距离,综合性较强,注意分类讨论,正确画图很重要. 【作业1】下列语句错误的是() A.线段AB和线段BA是同一条线段 B.射线AB和射线BA不是同一条射线 C.“延长线段AB到点C”与“延长线段BA到点C”意义相同 D.直线不能比较大小 【难度】★ 【答案】C. 【解析】“延长线段AB到点C”与“延长线段BA到点C”方向不同,意义也不一样; 故选C. 【总结】本题主要考察直线、射线、线段的特征. 【作业2】 A B C D A B C D 比较下列各图中线段AB与CD的大小. 【难度】★★ 【答案】AB>CD,AB>CD. 【解析】分别将线段AB移到线段CD的位置, 使端点A与端点C重合,线段AB与线段CD叠合; 这时端点B都在的线段AB延长线上,所以AB>CD. 【总结】本题主要考察线段的比较大小,度量法和叠合法. 【作业3】如图,直线上有A、B、C三点,图中共有______条射线,______条线段. 【难度】★ 【答案】6,3. 【解析】由图可知,图中共有6条射线: 以A、B、C为端点的射线分别有2条,共6条; 图中共有3条线段分别是: AB,AC,BC. 【总结】本题主要考察射线、线段的定义,注意不重复,不遗漏. 【作业4】线段AB= 厘米,点C是线段AB的中点,则线段BC=______厘米. 【难度】★★ 【答案】 . 【解析】因为点C是线段AB的中点,AB= 厘米,所以 厘米. 【总结】本题主要考察线段的中点所具有的性质,注意分数的计算. 【作业5】延长线段AB至点C,使 ,D是AC的中点,若DC=2厘米,则AB=______厘米. 【难度】★★ 【答案】3. 【解析】因为D是AC的中点,DC=2厘米,所以AC=2DC=4厘米, 因为 所以 厘米. 【总结】本题主要考察线段的倍分运算,注意找出线段间的数量关系来. 【作业6】已知线段AB,点D为线段AB的中点,延长线段AB到C,使点B为线段AC的中点,反向延长线段AB到E,使得点A为线段DE的中点,则BC=______AE. 【难度】★★ 【答案】2. 【解析】因为点A为线段DE的中点,所以DE=2AE. 因为点D为线段AB的中点,B为线段AC的中点,所以BC=AB=DE,即BC=2AE. 【总结】本题主要考察线段的中点,关键是正确画图. 【作业7】延长线段AB到C,使AC=3AB,在AB反向延长线上取一点D,使AD=AB, 若点E是AB的中点,DE=7.2cm,求CD的长. 【难度】★★ 【答案】19.2cm. 【解析】因为点E是AB的中点,AD=AB,所以AB=AD=2AE,所以DE=3AE, 因为DE=7.2cm,所以AE=2.4cm,AB=4.8cm, 因为AC=3AB,所以CD=4AB=19.2cm. 【总结】本题主要考察线段的和差倍的相关计算,注意进行分析. 【作业8】如图,已知AE=14cm,B为AE上一点,且AB: BE=3: 4,C为AE中点,D 为BE中点,求线段CD的长. A B C D E 【难度】★★★ 【答案】3cm. 【解析】因为AB: BE=3: 4,所以设AB=3x,则BE=4x,AE=7x, 因为AE=14cm,所以x=2cm,所以AB=6cm,BE=8cm, 因为C为AE中点,D为BE中点,所以CE= =7cm,DE= =4cm, 所以 cm. 【总结】本题主要考察线段的和差计算,注意找出线段间的关系. 【作业9】 已知A、B、C为一直线上三点,且AB=10cm,BC=20cm,则AC的长度为多 少? 【难度】★★★ 【答案】30cm或10cm. 【解析】当点A、C在点B两侧时,AC=AB+BC=30cm; 当点A、C在点B同侧时,AC=BC-AB=10cm.
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