错题2答案见最后.docx
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错题2答案见最后
2014年11月02日245491307的初中数学组卷
2014年11月02日245491307的初中数学组卷
一.选择题(共10小题)
1.如图,已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,那么,由以上信息,可推出图中相等的角有( )
A.
3对
B.
4对
C.
5对
D.
10对
2.如图,以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,则△ABC与△AEG的面积之间的关系为( )
A.
S△ABC≥S△AEG
B.
S△ABC≤S△AEG
C.
S△ABC=S△AEG
D.
无法确定
3.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交与点O,AD与BC交与点P,BE与CD交与点Q,连接PQ.有下列结论:
①AD=BE;②AP=BQ;③∠AOB=60°;④DE=DP,其中正确的结论有( )
A.
①②③
B.
①③④
C.
①②
D.
②③④
4.如图,D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点,E为BC边上一点,连接ED并延长交CA的延长线于点F,过D作DH⊥EF交AC于G,交BC的延长线于H,则以下结论:
①DE=DG;②BE=CG;③DF=DH;④BH=CF.其中正确的是( )
A.
②③
B.
③④
C.
①④
D.
①②③④
5.如图,过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交边AC于点D,则DE的长为( )
A.
B.
C.
D.
不能确定
6.在△ABC中,AC=5,中线AD=4,那么边AB的取值范围为( )
A.
l<AB<9
B.
3<AB<13
C.
5<AB<13
D.
9<AB<13
7.(2014•山西)如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为( )
A.
a2
B.
a2
C.
a2
D.
a2
8.在等腰直角△ABC(AB=AC≠BC)所在的三角形边上有一点P,使得△PAB,△PAC都是等腰三角形,则满足此条件的点有( )
A.
1个
B.
3个
C.
6个
D.
7个
9.(2011•恩施州)如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39,则△EDF的面积为( )
A.
11
B.
5.5
C.
7
D.
3.5
10.如图,∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P,BE=BC,PB与CE交于点H,PG∥AD交BC于F,交AB于G,下列结论:
①GA=GP;②S△PAC:
S△PAB=AC:
AB;③BP垂直平分CE;④FP=FC;其中正确的判断有( )
A.
只有①②
B.
只有③④
C.
只有①③④
D.
①②③④
二.填空题(共4小题)
11.(2013•宜兴市一模)如图,在△ABC中,AC=BC>AB,点P为△ABC所在平面内一点,且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB,△PBC,△PAC均是等腰三角形,则满足上述条件的所有点P的个数为 _________ 个.
12.等腰△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,交AC所在的直线于点E,若DE与直线AC所夹的锐角是40°,则等腰三角形的顶角度数是 _________ .
13.如图,在△ABC中,∠ACD=90°,CA=CB,AD是△ABC的角平分线,点E在AB上,如果DE=2CD,那么∠ADE= _________ 度.
14.如图,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC,BF⊥AE,交AC延长线于F,且垂足为E,则下列结论:
①AD=BF;②BF=AF;③AC+CD=AB,④AB=BF;⑤AD=2BE.
其中正确的结论有 _________ .
(填写番号)
三.解答题(共12小题)
15.如图:
△ABD和△ACE都是Rt△,其中∠ABD=∠ACE=90°,C在AB上,连接DE,M是DE中点,求证:
MC=MB.
16.如图:
在△ABC中AB=AC,在△BCE中BA平分∠CBE,且BC=2BE.求证:
BE⊥AE.
17.如图1,已知AM∥BN,AC平分∠MAB,BC平分∠NBA.
(1)过点C作直线DE,分别交AM、BN于点D、E.求证:
AB=AD+BE;
(2)如图2,若将直线DE绕点C转动,使DE与AM交于点D,与NB的延长线交于点E,则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系?
请你给出结论并加以证明.
18.如图,已知△ABC中,AB=AC=12cm,BC=10cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动,同时,点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动.
(1)若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发,经过2秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
(2)若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发,△CPQ的周长为18cm,问:
经过几秒后,△CPQ是等腰三角形?
19.如图1,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.
(1)在图1中,DE交AB于M,DF交BC于N.证明DM=DN;
(2)继续旋转至如图2的位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)继续旋转至如图3的位置,延长FD交BC于N,延长ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?
答:
_________ (请写出结论,不用证明.)
20.已知,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD为边AB上的中线,若E是射线CA上任意一点,DF⊥DE,交直线BC于F点.G为EF的中点,连接CG并延长交直线AB于点H.
(1)如图①,若E在边AC上.试说明:
①AE=CF;②CG=GD;
(2)如图②,若E在边CA的延长线上.
(1)中的两个结论是否仍成立?
(直接写出成立结论的序号,不要说明理由)
(3)若AE=3,CH=5,求边AC的长.
21.如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD与Q,PQ=4,PE=1.
(1)求证:
△ABE≌△CAD;
(2)求证:
∠BPQ=60°;
(3)求AD的长.
22.问题情境:
如图1,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,可知:
∠BAD=∠C(不需要证明);
特例探究:
如图2,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B、C在∠MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明:
△ABD≌△CAF;
归纳证明:
如图3,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:
△ABE≌△CAF;
拓展应用:
如图4,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为 _________ .
23.如图,△ABC中,∠C=Rt∠,AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.
(1)出发2秒后,求△ABP的周长.
(2)问t为何值时,△BCP为等腰三角形?
(3)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?
24.如图,AB>AC,∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D,过D作DE⊥AB于E,作DF⊥AC于F.求证:
BE=CF.
25.已知:
如图,△ABC、△CDE都是等边三角形,AD、BE相交于点O,点M、N分别是线段AD、BE的中点.
(1)求证:
AD=BE;
(2)求∠DOE的度数;
(3)求证:
△MNC是等边三角形.
26.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,对角线AC与BD相交于点O,M、N分别是边AC、BD的中点.
(1)求证:
MN⊥BD;
(2)当∠BCA=15°,AC=10cm,OB=OM时,求MN的长.
2014年11月02日245491307的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.如图,已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,那么,由以上信息,可推出图中相等的角有( )
A.
3对
B.
4对
C.
5对
D.
10对
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.菁优网版权所有
分析:
根据SSS证△BAD≌△CAE,推出∠ABD=∠ACE,∠ADB=∠AEC,∠BAD=∠CAE,求出∠BAC=∠EAD,根据等腰三角形性质求出∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED,根据三角形内角和定理得出∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED(共4对),即可得出答案.
解答:
解:
∵在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SSS),
∴∠ABD=∠ACE,∠ADB=∠AEC,∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,
∴∠BAC=∠EAD,
∵AB=AC,AD=AE,
∴∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED,
∵∠BAC=∠DAE,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∠DAE+∠ADE+∠AED=180°,
∴∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED,
即相等的角有∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,∠ADB=∠AEC,∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED,∠ADE=∠ABC,∠ADE=∠ACB,∠AED=∠ABC,∠AED=∠ACB,共10对.
故选D.
点评:
本题考查了等腰三角形性质,全等三角形性质和判定,三角形的内角和定理等知识点的综合运用,能做到不重不漏是解此题的关键.
2.如图,以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,则△ABC与△AEG的面积之间的关系为( )
A.
S△ABC≥S△AEG
B.
S△ABC≤S△AEG
C.
S△ABC=S△AEG
D.
无法确定
考点:
全等三角形的判定与性质;正方形的性质.菁优网版权所有
分析:
过点C作CM⊥AB于M,过点G作GN⊥EA交EA延长线于N,则∠AMC=∠ANG=90°,根据正方形性质得出∠BAE=∠CAG=90°,AB=AE,AC=AG,求出∠NAG=∠MAC,证△ACM≌△AGN(,推出CM=GN,根据三角形的面积公式求出即可.
解答:
解:
△ABC与△AEG面积相等,理由是:
过点C作CM⊥AB于M,过点G作GN⊥EA交EA延长线于N,则∠AMC=∠ANG=90°,
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形,
∴∠BAE=∠CAG=90°,AB=AE,AC=AG,
∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360°,
∴∠BAC+∠EAG=180°,
∵∠EAG+∠GAN=180°,
∴∠BAC=∠GAN,
在△ACM和△AGN中,
,
∴△ACM≌△AGN(AAS),
∴CM=GN,
∵S△ABC=
AB•CM,S△AEG=
AE•GN,
∴S△ABC=S△AEG.
故选C.
点评:
本题考查了正方形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的面积等知识点的应用,关键是作辅助线后求出CM=GN.
3.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交与点O,AD与BC交与点P,BE与CD交与点Q,连接PQ.有下列结论:
①AD=BE;②AP=BQ;③∠AOB=60°;④DE=DP,其中正确的结论有( )
A.
①②③
B.
①③④
C.
①②
D.
②③④
考点:
全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.菁优网版权所有
分析:
根据等边三角形性质得出AC=BC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60°,求出∠ACD=∠BCE,证△ACD≌△BCE,推出AD=BE,即可判断①;根据全等三角形性质得出∠CBE=∠CAD,根据ASA证△ACP≌△BCQ,推出AP=BQ,即可判断②;求出∠DCE=60°=∠CAD+∠ADC,求出∠CAD+∠BEC=60°,即可求出∠AOB=60°,即可判断③;根据三角形外角性质推出∠DPC>∠DCP,推出DP<DC,即可判断④.
解答:
解:
∵△ABC和△DCE是正三角形,
∴AC=BC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60°,
∴∠BCA+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中
,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,∴①正确;
∵△ACD≌△BCE,
∴∠CBE=∠CAD,
∵∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=60°=∠ACB,
在△ACP和△BCQ中
,
∴△ACP≌△BCQ(ASA),
∴AP=BQ,∴②正确;
∵△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC,
∠DCE=60°=∠CAD+∠ADC,
∴∠CAD+∠BEC=60°,
∴∠AOB=∠CAD+∠BEC=60°,∴③正确;
∵△DCE是正三角形,
∴DE=DC,
∵∠AOB=60°,∠DCP=60°,∠DPC>∠AOB,
∴∠DPC>∠DCP,
∴DP<DC,即DP<DE,∴④错误;
故选A.
点评:
本题考查了等边三角形性质,全等三角形的性质和判定,三角形的外角性质,主要考查学生综合运用性质进行推理的能力,本题综合性比较强,有一定的难度.
4.如图,D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点,E为BC边上一点,连接ED并延长交CA的延长线于点F,过D作DH⊥EF交AC于G,交BC的延长线于H,则以下结论:
①DE=DG;②BE=CG;③DF=DH;④BH=CF.其中正确的是( )
A.
②③
B.
③④
C.
①④
D.
①②③④
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.菁优网版权所有
分析:
连接CD.欲证线段相等,就证它们所在的三角形全等.证明△DBE≌△DCG,△DCH≌△DAF.
解答:
解:
根据已知条件,
∵△ABC是等腰直角三角形,CD是中线.
∴BD=DC,∠B=∠DCA=45°.
又∵∠BDC=∠EDH=90°,即∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDH
∴∠BDE=∠CDH
∴△DBE≌△DCG(ASA)
∴DE=DG;BE=CG.
同理可证:
△DCH≌△DAF,可得:
DF=DH;AF=CH.
∵BC=AC,CH=AF,∴BH=CF.
故选D.
点评:
本题重点考查了三角形全等的判定定理,普通两个三角形全等共有四个定理,即AAS、ASA、SAS、SSS.
5.如图,过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交边AC于点D,则DE的长为( )
A.
B.
C.
D.
不能确定
考点:
全等三角形的判定与性质;平行线的性质;等腰三角形的性质;等边三角形的性质;等边三角形的判定与性质.菁优网版权所有
专题:
证明题.
分析:
过P作PF∥BC交AC于F,得出等边三角形APF,推出AP=PF=QC,根据等腰三角形性质求出EF=AE,证△PFD≌△QCD,推出FD=CD,推出DE=
AC即可.
解答:
解:
过P作PF∥BC交AC于F,
∵PF∥BC,△ABC是等边三角形,
∴∠PFD=∠QCD,∠APF=∠B=60°,∠AFP=∠ACB=60°,∠A=60°,
∴△APF是等边三角形,
∴AP=PF=AF,
∵PE⊥AC,
∴AE=EF,
∵AP=PF,AP=CQ,
∴PF=CQ,
在△PFD和△QCD中
,
∴△PFD≌△QCD,
∴FD=CD,
∵AE=EF,
∴EF+FD=AE+CD,
∴AE+CD=DE=
AC,
∵AC=3,
∴DE=
,
故选B.
点评:
本题综合考查了全等三角形的性质和判定,等边三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,平行线的性质等知识点的应用,能综合运用性质进行推理是解此题的关键,通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力,题型较好,难度适中.
6.在△ABC中,AC=5,中线AD=4,那么边AB的取值范围为( )
A.
l<AB<9
B.
3<AB<13
C.
5<AB<13
D.
9<AB<13
考点:
全等三角形的判定与性质;三角形三边关系.菁优网版权所有
分析:
作辅助线(延长AD至E,使DE=AD=4,连接BE)构建全等三角形△BDE≌△ADC(SAS),然后由全等三角形的对应边相等知BE=AC=5;而三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边,据此可以求得AB的取值范围.
解答:
解:
延长AD至E,使DE=AD=4,连接BE.则AE=8,
∵AD是边BC上的中线,D是中点,
∴BD=CD;
又∵DE=AD,∠BDE=∠ADC,∴△BDE≌△ADC,
∴BE=AC=5;
由三角形三边关系,得AE﹣BE<AB<AE+BE,
即8﹣5<AB<8+5,
∴3<AB<13;
故选B.
点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质.解答该题时,围绕结论寻找全等三角形,运用全等三角形的性质判定对应线段相等.
7.(2014•山西)如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为( )
A.
a2
B.
a2
C.
a2
D.
a2
考点:
全等三角形的判定与性质;正方形的性质.菁优网版权所有
专题:
几何图形问题.
分析:
作EP⊥BC于点P,EQ⊥CD于点Q,△EPM≌△EQN,利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解.
解答:
解:
作EP⊥BC于点P,EQ⊥CD于点Q,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,
又∵∠EPM=∠EQN=90°,
∴∠PEQ=90°,
∴∠PEM+∠MEQ=90°,
∵三角形FEG是直角三角形,
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°,
∴∠PEM=∠NEQ,
∵AC是∠BCD的角平分线,∠EPC=∠EQC=90°,
∴EP=EQ,四边形MCQE是正方形,
在△EPM和△EQN中,
,
∴△EPM≌△EQN(ASA)
∴S△EQN=S△EPM,
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积,
∵正方形ABCD的边长为a,
∴AC=
a,
∵EC=2AE,
∴EC=
a,
∴EP=PC=
a,
∴正方形MCQE的面积=
a×
a=
a2,
∴四边形EMCN的面积=
a2,
故选:
D.
点评:
本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质,解题的关键是作出辅助线,证出△EPM≌△EQN.
8.在等腰直角△ABC(AB=AC≠BC)所在的三角形边上有一点P,使得△PAB,△PAC都是等腰三角形,则满足此条件的点有( )
A.
1个
B.
3个
C.
6个
D.
7个
考点:
等腰三角形的判定与性质.菁优网版权所有
专题:
推理填空题.
分析:
根据等腰三角形的判定,“在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形(简称:
在同一三角形中,等边对等角)”解答即可.
解答:
解:
∵△ABC是等腰直角三角形,(AB=AC≠BC)所在的三角形边上有一点P,使得△PAB,△PAC都是等腰三角形,
∴有一个满足条件的点﹣斜边中点,
∴符合条件的点有1个.
故选A.
点评:
本题考查了等腰三角形的判定;构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来.
9.(2011•恩施州)如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39,则△EDF的面积为( )
A.
11
B.
5.5
C.
7
D.
3.5
考点:
角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
作DM=DE交AC于M,作DN⊥AC,利用角平分线的性质得到DN=DF,将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求.
解答:
解:
作DM=DE交AC于M,作DN⊥AC于点N,
∵DE=DG,
∴DM=DG,
∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,
∴DF=DN,
在Rt△DEF和Rt△DMN中,
DN=DF
DM=DE
,
∴Rt△DEF≌Rt△DMN(HL),
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39,
∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11,
S△DNM=S△EDF=
1
2
S△MDG=
1
2
×11=5.5.
故选B.
点评:
本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质,解题的关键是正确地作出辅助线,将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求.
10.如图,∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P,BE=BC,PB与CE交于点H,PG∥AD交BC于F,交AB于G,下列结
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