热点二 基本不等式的应用
例2
(1)(2014·湖北)某项研究表明:
在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:
辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:
米/秒)、平均车长l(单位:
米)的值有关,其公式为F=.
①如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/时;
②如果限定车型,l=5,则最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时.
(2)(2013·山东)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为( )
A.0B.1C.D.3
思维启迪
(1)把所给l值代入,分子分母同除以v,构造基本不等式的形式求最值;
(2)关键是寻找取得最大值时的条件.
答案
(1)①1900 ②100
(2)B
解析
(1)①当l=6.05时,F=
=≤==1900.
当且仅当v=11米/秒时等号成立,此时车流量最大为1900辆/时.
②当l=5时,F==≤==2000.
当且仅当v=10米/秒时等号成立,此时车流量最大为2000辆/时.比①中的最大车流量增加100辆/时.
(2)由已知得z=x2-3xy+4y2,(*)
则==≤1,当且仅当x=2y时取等号,把x=2y代入(*)式,得z=2y2,
所以+-=+-=-2+1≤1,
所以当y=1时,+-的最大值为1.
思维升华 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
(1)若点A(m,n)在第一象限,且在直线+=1上,则mn的最大值为________.
(2)已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为( )
A.1B.C.2D.
答案
(1)3
(2)B
解析
(1)因为点A(m,n)在第一象限,且在直线+=1上,所以m,n>0,且+=1.
所以·≤()2(当且仅当==,即m=,n=2时,取等号).所以·≤,即mn≤3,
所以mn的最大值为3.
(2)2x+=2(x-a)++2a
≥2·+2a=4+2a,
由题意可知4+2a≥7,得a≥,
即实数a的最小值为,故选B.
热点三 简单的线性规划问题
例3
(2013·湖北)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为( )
A.31200元B.36000元
C.36800元D.38400元
思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题.
答案 C
解析 设租A型车x辆,B型车y辆时租金为z元,
则z=1600x+2400y, x、y满足
画出可行域如图
直线y=-x+过点A(5,12)时纵截距最小,
所以zmin=5×1600+2400×12=36800,
故租金最少为36800元.
思维升华
(1)线性规划问题一般有三种题型:
一是求最值;二是求区域面积;三是确定目标函数中的字母系数的取值范围.
(2)解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,利用数形结合找到目标函数的最优解.(3)对于应用问题,要准确地设出变量,确定可行域和目标函数.
(1)已知实数x,y满足约束条件,则w=的最小值是( )
A.-2B.2C.-1D.1
(2)(2013·北京)设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,求得m的取值范围是( )
A.B.
C.D.
答案
(1)D
(2)C
解析
(1)画出可行域,如图所示.
w=表示可行域内的点(x,y)与定点P(0,-1)连线的斜率,观察图形可知PA的斜率最小为=1,故选D.
(2)当m≥0时,若平面区域存在,则平面区域内的点在第二象限,平面区域内不可能存在点P(x0,y0)满足x0-2y0=2,因此m<0.
如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.
要使可行域内包含y=x-1上的点,只需可行域边界点
(-m,m)在直线y=x-1的下方即可,即m<-m-1,解得m<-.
1.几类不等式的解法
一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根,也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标,即二次函数的零点;分式不等式可转化为整式不等式(组)来解;以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化.
2.基本不等式的作用
二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题.解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点,并创造基本不等式的应用背景,如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧,改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件.利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件,三个条件缺一不可.
3.线性规划问题的基本步骤
(1)定域——画出不等式(组)所表示的平面区域,注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应;
(2)平移——画出目标函数等于0时所表示的直线l,平行移动直线,让其与平面区域有公共点,根据目标函数的几何意义确定最优解,注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义;
(3)求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标,代入目标函数,求出最值.
真题感悟
1.(2014·山东)已知实数x,y满足axA.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)
C.sinx>sinyD.x3>y3
答案 D
解析 因为0y.采用赋值法判断,A中,当x=1,y=0时,<1,A不成立.B中,当x=0,y=-1时,ln12.(2014·浙江)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是________.
答案 [1,]
解析 画可行域如图所示,设目标函数z=ax+y,即y=-ax+z,要使1≤z≤4恒成立,则a>0,数形结合知,满足即可,解得1≤a≤.所以a的取值范围是1≤a≤.
押题精练
1.为了迎接2014年3月8日的到来,某商场举行了促销活动,经测算某产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P=3-,已知生产该产品还需投入成本(10+2P)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为(4+)万元/万件.则促销费用投入
万元时,厂家的利润最大?
( )
A.1B.1.5
C.2D.3
答案 A
解析 设该产品的利润为y万元,由题意知,该产品售价为2×()万元,所以y=2×()×P-10-2P-x=16--x(x>0),所以y=17-(+x+1)≤17-2=13(当且仅当=x+1,即x=1时取等号),所以促销费用投入1万元时,厂家的利润最大,故选A.
2.若点P(x,y)满足线性约束条件点A(3,),O为坐标原点,则·的最大值为________.
答案 6
解析 由题意,知=(3,),设=(x,y),则·=3x+y.
令z=3x+y,
如图画出不等式组所表示的可行域,
可知当直线y=-x+z经过点B时,z取得最大值.
由解得即B(1,),故z的最大值为3×1+×=6.
即·的最大值为6.
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一、选择题
1.(2014·四川)若a>b>0,cA.>B.<
C.>D.<
答案 D
解析 令a=3,b=2,c=-3,d=-2,
则=-1,=-1,
所以A,B错误;
=-,=-,
所以<,
所以C错误.故选D.
2.下列不等式一定成立的是( )
A.lg>lgx(x>0)
B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
答案 C
解析 应用基本不等式:
x,y>0,≥(当且仅当x=y时取等号)逐个分析,注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.
当x>0时,x2+≥2·x·=x,
所以lg≥lgx(x>0),故选项A不正确;
运用基本不等式时需保证一正二定三相等,
而当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;
由基本不等式可知,选项C正确;
当x=0时,有=1,故选项D不正确.
3.(2013·重庆)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a等于( )
A.B.
C.D.
答案 A
解析 由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,因a>0,所以不等式的解集为(-2a,4a),即x2=4a,x1=-2a,由x2-x1=15,得4a-(-2a)=15,解得a=.
4.(2014·重庆)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是( )
A.6+2B.7+2
C.6+4D.7+4
答案 D
解析 由题意得所以
又log4(3a+4b)=log2,
所以log4(3a+4b)=log4ab,
所以3a+4b=ab,故+=1.
所以a+b=(a+b)(+)=7++
≥7+2=7+4,
当且仅当=时取等号.故选D.
5.已知变量x,y满足约束条件,则z=x+2y-1的最大值为( )
A.9B.8
C.7D.6
答案 B
解析 约束条件所表示的区域如图,
由图可知,当目标函数过A(1,4)时取得最大值,故z=x+2y-1的最大值为1+2×4-1=8.
二、填空题
6.已知f(x)是R上的减函数,A(3,-1),B(0,1)是其图象上两点,则不等式|f(1+lnx)|<1的解集是________.
答案 (,e2)
解析 ∵|f(1+lnx)|<1,
∴-1∴f(3)又∵f(x)在R上为减函数,
∴0<1+lnx<3,∴-1∴7.若x,y满足条件且z=2x+3y的最大值是5,则实数a的值为________.
答案 1
解析 画出满足条件的可行域如图阴影部分所示,则当直线z=2x+3y过点A(a,a)时,z=2x+3y取得最大值5,所以5=2a+3a,解得a=1.
8.若点A(1,1)在直线2mx+ny-2=0上,其中mn>0,则+的最小值为________.
答案 +
解析 ∵点A(1,1)在直线2mx+ny-2=0上,
∴2m+n=2,
∵+=(+)=(2+++1)
≥(3+2)=+,
当且仅当=,即n=m时取等号,
∴+的最小值为+.
三、解答题
9.设集合A为函数y=ln(-x2-2x+8)的定义域,集合B为函数y=x+的值域,集合C为不等式(ax-)(x+4)≤0的解集.
(1)求A∩B;
(2)若C⊆∁RA,求a的取值范围.
解
(1)由-x2-2x+8>0得-4即A=(-4,2).
y=x+=(x+1)+-1,
当x+1>0,即x>-1时y≥2-1=1,
此时x=0,符合要求;
当x+1<0,即x<-1时,y≤-2-1=-3,
此时x=-2,符合要求.
所以B=(-∞,-3]∪[1,+∞),
所以A∩B=(-4,-3]∪[1,2).
(2)(ax-)(x+4)=0有两根x=-4或x=.
当a>0时,C={x|-4≤x≤},不可能C⊆∁RA;
当a<0时,C={x|x≤-4或x≥},
若C⊆∁RA,则≥2,∴a2≤,
∴-≤a<0.故a的取值范围为[-,0).
10.已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,且0(1)证明:
a>0;
(2)若z=a+2b,求z的取值范围.
(1)证明 求函数f(x)的导数
f′(x)=ax2-2bx+2-b.
由函数f(x)在x=x1处取得极大值,
在x=x2处取得极小值,
知x1、x2是f′(x)=0的两个根,
所以f′(x)=a(x-x1)(x-x2).
当x0,
由x-x1<0,x-x2<0得a>0.
(2)解 在题设下,0即化简得
此不等式组表示的区域为平面aOb上的三条直线:
2-b=0,a-3b+2=0,4a-5b+2=0所围成的△ABC的内部,其三个顶点分别为
A,B(2,2),C(4,2).
z在这三点的值依次为,6,8.
所以z的取值范围为(,8).
11.某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:
万元)与日产量x(单位:
吨)满足函数关系式C=3+x,每日的销售额S(单位:
万元)与日产量x的函数关系式S=已知每日的利润L=S-C,且当x=2时,L=3.
(1)求k的值;
(2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.
解
(1)由题意可得L=
因为当x=2时,L=3,所以3=2×2++2,
解得k=18.
(2)当0L=2(x-8)++18=-[2(8-x)+]+18≤-2+18=6,
当且仅当2(8-x)=,即x=5时取得等号.
当x≥6时,L=11-x≤5.
所以当x=5时L取得最大值6.
所以当日产量为5吨时,每日的利润可以达到最大,最大值为6万元.