菱形的判定专项练习30题.docx
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菱形的判定专项练习30题
菱形的判定专项练习30题(有答案)
1如图,梯形ABCD中,AD//BC,BA=AD=DC=BC,点E为BC的中点.
2
(1)求证:
四边形ABED是菱形;
(2)过A点作AF丄BC于点F,若BD=4cm,求AF的长.
2.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,且AC丄BD.点M,N分别在BD、AC上,且A0=0N=NC,
BM=M0=0D.
求证:
BC=2DN.
貝D
BC
3.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.
(1)求证:
四边形AEDF是菱形;
(2)若AB=12cm,求菱形AEDF的周长.
3DC
4.如图,在?
ABCD中,EF//BD,分别交BC,CD于点P,Q,交AB,AD的延长线于点E,F.已知BE=BP.求证:
(1)/E=/F;
(2)?
ABCD是菱形.
5.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF//BC,AF与CE的延长线相交于点F,连接BF.
(1)求证:
AF=DC;
(2)
若/BAC=90°求证:
四边形AFBD是菱形.
7.如图,在一个含30。
的三角板ABC中,将三角板沿着AB所在直线翻转180。
得到△ABF,再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC,点F在AC上,连接AE.
(1)求证:
四边形ADCE是菱形.
(2)连接BF并延长交AE于G,连接CG.请问:
四边形ABCG是什么特殊平行四边形?
为什么?
&如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE丄AB,DF丄BC,垂足分别是为EF,并且DE=DF.求证:
四边形ABCD是菱形.
9.如图,在△ABC中,DE//BC,分别交AB,AC于点D,E,以AD,AE为边作?
ADFE交BC于点G,H,且
EH=EC.
求证:
(1)/B=/C;
10.如图,在△ABC中,/ACB=90°CD是AB边上的高,/BAC的平分线AE交CD于F,EG丄AB于G.
(1)求证:
△AEG◎△AEC;
(2)△CEF是否为等腰三角形,请证明你的结论;
(3)四边形GECF是否为菱形,请证明你的结论.
11.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别是△ABC三边的中点.求证:
四边形ADEF是菱形.
12.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点,求证:
四边形MENF为菱形.
13.已知:
如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=AD,/BAD的平分线AE交BC于点E,连接DE.求证:
四边形ABED是菱形.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,M、0、N分别是AB、BC、CA的中点.求证:
四边形AMON是菱形.
15.如图:
在△ABC中,/BAC=90°AD丄BC于D,CE平分/ACB,交AD于G,交AB于E,EF丄BC于F.求证:
四边形AEFG是菱形.
16.如图,矩形ABCD绕其对角线交点旋转后得矩形AECF,AB交EC于点N,CD交AF于点M.
求证:
四边形ANCM是菱形.
17.如图,四边形ABCD、DEBF都是矩形,AB=BF,AD、BE交于M,BC、DF交于N,那么四边形BMDN是菱形吗?
如果是,请写出证明过程;如果不是,说明理由.
18.已知如图所示,AD是厶ABC的角平分线,DE//AC交AB于E,DF//AB交AC于F,四边形AEDF是菱形吗?
说明理由.
19.
已知:
如图所示,BD是厶ABC的角平分线,EF是BD的垂直平分线,且交AB于E,交BC于点F.求证:
四边形BFDE是菱形.
20.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC的中点,过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F.求证:
四边形AFCE是菱形.
21.如图,在矩形ABCD中,EF垂直平分BD.
(1)判断四边形BEDF的形状,并说明理由.
23.已知,如图,矩形ABCD中,AB=4cm,AD=8cm,作/CAE=/ACE交BC于E,作/ACF=/CAF交AD于F.
24.如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.问四边形AFCE是菱形吗?
请说明理由.
25.如图:
在平行四边形ABCD中,E、F分别是边AB、CD的延长线上一点,且BE=DF,连接EF交AC于O.
(1)AC与EF互相平分吗?
为什么?
(2)连接CE、AF,再添加一个什么条件,四边形AECF是菱形?
为什么?
26.已知:
如图,△ABC和厶DBC的顶点在BC边的同侧,AB=DC,AC=BD交于E,/BEC的平分线交BC于0,延长E0到F,使E0=0F.求证:
四边形BFCE是菱形.
27.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,F,E分别是AD及其延长线上的点,CF//BE.
(1)求证:
△BDE◎△CDF;
(2)请连接BF,CE,试判断四边形BECF是何种特殊四边形,并说明理由;
(3)在
(2)下要使BECF是菱形,则△ABC应满足何条件?
并说明理由.
28.如图,在△ABC中,/ACB=90°BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,并且AF=CE.
(1)求证:
四边形ACEF是平行四边形;
(2)当/B的大小满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?
请回答并证明你的结论.
29.如图,在△ABC中,AD是/BAC的平分线,EF垂直平分AD交AB于E,交AC于F.求证:
四边形AEDF是菱形.
B
30.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN//BC,设MN交/BCA的平分线于点E,交/BCA的外角平分线于点F.
(1)探究:
线段OE与OF的数量关系并加以证明;
(2)当点0运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?
(3)当点0在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?
若是,请证明,若不是,则说明理由.
矩形的判定专项练习30题参考答案:
1.1)证明:
•••点E为BC的中点,
•••BE=CE*BC,
2
•/BA=AD=DC=亠BC,
2
•AB=BE=ED=AD,
•四边形ABED是菱形;
(2)解:
过点D作DH丄BC,垂足为H,
CD=DE=CE,
•/DEC=60°
•/DBE=30°
在Rt△BDH中,BD=4cm,
•DH=2cm,
•/AF=DH,
•AF=2cm.
2.vAO=ON,BM=MO,•四边形AMND是平行四边形,
•/AC丄BD,•平行四边形AMND是菱形,•MN=DN,
•/ON=NC,BM=MO,•MN=_BC,•BC=2DN
2
3.
(1)vD,E分别是BC,AB的中点,
•DE//AC且DE=AF=—AC.
2
同理DF//AB且DF=AE=AB.
2
又•••AB=AC,•DE=DF=AF=AE,
•四边形AEDF是菱形.
(2)•/E是AB中点,•AE=AB=6cm,因此菱形AEDF
2
的周长为4>6=24cm.
4.
(1)vBE=BP,•/E=/BPE,
•/BC//AF,
•/BPE=/F,•/E=ZF.
(2)vEF//BD,
•/E=/ABD,/F=/ADB,
•/ABD=/ADB,
•AB=AD,
•••四边形ABCD是平行四边形,
•CABCD是菱形.
5.1)证明:
TE是AD的中点,
•AE=DE,
•/AF//BC,
•/1=/2,
rZl=Z2
在厶AEF和厶DEC中Z陋卩二/DEC,
lae=de
•△AFE◎△DCE(AAS),
•AF=DC;
(2)证明:
TD是BC的中点,
•DB=CD=_BC,
2
•/AF=CD,
•AF=DB,
•/AF//BD,
•四边形AFBD是平行四边形,
•••/BAC=90°D为BC中点,
•AD=CB=DB,
2
•四边形AFBD是菱形.
6.•••对角线BD平分/ABC,
•/1=/2,
•••四边形ABCD是平行四边形,
•AB//DC,
•/3=/1,
•/3=/2,
•DC=BC,
又•••四边形ABCD是平行四边形,
•四边形ABCD是菱形.
7.
(1)t三角板ABC中,将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF,
•△ABC◎△ABF,且/BAC=/BAF=30°
•/FAC=60°°
•AD=DC=AC,
又•••△ABC◎△EFC,
•CA=CE,
又•••/ECF=60°°
•AC=EC=AE,
•AD=DC=CE=AE,
•四边形ADCE是菱形;
证明:
由
(1)可知:
△ACD,△AFC是等边三角形,
△ACB◎△AFB,
•••/EDC=/BAC=Z/FAC=30°且厶ABC为直角三角
2
形,
•BC=_AC,
2
•/EC=CB,
•EC=_AC,
2
•E为AC中点,
•DE丄AC,
•AE=EC,
•/AG//BC,
•/EAG=/ECB,ZAGE=/EBC,
•△AEG◎△CEB,
•AG=BC,(7分)
•四边形ABCG是平行四边形,
•••/ABC=90°
•四边形ABCG是矩形
8.在△ADE和^CDF中,
•••四边形ABCD是平行四边形,
•/A=/C,
•/DE丄AB,DF丄BC,
•/AED=/CFD=90°
又•••DE=DF,
•△ADE◎△CDF(AAS)
•DA=DC,
•平行四边形ABCD是菱形
9.
(1)v在?
ADFE中,AD//EF,
•/EHC=/B(两直线平行,同位角相等)
•••EH=EC(已知),
•/EHC=/C(等边对等角),
•/B=/C(等量代换);
(2)vDE//BC(已知),
•/AED=/C,ZADE=/B.
•••/B=/C,
•/AED=/ADE,
•AD=AE,
•?
ADFE是菱形.
10.1)证明:
•••/ACB=90°
•AC丄EC.
又•••EG丄AB,AE是/BAC的平分线,
•GE=CE.
在Rt△AEG与Rt△AEC中,
rGE=CE,
\ae=ae'
•Rt△AEG也RtAAEC(HL);
(2)解:
△CEF是等腰三角形•理由如下:
•/CD是AB边上的高,
•CD丄AB.
又•••EG丄AB,
•EG//CD,
•/CFE=/GEA.
又由
(1)知,Rt△AEG也Rt△AEC,
•/GEA=/CEA,
•/CEA=/CFE,即/CEF=/CFE,
•CE=CF,即△CEF是等腰三角形;
(3)解:
四边形GECF是菱形.理由如下:
•••由
(1)知,Rt△AEG也RtAAEC,贝UGE=EC;由
(2)知,CE=CF,
•GE=EC=FC.
又•••EG//CD,即GE//FC,
•四边形GECFR是菱形.
•DE丄、AC,EfJaB,
22
•四边形ADEF为平行四边形.
又•••AC=AB,
•DE=EF.
•四边形ADEF为菱形.
12.vM、E、分别为AD、BD、的中点,
•ME//AB,ME=_AB,
2
同理:
FH//AB,FH=AB,
2
•四边形MENF是平行四边形,
•/M.F是AD,AC中点,
•MF=—DC,
2
•/AB=CD,
•MF=ME,
•四边形MENF为菱形
13.vAE平分/BAD,
•/BAE=/DAE,••-(1分)
在厶BAE和厶DAE中,
rAB=AD
•••«Ze胡二Zdae,
lAE=AE
•••△BAE◎△DAE(SAS)••-(2分)
•••BE=DE,…(3分)
•/AD//BC,
•••/DAE=/AEB,…(4分)
•••/BAE=/AEB,
•AB=BE,…(5分)
•AB=BE=DE=AD,••-(6分)
•四边形ABED是菱形.
14.TAB=AC,M、0、N分别是AB、BC、CA的中
占
八、、:
•AM=AB=AC=AN,
22
MO//AC,NO//AB,且M0=丄AC=AN,
2
N0=AB=AM(三角形中位线定理),
J
•AM=MO=AN=NO,
•四边形AMON是菱形(四条边都相等的四边形是菱
形)
15.证法一:
TAD丄BC,
•/ADB=90°
•••/BAC=90°
•/B+/BAD=90°/BAD+/CAD=90°
•/B=/CAD,
•/CE平分/ACB,EF丄BC,/BAC=90°(EA丄CA),
•AE=EF(角平分线上的点到角两边的距离相等),
•/CE=CE,
•由勾股定理得:
AC=CF,
•/△ACG和厶FCG中
rAC=CF
•ZACG=Z?
CG,
CG龙G
•△ACG◎△FCG,
•/CAD=/CFG,
•••/B=/CAD,
•/B=/CFG,
•GF//AB,
•/AD丄BC,EF±BC,
•AD//EF,
即AG//EF,AE//GF,
•四边形AEFG是平行四边形,
•/AE=EF,
•平行四边形AEFG是菱形.
证法二:
•••AD丄BC,ZCAB=90°EF±BC,CE平分/ACB,
•AD//EF,/4=/5,AE=EF,
•••/仁180°-90°-/4,/2=180°-90°-Z5,
•/1=/2,
•/AD//EF,
•/2=/3,
•/1=/3,
•AG=AE,
•/AE=EF,
•AG=EF,
•/AG//EF,
•四边形AGFE是平行四边形,
•/AE=EF,
•平行四边形AGFE是菱形.
CDFB
16.TCD//AB,
•ZFMC=/FAN,
•/NAE=/MCF(等角的余角相等),
在厶CFM和厶AEN中,
rZF=ZE
•CF=AE,
iZFCM=ZEAN
•△CFM◎△AEN(ASA),
•CM=AN,
•四边形ANCM为平行四边形,
在厶ADM和厶CFM中,
rZD=ZF
€ZDIA=ZCMF,
lad=cf
•△ADM◎△CFM(AAS),
•AM=CF,
•四边形ANCM是菱形
17.四边形BMDN是菱形.
•/AM//BC,
•ZAMB=/MBN,
•/BM//FN
•ZMBN=ZBNF,
•ZAMB=ZBNF,
又tZA=ZF=90°AB=BF,
•△ABM◎△BFN,
•BM=BN,
同理,△EMD也厶CND,
•••DM=DN,
•/ED=BF=AB,/E=ZA=90°/AMB=/EMD,
•△ABM◎△EDM,
•BM=DM,
•MB=MD=DN=BN,
•四边形BMDN是菱形
18.女口图,由于DE//AC,DF//AB,所以四边形AEDF为平行四边形.
•/DE//AC,•/3=/2,
又/1=/2,•/1=/3,
•AE=DE,•平行四边形AEDF为菱形.
方法三:
同方法二,证得四边形AFCE是平行四边形.(8分)
又EF丄AC,(9分)
•四边形AFCE为菱形
21.
(1)四边形BEDF是菱形.
在厶DOF和厶BOE中,
/FDO=/EBO,OD=OB,/DOF=/BOE=90°
所以△DOF◎△BOE,
所以OE=OF.
又因为EF丄BD,OD=OB,
所以四边形BEDF为菱
形.(5分)
(2)如图,在菱形EBFD中,BD=20,EF=15,则DO=10,EO=7.5.
由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5.
所以EC=5,
即S菱形aecf=EC>AB=5><4=20.
24.四边形AFCE是菱形,理由是:
•••四边形ABCD是平行四边形,•••AD//BC,
co而
•/AO=OC,
•OE=OF,
•四边形AFCE是平行四边形,
•/EF丄AC,
•平行四边形AFCE是菱形
25.
(1)AC与EF互相平分,连接CE,AF,
•••平行四边形ABCD,
•AB//CD,AB=CD,
又•••BE=DF,
•AB+BE=CD+DF,
•AE=CF,
•AE//CF,AE=CF,
•四边形AECF是平行四边形,
•AC与EF互相平分;
(2)条件:
EF丄AC,
•/EF丄AC,
又•••四边形AECF是平行四边形,
(3)△ABC是等腰三角形,即AB=AC,理由:
当AB=AC时,则有AD丄BC,又
(2)中四边形为平行四边形,所以可判定其为菱形.
28.
(1)vDE为BC的垂直平分线,
•/EDB=90°BD=DC,
又•••/ACB=90°
•DE//AC,
•E为AB的中点,
•在Rt△ABC中,CE=AE=BE,
•/AEF=/AFE,且/BED=/AEF,
/DEC=/DFA,
•AF//CE,
又•••AF=CE,
•四边形ACEF为平行四边形;
(2)要使得平行四边形ACEF为菱形,则AC=CE即可,
•/DE//AC,•/BED=/BAC,/DEC=/ECA,
又•••/BED=/DEC,
•/EAC=/ECA,
•AE=EC,又EB=EC,
•AE=EC=EB,
•/CE=_AB,
2
•AC=—AB即可,
2
在Rt△ABC中,/ACB=90°
•当/B=30。
时,AB=2AC,
26.TAB=DCAC=BDBC=CB,
•△ABCDCB,
•/DBC=/ACB,
•BE=CE,
又•••/BEC的平分线是EF,
•EO是中线(三线合一),
•BO=CO,
•四边形BFCE是平行四边形(对角线互相平分),
又•••BE=CE,
•四边形BFCE是菱形.
27.
(1)证明:
TCF/BE,•/EBD=/FCD,
D是BC边的中点,贝UBD=CD,/BDE=/CDF,
•△BDE◎△CDF.
(2)如图所示,由
(1)可得CF=BE,又CF/BE,所以四边形BECF是平行四边形;
:
丄ACE=/BCE,
又•••MN//BC,
•••/NEC=/ECB,
•••/NEC=/ACE,
•OE=OC,
•••OF是/BCA的外角平分线,
•••/OCF=/FCD,
又•MN//BC,
•••/OFC=/ECD,
•••/OFC=/COF,
•OF=OC,
•OE=OF;
(2)解:
当/ACB=90。
,点O在AC的中点时,
•/OE=OF,
•四边形AECF是正方形;
(3)答:
不可能.
解:
如图所示,
•/CE平分/ACB,CF平分/ACD,
•••/ECF=/ACB+/ACD=(/ACB+/ACD)
222
=90°
若四边形BCFE是菱形,则BF丄EC,
但在△GFC中,不可能存在两个角为90°所以不存在其为菱形.
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